人教版平行四边形单元达标测试提优卷试卷

人教版平行四边形单元达标测试提优卷试卷
一、选择题
1．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F
点，交BO于G点，连接EG、OF，下列四个结论：①CE=CB；②AE=2OE；③OF=1
2 CG,
其中正确的结论只有()
A．①②③B．②③C．①③D．①②
2．在正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，BE PD
⊥的延长线于点E ，连接AE 、BE ，
FA AE
⊥交DP 于点F ，连接BF 、FC ，下列结论：①ABE ADF
≅；②FB =AB ；③CF PD
⊥；④FC =EF . 其中正确的是（）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，点P从点A 出发，以每秒3cm的速度沿折线A-B-C-D方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动、已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，点P，Q停止运动，设运动时间为t秒，在这个运动过程中，若△BPQ的面积为20cm2，则满足条件的t的值有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN＝EF，你认为()
A ．仅小明对
B ．仅小亮对
C ．两人都对
D ．两人都不对
5．如图，在▭ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝60°，点P 为▭ABCD 内一点，点Q 在BC 边上，则PA +PD +PQ 的最小值为( )
A ．3719++
B ．6+23
C ．53
D ．10
6．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，,E F 分别是AB ，BC 的中点，将CDF 沿着DF 折叠得到DFC '△，若C '恰好落在EF 上，则菱形ABCD 的面积为（ ）
A ．3
B ．372
C ．362
D ．227．如图，正方形纸片ABCD ，P 为正方形AD 边上的一点(不与点A ，点D 重合)．将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接,,BP BH BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①B
E PE =；
②BP EF =；③PB 平分APG ∠；④PH AP HC =+；⑤MH MF =，其中正确结论的个数是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
8．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S ，若1S =3，3S =8，则2S 的值为（ ）
A ．22
B ．24
C ．44
D ．48
9．如图，已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （10，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点，将△OBP 沿OP 折叠得到△OPD ，连接CD 、AD ．则下列结论中：①当∠BOP ＝45°时，四边形OBPD 为正方形；②当∠BOP ＝30°时，△OAD 的面积为15；③当P 在运动过程中，CD 的最小值为234﹣6；④当OD ⊥AD 时，BP ＝2．其中结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，BD 为平行四边形ABCD 的对角线，45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，
BF CD ⊥于F ，DE 、BF 相交于H ，直线BF 交线段AD 的延长线于G ，下面结论：①2BD BE =；②A BHE =∠∠；③AB BH =；④BHD BDG ∠=∠其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
11．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．
12．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．
13．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．
14．如图，在正方形ABCD 中，2，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．
15．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于__度．
16．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为_____．
17．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝1
2
AB，运用：如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，
AB＝2，AC＝3，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED连接BE，CE，DE，则CE的长为_____．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，则下列结论：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF；④∠DEC＝
30°；⑤AB ＝2CD ；其中正确的是_____（填序号）
19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．
20．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．
三、解答题
21．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC BD 、交于点O ，分别过点C D 、作//,//CF BD DF AC ，连接BF 交AC 于点E ．
(1)求证: FCE BOE ≌；
(2)当ADC ∠等于多少度时，四边形OCFD 为菱形?请说明理由．
22．如图，点E 为▱ABCD 的边AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF ＝BE ，连接EC 并延长，使CG ＝CE ，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ，AF ．
（1）若∠BAE ＝70°，∠DCE ＝20°，求∠DEC 的度数；
（2）求证：四边形AFHD 为平行四边形；
（3）连接EH ，交BC 于点O ，若OC ＝OH ，求证：EF ⊥EG ．
23．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC .
（1）求证：AEF CGH ∆≅∆
（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：
（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+
24．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BD 与CF 的位置关系为__________；CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系____________________．
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的数量关系并加以证明；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系．
②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究AOC △的形状，并说明理由．
25．如图①，已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点(点E ，F 不与端点重合)，且AE=DF ，BE ，AF 交于点P ，过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H ．
（1）求证：AF ∥CH ；
（2）若AB=23 ，AE=2，试求线段PH 的长；
（3）如图②，连结CP 并延长交AD 于点Q ，若点H 是BP 的中点，试求 CP PQ
的值． 26．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．
（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；
（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF ∠的度数；
（3）联结AF ，求证：2DE AF =．
27．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．
（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α．
①按要求补全图形；
②∠EBF =______________（用含α的式子表示）；
③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．
（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明．
28．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.
