第三章_平面任意力系

第三章 平面任意力系
[习题3-1] x 轴与y 轴斜交成α角，如图3-23所示。

设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有0=∑iA M ，0=∑iB M ，且0=∑iy F ，0≠∑ix F 。

已知a OA =，求B 点在x 轴上的位置。

解：
因为0==∑iA A M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心A 。

又因为0==∑iB B M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心B 。

一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。

因此，合力R F 的作用线同时能过A 、B 两点。

又因为0==∑iy Ry F F ，所以合力R F 与y 轴垂直。

即AB 与y 垂直。

由直角三角形OAB 可知，B 点离O 点的距离为： α
cos a
b =
[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy 平面内)中的各力在x 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为m kN M A ⋅=12，m kN M B ⋅=15，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ)。

解：由公式（3-5）可知：
)(212R O O O F M M M +=
)(R B A B F M M M +=
)()(Ry B Rx B A B F M F M M M ++=
依题意0=Rx F ，故有：
)(Ry B A B F M M M +=
)24(1215-⨯+=Ry F
32=Ry F )(5.1kN F Ry = kN F F Ry R 5.1==
)(85
.112
m F M a R A ===
故C 点的水平坐标为：m x 6-=。

[习题3--3] 某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力F P ＝250ｋＮ，屋顶传来的力F Q ＝30ｋＮ，试将该两力向底面中心O 简化。

图中长度单位是ｍｍ。

解:主矢量:)
(
280
30
250kN
F
F
F
Q
P
R
=
+
=
+
=(↓)，作用在O点。

主矩: )
(
33
15
.0
)
30
250
(
15
.0
15
.0m
kN
F
F
M
Q
P
O
⋅
-
=
⨯
+
-
=
⨯
+
⨯
-
=
[习题3--4] 已知挡土墙自重kN
W400
=，土压力
kN
F320
=，水压力kN
F
P
176
=，如图3-26所示。

求
这些力向底面中心O简化的结果；如能简化为一合力，
试求出合力作用线的位置。

图中长度单位为m。

解:
(1) 求主矢量
)
(
134
.
69
40
cos
320
176
40
cos0
0kN
F
F
F
P
Rx
-
=
-
=
-
=
)
(
692
.
605
40
sin
320
400
40
sin0
0kN
F
W
F
Ry
-
=
-
-
=
-
-
=
)
(
625
.
609
)
692
.
605
(
)
134
.
69
(2
2
2
2kN
F
F
F
Ry
Rx
R
=
-
+
-
=
+
=
R
F与水平面之间的夹角:
"
'
018
29
83
134
.
69
692
.
605
arctan
arctan=
-
-
=
=
Rx
Ry
F
F
α
(2) 求主矩
)
(
321
.
296
)
60
cos
3
3(
40
sin
320
60
sin
3
40
cos
320
2
176
8.0
4000
0m
kN
M
O
⋅
=
-
⨯
-
⨯
+
⨯
-
⨯
=
(3)把主矢量与主矩合成一个力
)
(
486
.0
625
.
609
321
.
296
m
F
M
d
R
O=
=
=
)
(
0555
.0
134
.
69
692
.
605
486
.0
tan
m
d
x=
=
=
α
[习题3--5] 某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅垂力F 1＝1940ｋＮ，F 2＝800ｋＮ及制动力F T ＝193ｋＮ。

桥墩自重W ＝5280ｋＮ，风力F P ＝140ｋＮ。

各力作用线位置如图所示。

求将这些力向基底截面中心O 简化的结果；如能简化为一合力，试求出合力作用线的位置。

解:
(1) 求主矢量
)(333193140kN F F F T P Rx -=--=--=
)(80208001940528021kN F F W F Ry -=---=---=
)(91.8026)8020()333(222
2
kN F F F Ry Rx R =-+-=+=
R F 与水平面之间的夹角:
"'021*******
8020
arctan arctan
=--==Rx
Ry F F α
(2) 求主矩
)(25.60554.019404.080025.211937.10140m kN M O ⋅=⨯+⨯-⨯+⨯= (3)把主矢量与主矩合成一个力
)(754.091
.802625
.6055m F M d R O ===
)(0313.0333
8020
754
.0tan m d x ===
α
'
[习题3--6] 图示一平面力系，已知F 1＝200Ｎ，F 2＝100Ｎ，Ｍ＝300Ｎ·ｍ。

欲使力系的合力通过O 点，问水平力之值应为若干? 解:
1205
3
200cos 1-=⨯-=-=F F F F F Rx θ )(2605
4
200100sin 12kN F F F Ry
-=⨯--=--=θ
主矢量:
22)260()120(-+-=F F R
)(56025
4
200253200)(10m kN F M ⋅=⨯⨯+⨯⨯=
)(2002100)(20m kN F M ⋅-=⨯-=
F F M 5.1)(0-= 主矩:
F F M 5.1603005.12005600-=---= 要使合力通过O 点,必使:
05.1600=-=F M ,即kN F 40=
[习题3--7] 在刚架的A 、B 两点分别作用1F 、2F 两力，已知1F ＝2F ＝10ｋＮ。

