排列组合(正式版)

排列组合——隔板法
隔板法就是在n 个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b ）个板，可以把n 个元素分成（b+1）组的方法.
应用隔板法必须满足三个条件：（1） 这n 个元素必须互不相异（2） 所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异.
【例题解析】
例1、把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？（3629=C ）
例2、高二年级8个班级协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班级至少要出一名，有多少种不同的 组成方式？
分析：将10名队员理解成10个球，排成一列，共形成9个空隙，设想有7个隔板，将排成一列的10个球隔成8段，注意：任意两块隔板不能相邻！故为3679=C 种. 附加：从5个学校选出8名学生组成代表团，每校至少有一人的选法种数是多少？
分析：问题转化为将8个学生分成5组，每组至少一人，故有354
7=C 种选法.
例3、求方程X+Y+Z+W=23的正整数解的个数.
分析：我们设想有23个无区别的球排成一列，共形成22个空，可以理解为有3块隔板，将排成一列的球隔成4段，共有1540322=C 个正整数解。

对某些不符合上述隔板法条件的一些问题可以通过一些技巧“转化”为符合条件的隔板问题.
〖技巧一：添加球数用隔板法〗
例4、求方程X+Y+Z+W=23的非负整数解的个数.
分析：注意到x 、y 、z 、w 可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，此时只要添加四个球，给x 、y 、z 、w 各一个球。

这样原问题就转化为求X+Y+Z+W=27的正整数解的个数了，故解的个数为2600326=C .
例5、20个相同的球分给3个人，允许有人不取，但必须分完，有多少种分法？
分析：问题转化为：20个相同的球分给1，2，3编号的盒子，允许有盒为空，但必须分完，有多少种分法？解析：添加3个球，给3个人每人一个，问题转化为：23个相同的球分给3个人，每人至少分一个球，且必须分完，有多少种分法？也就是23个球有22个空隙，2块隔板分成三部分，231222=C 种.
评述：这个问题是典型的玻瑟——爱因斯坦（Bose-Einstein ）统计模型：要将k 个相同的球放入n 个不同的盒子,每盒所放球数不限,有多少种不同放法?
〖技巧二：减少球数用隔板法〗
例6： 将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数.
分析：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个无区别的球,问题等价于将14个球放入4个编号为1,2,3,4的四个盒子里，每个盒子至少有一个球的问题.
剩下14个无区别的球排成一列，共形成13个空，可以理解为有3块隔板，将排成一列的球隔成4段，每段至少1个，有286313=C 种.
附加：20个不加区别的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里，要求每个盒内的球数不小于盒子的编号数，问有多少种放法？
解析：先取出3个球，在编号1，2，3的三个盒子内分别放0，1，2个球。

则此题转化为17个球放入3个不同盒内，每盒至少一球，有多少种放法？即16个空档中插入2个隔板即可将其分成3组，故有1202
16=C 种放法.
练习题（一）：
(1)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种?
(2)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，每盒可空，问不同的放法有多少种?
(3)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，问不同的放法有多少种?
解：(1) 1653
11=C
(2)先借4个球分别放入4个盒子里，此题转化为把把16个球放到4个盒子里，每个盒子至少要有一个球，不同的放法有多少种？由隔板法可知：4553
15=C 种.
(3)解法一：先取出6个球，在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，将余下的6个小球放在4个盒子中，每个盒子至少一个小球，有1035=C 种.
解法(2)：用(2)的处理问题的分法。

将1个、2个、3个、4个小球分别放在编号为1、2、3、4的盒子中，将余下的2个小球放在四个盒子中，每盒允许有空盒，据(2) 有1035=C 种. 练习题（二）：
(4)10个相同球，放入4个不同盒子中。

求：（1）盒子不可以空的种数 ；（2）盒子可以空的种数. 解：(1)直接用隔板法8439=C 种方法.
（2）先借4个球，每个盒子里放一个，这样就转化成14个球放进4个盒子里，每个盒子里至少有一个球，有多少种放法？直接用公式286313=C 种放法.
(5)把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？66212=C
(6)把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
解：我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球（外借），则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？有2828=C 种.
练习题（三）：
(7) 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？
解析：o - o - o - o - o - o - o - o - o - o ，其中o 代表10个糖，-代表9块板，10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉，这样一共就是 2^9= 512.
(8)有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
解析：此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论 最多吃5天，最少吃1天
1：吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况；
2：吃2天，每天预先吃2块，即问：11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？10110=C
3：吃3天，每天预先吃2块，即问：9块糖，每天至少1块，吃3天? 2828=C
4：吃4天，每天预先吃2块，即问：7块糖，每天至少1块，吃4天？ 2036=C
所以一共是 2+10+28+20=60 种.。