（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；
（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；
②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由.
29．如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B 、C 重合），ADE ∆是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，交直线AC 于点F ，连接BE ．
（1）判断四边形BCFE 的形状，并说明理由；
（2）当DE AB ⊥时，求四边形BCFE 的周长；
（3）四边形BCFE 能否是菱形？若可为菱形，请求出BD 的长，若不可能为菱形，请说明理由．
30．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．
（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；
（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；
（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据正方形对角性质可得∠CEB=∠CBE，CE=CB；根据等腰直角三角形性质，证
△ECG≌△BCG，可得2OE；根据直角三角形性质得OF=1
2
BE=
1
2
CG.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB=BC，OA=OB=OC，BD⊥AC，∵BE平分∠ABO，
∴∠OBE=1
2
∠ABO=22.5°，
∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，
在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠CEB=∠CBE，
∴CE=CB；
故①正确；
∵OA=OB，AE=BG，
∴OE=OG，
∵∠AOB=90°，
∴△OEG是等腰直角三角形，
∴2OE，
∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，
∴△ECG≌△BCG，
∴BG=EG，
∴OE；
故②正确；
∵∠AOB=90°，EF=BF，∵BE=CG，
∴OF=1
2
BE=
1
2
CG．
故③正确．
故正确的结论有①②③．
故选A．
【点睛】
运用了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据已知和正方形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，
AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．
【详解】
解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠EAF=90°=∠BEF，
∵∠APD=∠EPB，
∴∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADF，∴①正确；
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
取EF的中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，
∵BM=BM，AM=MF，
∴△ABM≌△FBM，
∴AB=BF，∴②正确；
∴∠BAM=∠BFM，
∵∠BEF=90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，
∵BE=DF，BF=CD，
∴△BEF≌△DFC，
∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，
∴③正确；④正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
过A作AH⊥DC，由勾股定理求出DH的长．然后分三种情况进行讨论：即①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P在线段CD上，根据三种情况点的位置，可以确定t的值．
【详解】
解：过A作AH⊥DC，∴AH=BC=8cm，DH=22
AD AH
- =10064
-=6．
i）当P在AB上时，即
10
3
t≤≤时，如图，
11
103820
22
BPQ
S BP BC t
=⋅=-⨯=
（），解
得：
5
3
t=；
ii ）当P 在BC 上时，即103＜t ≤6时，BP =3t -10，CQ =16-2t ，113101622022
BPQ S BP CQ t t =⋅=-⨯-=（）（），化简得：3t 2-34t +100=0，△=-44＜0，∴方程无实数解．
iii ）当P 在线段CD 上时，若点P 在线段CD 上，若点P 在Q 的右侧，即6≤t ≤
345，则有PQ =34-5t ，13458202BPQ S t =-⨯=（），295
t =＜6（舍去）； 若点P 在Q 的左侧时，即
3485t ≤＜，则有PQ =5t -34，15348202
BPQ S t =-⨯=（）； t =7.8． 综上所述：满足条件的t 存在，其值分别为153
t =，t 2=7.8．
故选B ．
【点睛】
本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．
4．C
解析：C
【分析】
分别过点E 作EG ⊥BC 于点G ，过点M 作MP ⊥CD 于点P ，设EF 与MN 相交于点O ，MP 与EF 相交于点Q ，根据正方形的性质可得EG=MP ；对于小明的说法，先利用“HL ”证明Rt △EFG ≌Rt △MNP ，根据全等三角形对应角相等可得∠MNP=∠EFG ，再根据角的关系推出∠EQM=∠MNP ，然后根据∠MNP+∠NMP=90°得到∠NMP+∠EQM=90°，从而得到∠MOQ=90°，根据垂直的定义即可证得MN ⊥EF ；对于小亮的说法，先推出
∠EQM=∠EFG ，∠EQM=∠MNP ，然后得到∠EFG=∠MNP ，然后利用“角角边”证明△EFG ≌△MNP ，根据全等三角形对应边相等可得EF=MN ．
【详解】
如图，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，过点M 作MP ⊥CD 于点P ，设EF 与MN 相交于点O ，MP 与EF 相交于点Q ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴EG=MP ，
对于小明的说法：
在Rt △EFG 和Rt △MNP 中，
MN EF EG MP ⎧⎨⎩
＝＝， ∴Rt △EFG ≌Rt △MNP （HL ），
∴∠MNP=∠EFG ，
∵MP ⊥CD ，∠C=90°，
∴MP ∥BC ，
∴∠EQM=∠EFG=∠MNP ，
又∵∠MNP+∠NMP=90°，
∴∠EQM+∠NMP=90°，
在△MOQ 中，∠MOQ=180°-（∠EQM+∠NMP ）=180°-90°=90°，
∴MN ⊥EF ，
故甲正确．
对小亮的说法：
∵MP ⊥CD ，∠C=90°，
∴MP ∥BC ，
∴∠EQM=∠EFG ，
∵MN ⊥EF ，
∴∠NMP+∠EQM=90°，
又∵MP ⊥CD ，
∴∠NMP+∠MNP=90°，
∴∠EQM=∠MNP ，
∴∠EFG=∠MNP ，
在△EFG 和△MNP 中，
90EFG MNP EGF MPN EG MP ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩
＝＝＝＝ ， ∴△EFG ≌△MNP （AAS ），
∴MN=EF ，故小亮的说法正确，
综上所述，两个人的说法都正确．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等的性质，作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键，通常情况下，求两边相等，或已知两边相等，都是想法把这两条线段转化为全等三角形的对应边进行求解．
5．C
解析：C
【分析】
如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，通过边长转换，可将PA+PD+PQ转化为PF+EF+PQ的形式，再利根据两点之间线段最短，得出最小值．
【详解】
如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，连接FP，过点E作BC的垂线，交BC于点G，AD于点H，过点A作BC的垂线，交BC于点K
∵△AFE是△APD绕点A逆时针旋转60°得到
∴∠FAP=60°，∠EAD=60°，AF=AP，EF=PD
∴△APF是等边三角形，∴AP=PF
∴PA+PD+PQ=PF+FE+PQ≥EG
∵四边形ABCD是平行四边形，BC=6
∴AE=AD=BC=6，AD∥BC
∴在Rt△AHE中，AH=3，3
∵HG⊥BC，AK⊥BC，AD∥BC
∴AK⊥AD，GH⊥AD，∴AK=HG
∵∠ABC=60°，AB=4
∴在Rt△ABK中，BK=2，3
∴3
=
∴32353
【点睛】
本题考查最值问题，解题关键是旋转△APD ，将PA +PD +PQ 转化为PF+EF+PQ 的形式．
6．B
解析：B
【分析】
连接AC 、BD ，设交于点O ，延长DA 、FE ，设交于点G ，如图所示，先根据菱形的性质和平行线的性质得出∠G =∠BFE ，∠GAB =∠ABF ，进而可根据AAS 证明△AEG ≌△BEF ，可得GE=EF ，AG=BF ，由此可求出DG 的长，然后根据折叠的性质和平行线的性质可得
∠ADF =∠DFE ，于是可得GF=GD ，则GF 可得，再根据三角形的中位线定理和等量代换可得AC 的长，进而可得AO 的长，然后根据勾股定理可求出DO 的长，即得BD 的长，再根据菱形的面积求解即可．
【详解】
解：连接AC 、BD ，设交于点O ，延长DA 、FE ，设交于点G ，如图所示，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ∥BC ，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，
∴∠G =∠BFE ，∠GAB =∠ABF ，
∵,E F 分别是AB ，BC 的中点，菱形的边长为2，
∴AE=BE ，BF=CF =1，12
EF AC =
， ∴△AEG ≌△BEF （AAS ），
∴GE=EF ，AG=BF =1，
∵AD =2，∴DG =3， ∵将CDF 沿着DF 折叠得到DFC '△，若C '恰好落在EF 上，
∴∠CFD =∠DFE ，
∵AD ∥BC ，∴∠ADF =∠DFC ，
∴∠ADF =∠DFE ，
∴GF=GD =3， ∵12EF AC =，12
EF GF =， ∴AC=FG =3，
∴AO =1322
AC =，
在Rt △AOD 中，由勾股定理得：2DO ===，
∴BD ，
∴菱形ABCD 的面积=11322AC BD ⋅=⨯=
【点睛】
本题考查了菱形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的面积、三角形的中位线定理以及勾股定理等知识，属于常考题型，具有一定的难度，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
①③利用正方形的性质、翻折不变性即可解决问题；
②构造全等三角形即可解决问题；
④如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．证明△ABP≌△QBP（AAS），以及△BCH≌△BQH 即可判断；
⑤利用特殊位置，判定结论即可；
【详解】
解：根据翻折不变性可知：PE＝BE，故①正确；
∴∠EBP＝∠EPB．
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH−∠EPB＝∠EBC−∠EBP．
即∠PBC＝∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC．
，故③正确；
∴∠APB＝∠BPH，即PB平分APG
如图1中，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．
∵∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°，
∴四边形BCFK是矩形，
∴KF＝BC＝AB，
∵EF⊥PB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠ABP＋∠BEO＝90°，∠BEO＋∠EFK＝90°，∴∠ABP＝∠EFK，
∵∠A＝∠EKF＝90°，
∴△ABP≌△KFE（ASA），
∴EF＝BP，故②正确，
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB＝∠BPH，
在△ABP和△QBP中，
∠APB＝∠BPH，∠A＝∠BQP，BP＝BP，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP＝QP，AB＝BQ．
又∵AB＝BC，
∴BC＝BQ．
又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，
∴△BCH≌△BQH（HL）
∴QH=HC，
∴PH=PQ+QH=AP+HC，故④正确；
当点P与A重合时，显然MH＞MF，故⑤错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题属于中考选择题中的压轴题．
8．C
解析：C
【分析】
根据已知条件得到AB3CD＝2，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝2BAE＝90°，根
据勾股定理得到BE ＝22AB AE +，于是得到结论．
【详解】
∵S 1＝3，S 3＝8
∴AB ＝3，CD ＝22
过A 作AE ∥CD 交BC 于E
则∠AEB ＝∠DCB
∵AD ∥BC
∴四边形AECD 是平行四边形
∴CE ＝AD ，AE ＝CD ＝22∵∠ABC +∠DCB ＝90°
∴∠AEB +∠ABC ＝90°
∴∠BAE ＝90°
∴BE 3811+=∵BC ＝2AD
∴BC ＝2BE ＝211∴S 2＝(211
44=
故选：C ．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键． 9．D
解析：D
【分析】
①由矩形的性质得到90OBC ∠=︒，根据折叠的性质得到OB OD =，
90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，推出四边形OBPD 是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD 为正方形；故①正确；
②过D 作DH OA ⊥于H ，得到10OA =，6OB =，根据直角三角形的性质得到
132DH OD ，根据三角形的面积公式得到OAD ∆的面积为113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，于是得到OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，根据勾
股定理得到CD 的最小值为6；故③正确；
④根据已知条件推出P ，D ，A 三点共线，根据平行线的性质得到OPB
POA ，等量代换得到OPA
POA ，求得10AP OA ，根据勾股定理得到1082BP BC CP ，故④正确．
【详解】
解：①四边形OACB 是矩形，
90OBC ∴∠=︒，
将OBP ∆沿OP 折叠得到OPD ∆， OB OD ∴=，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，
45BOP ，
45DOP BOP ，
90BOD =∴∠︒，
90BOD OBP ODP ， ∴四边形OBPD 是矩形，
OB OD =，
∴四边形OBPD 为正方形；故①正确；
②过D 作DH OA ⊥于H ，
点(10,0)A ，点(0,6)B ，
10OA ∴=，6OB =， 6OD OB
，30BOP DOP ， 30DOA ， 132DH OD ，
OAD ∴∆的面积为
113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，
则OD CD OC ，
即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，
6AC
OB ，10OA =， 2222106234OC OA AC ，
2346CD OC OD ，
即CD 的最小值为6；故③正确；
④
⊥OD AD ， 90ADO ∴∠=︒， 90ODP OBP ，
180
ADP，
∴，D，A三点共线，
P
OA CB，
//
OPB POA，
OPB OPD，
OPA POA，
AP OA，
10
AC=，
6
22
CP，
1068
BP BC CP，故④正确；
1082
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
通过判断△BDE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠BHE=∠C，再根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，则
∠A=∠BHE，于是可对②进行判断；证明△BEH≌△DEC，得到BH=CD，接着由平行四边形的性质得AB=CD，则AB=BH，可对③进行判断；因为∠BHD=90°+∠EBH，
∠BDG=90°+∠BDE，由∠BDE＞∠EBH，推出∠BDG＞∠BHD，可判断④．
【详解】
解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴△BDE为等腰直角三角形，
222
∴==+==，所以①错误；
BE DE BD BE DE BE BE
,22
∵BF⊥CD，
∴∠C+∠CBF=90°，
而∠BHE+∠CBF=90°，
∴∠BHE=∠C，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠BHE，所以②正确；
在△BEH 和△DEC 中
BHE C HEB CED BE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BEH ≌△DEC ，
∴BH=CD ，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB=CD ，
∴AB=BH ，所以③正确；
∵∠BHD=90°+∠EBH ，∠BDG=90°+∠BDE ，
∵∠BDE=∠DBE ＞∠EBH ，
∴∠BDG ＞∠BHD ，
所以④错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握平行四边形的性质并能灵活运用是解题关键，本题中主要用到平行四边形对边相等，对角相等．
二、填空题
11．4:9
【分析】
设DP ＝DN ＝m ，则PN
m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=
12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．
【详解】
根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN
m ，
∴
m=MC ，
，
∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，
∵四边形HMPN 是正方形，
∴GF ⊥BC
∵∠ACB ＝45︒，
∴△FGC 是等腰直角三角形，
∴FG=CF=
12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98
m 2，
∴12:S S =12m 2: 98
m 2=4:9， 故答案为4：9．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12．8个
【分析】
作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ，可得点H 到点E 和点F 的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【详解】
如图，作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ， ∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝6，
∴EC ＝4，FC ＝2＝AE ，
∵点M 与点F 关于BC 对称，
∴CF ＝CM ＝2，∠ACB ＝∠BCM ＝45°，
∴∠ACM ＝90°，
∴EM
则在线段BC 存在点H 到点E 和点F 的距离之和最小为5，
在点H 右侧，当点P 与点C 重合时，则PE ＋PF ＝4＋2＝6，
∴点P 在CH 上时，PE ＋PF ≤6，
在点H 左侧，当点P 与点B 重合时，
∵FN ⊥BC ，∠ABC ＝90°，
∴FN ∥AB ，
∴△CFN ∽△CAB ， ∴FN CN CF 1===AB CB CA 3
，
∵AB ＝BC ＝
2AC ＝
∴FN ＝
13AB ，
CN ＝13
BC
∴BN ＝BC －CN ＝，
BF ＝，
∵AB ＝BC ，CF ＝AE ，∠BAE ＝∠BCF ，
∴△ABE ≌△CBF （SAS ），
∴BE＝BF＝10，
∴PE＋PF＝210，
∴点P在BH上时，25＜PE＋PF＜210，
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE＋PF＝5，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE＋PF＝5．
即共有8个点P满足PE＋PF＝5，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
13．25
【分析】
作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，则四边形BEDF是矩形，证明△ABE≌△CBF（AAS），得出BE=BF，△ABE的面积=△CBF的面积，则四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积=正方形BEDF的面积，求出BE=10，即可求得BD的长．
【详解】
解：作BE⊥AD交DA延长线于E，BF⊥CD于F，如图所示：
则∠BEA=∠BFC=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴∠EBF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE 和△CBF 中，
BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CBF （AAS ），
∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，
∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，
∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，
∴
(cm)，
∴
．
故答案为：
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
14
．【详解】
解析：∵在正方形ABCD 中，
AC=
∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°
设EF 与AD 交点为O ，O 是AD 的中点,
∴AO=3
以AD 为对角线的所有▱AEDF 中，当EF ⊥AC 时，EF 最小，
即△AOE 是直角三角形，
∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，
2
， ∴
EF=2OE=15．65
【分析】
先由正方形的性质得到∠ABF 的角度，从而得到∠AEB 的大小，再证△AEB ≌△AED ，得到∠AED 的大小
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD
∵∠FBC=20°，∴ABF=70°
∴在△ABE 中，∠AEB=65°
在△ABE 与△ADE 中
45AB AD BAE EAD AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ABE≌△ADE
∴∠AED=∠AEB=65°
故答案为：65°
【点睛】
本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出∠AEB 的大小.
16．10+55
【分析】
取DE 的中点N ，连结ON 、NG 、OM ．根据勾股定理可得55NG =．在点M 与G 之间总有MG ≤MO+ON+NG （如图1），M 、O 、N 、G 四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG 的最大值．
【详解】
如图1，取DE 的中点N ，连结ON 、NG 、OM ．
∵∠AOB＝90°，
∴OM＝
12
AB ＝5． 同理ON ＝5． ∵正方形DGFE ，N 为DE 中点，DE ＝10，
∴222210555NG DN DG ++＝＝＝．
在点M 与G 之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），
如图2，由于∠DNG 的大小为定值，只要∠DON＝
12
∠DNG，且M 、N 关于点O 中心对称时，M 、O 、N 、G 四点共线，此时等号成立，
∴线段MG取最大值5
故答案为：5
【点睛】
此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．
17．513
13
【分析】
根据1
2
•BC•AH＝
1
2
•AB•AC，可得AH＝
13
13
，根据
1
2
AD•BO＝
1
2
BD•AH，得OB＝
613
，再根据BE＝2OB 1213
EC．
【详解】
设BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，由勾股定理得：BC13
∵点D是BC的中点，
∴AD＝DC＝DB 13
，
∵1
2
•BC•AH＝
1
2
•AB•AC，
∴AH＝
13 13
，
∵AE＝AB，DE＝DB，
∴点A在BE的垂直平分线上，点D在BE的垂直平分线上，∴AD垂直平分线段BE，
∵1
2
AD•BO＝
1
2
BD•AH，
∴OB
613
∴BE ＝2OB ＝1213， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，
∴∠DEB+∠DEC=12
×180°=90°，即：∠BEC=90°， ∴在Rt △BCE 中，EC ＝22BC BE - ＝221213(13)(
)13-=513． 故答案为：513． 【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．
18．①②③⑤
【分析】
根据三角形中位线定理得到EF ＝
12AB ，EF ∥AB ，根据直角三角形的性质得到DF ＝12
AC ，根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．
【详解】 ∵E ，F 分别是BC ，AC 的中点，
∴EF ＝12
AB ，EF ∥AB ， ∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝45°，
∴∠ACD ＝45°，
∴∠BAC ＝∠ACD ，
∴AB ∥CD ，
∴EF ∥CD ，故①正确；
∵∠ADC ＝90°，F 是AC 的中点，
∴DF ＝CF=12
AC ， ∵AB=AC ，EF ＝
12
AB ， ∴EF ＝DF ，故②正确； ∵∠CAD=∠ACD=45°，点F 是AC 中点，
∴△ACD 是等腰直角三角形，DF ⊥AC ，∠FDC=45°，
∴∠DFC=90°，
∵EF//AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，
∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，
∵∠FDC＝45°，
∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，
∴∠FDE=∠CDE，
∴DE平分∠FDC，故③正确；
∵AB＝AC，∠CAB＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴AC2=2CD2，
∴CD，
∵AB=AC，
∴AB CD，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
19．【分析】
作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．
【详解】
解：作AB的中点M，连接EM、CM．
在Rt△ABC中，AB10，
∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CM＝1
2
AB＝5．
∵E是BD的中点，M是AB的中点，
∴ME＝1
2
AD＝2．
∴5﹣2≤CE≤5+2，即3≤CE≤7．∴最大值为7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．
202
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG 即可．
【详解】
由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，
∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，
∵四边形EFCB 为矩形，
∴FC=BE=1，
∵AB ∥FC ，
∴∠GFC=∠DAF=45°，
∴GC=FC=1， ∴22112FG GC FC =+=+= 2．
【点睛】
本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形，证明详见解析
【分析】
（1）证明四边形OCFD 是平行四边形，得出OD=CF ，证出OB=CF ，再证明全等即可（2）证出四边形ABCD 是矩形，由矩形的性质得出OC=OD ，即可得出四边形OCFD 为菱形.
【详解】
(1)证明:∵//,//CF BD DF AC ，
∴四边形OCFD 是平行四边形， OBE CFE ∠=∠，
∴OD CF =，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB OD =，
∴OB CF =，
在FCE △和BOE △中， OBE CFE BEO FEC OB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()FCE BOE AAS ≌．
(2)当ADC 满足90ADC ∠=︒时，四边形OCFD 为菱形.理由如下:
∵90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是矩形
∴,,,OA OC OB OD AC BD ===
∴OC OD =，
∴四边形OCFD 为菱形
【点睛】
本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形和菱形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质和菱形的判定是解题的关键.
22．（1）50°；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ；证明BC 是△EFG 的中位线，得出BC ∥FG ，BC ＝12
FG ，证出AD ∥FH ，AD ∥FH ，由平行四边形的判定方法即可得出结论； （3）连接EH ，CH ，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠BAE ＝∠BCD ＝70°，AD ∥BC ，
∵∠DCE ＝20°，
∵AB ∥CD ，
∴∠CDE ＝180°﹣∠BAE ＝110°，
∴∠DEC ＝180°﹣∠DCE ﹣∠CDE ＝50°；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∠BAE ＝∠BCD ，
∵BF ＝BE ，CG ＝CE ，
∴BC 是△EFG 的中位线，
∴BC ∥FG ，BC ＝12
FG ， ∵H 为FG 的中点，
∴FH ＝12FG ， ∴BC ∥FH ，BC ＝FH ，
∴AD ∥FH ，AD ∥FH ，
∴四边形AFHD 是平行四边形；
（3）连接EH ，CH ，
∵CE ＝CG ，FH ＝HG ，
∴CH ＝12
EF ，CH ∥EF ， ∵EB ＝BF ＝12EF ， ∴BE ＝CH ，
∴四边形EBHC 是平行四边形，
∴OB ＝OC ，OE ＝OH ，
∵OC ＝OH ，
∴OE ＝OB ＝OC ＝12
BC ， ∴△BCE 是直角三角形，
∴∠FEG ＝90°，
∴EF ⊥EG ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）62BE =（3）证明见解析．
【分析】
（1）根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质可证明∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，再证明四边形ACGE 是平行四边形即可证明AE=CG ，由此可利用“AAS”可证明全等； （2）证明△AEF ≌△DGF （AAS ）可得△DGF ≌△CGH ，所以可得12
AE
DG CG CD ，再结合等腰直角三角形的性质即可求得CD ，由此可得结论；
（3）利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质结合勾股定理分别把22AC BD +和22AB BC +用2CD 表示即可得出结论． 【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB//CD ，AD//BC ，
∴∠E=∠EGD ，∠H=∠DFG ，
∵∠CGH=∠EGD ，∠DFG=∠AFE ，
∴∠E=∠CGH ，∠H=∠AFE ，
∵//EH AC ，AB//CD ，
∴四边形ACGE 是平行四边形，
∴AE=CG ，
∴△AEF ≌△CGH （AAS ）；
（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB//CD ，AB=CD ，
∴∠E=∠EGD ，∠D=∠EAF ，
∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∴△AEF ≌△DGF （AAS ）；
由（1）得△AEF ≌△CGH （AAS ）；
∴△DGF ≌△CGH, ∴12AE DG CG CD , ∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，8AD =， ∴242AB CD AD ,
∴22AE =，
∴62BE AB BE =+=；
（3）如下图，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴CD=AB ，AD=BC ，AC=2OC ，BD=2OD ，
∵ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，AC=CD ，
∴222222244()AC BD AC OD AC OC CD ++++==
2222222(2)446AC A OC CD AC D C CD C ++=++==，
且222222223CD AD CD AC CD C AB BC D =+=+++=,。