欲以过Ｃ点的一个力F 代替1F 、2F ，求Ｆ的大小、方向及B 、C 间的距离。

解:
)(55.0101060cos 012kN F F F Rx =⨯-=-=
)(66.8866.01060sin 01kN F F Ry -=⨯-=-= 主矢量:
)(10)66.8(522kN F R =-+=
方向0605
66
.8arctan arctan
-=-==Rx
Ry F F α(↘)
x x F M C 66.860sin 10)(01-=-= (设x BC =)
)(20210)(2m kN F M C ⋅=⨯= 主矩:
2066.8+-=x M C
要使F 通过C 点, 且与1F ,2F 两力等效,必使:
02066.8=+-=x M C ,即)(309.2m x =
当)(309.2m x =时, )(10kN F F R ==,方向与x 轴正向成060((↘).
[习题3--8] 外伸梁AC 受集中力P F 及力偶（F ，F ′）的作用。

已知P F ＝2ｋＮ，力偶矩M ＝1.5ｋＮ·ｍ，求支座A 、B 的反力。

解：
（1）以AC 为研究对象，画出其受力图如图所示。

（2）因为AC 平衡，所以 ①
0)(=∑i A
F M
0645sin 40=⨯--⨯F M R B
)(49.24/)67071.025.1(4/)645sin (0kN F M R B =⨯⨯+=⨯+= ②
0=∑ix
F
045cos 0=+F R Ax
)(41.145cos 20kN R Ax -=-= ③
0=∑iy
F
045sin 0=-+F R R B Ay
)(08.17071.025.245sin 0N F R R B Ay -=⨯+-=+-=
m
5.
[习题3－9] 求图示刚架支座A 、B 的反力，已知：图（a
）中，M ＝2.5ｋＮ·ｍ，F ＝5ｋＮ；图（ｂ）中，ｑ＝１ｋＮ／ｍ，F ＝3ｋＮ。

解：图（a ）
（1）以刚架ABCD 为研究对象，画出其受力图如图所示。

（2）因为AC 平衡，所以 ①
0)(=∑i A
F M
025
4
5.2532=⨯⨯-⨯⨯++⨯F F M R B
085.75.22=-++B R )(1kN R B = ②
0=∑ix
F
B
R 053
=⨯-F R Ax )(35
3
5kN R Ax =⨯=
③
0=∑iy
F
054
=⨯-+F R R B Ay )(38.0515
4
kN F R R B Ay =⨯+-=⨯+-=
解：图（b ）
（1）以刚架ABCD 为研究对象，画出其受力图如图所示。

（2）因为AC 平衡，所以 ①
0)(=∑i A
F M
02434=⨯⨯-⨯-⨯q F R B 0241334=⨯⨯-⨯-B R )(25.44/)89(kN R B =+= ②
0=∑ix
F
0=+F R Ax )(3kN F R Ax -=-= ③
0=∑iy
F
04=⨯-+q R R B Ay
)(25.04125.44kN q R R B Ay -=⨯+-=⨯+-=
[习题3－10] 弧形闸门自重W ＝150ｋＮ，水压力P F ＝3000ｋＮ，铰Ａ处摩擦力偶的矩M ＝60ｋＮ·ｍ。

求开始启门时的拉力T F 及铰A 的反力。

解：
开始打开闸门时，B 与地面脱开，0=B N 。

因为此时闸门平衡，所以 ①0)(=∑i A F M
061.04=⨯-⨯-⨯+T P F F W M 061.03000415060=⨯-⨯-⨯+T F 0630060060=⨯--+T F 05010010=--+T F )(60kN F T = ②0=∑ix F
030cos 0=+P Ax F R
)(2598866.03000kN R Ax -=⨯-= ③0=∑iy F
030sin 0=-++W F F R P T Ay
P
F T
F Ax
R Ay
R B
C
)(14101505.030006030sin 0kN W F F R P T Ay -=+⨯--=+--=
[习题3－11] 图为一矩形进水闸门的计算简图。

设闸门宽（垂直于纸面）１ｍ，AB ＝２ｍ，重W ＝15ｋＮ，上端用铰A 支承。

若水面与A 齐平后无水，求开启闸门时绳的张力T F 。

解：
)(15.0230sin 0m AB AC =⨯== )(732.1866.0230cos 0m AB BC =⨯==
开启闸门时，0=B N ，此时，因为AB 平衡，所以
0)(=∑i A
F M
5.073.132
]73.1)73.1(21[1=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯-W F w T γ05.01573.13
2
73.173.18.9211=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯-T F
05.7914.16=+⨯-T F
)(414.24kN F T =
[习题3－12] 拱形桁架的一端A 为铰支座，另一端B 为辊轴支座，其支承面与水平面成倾角30°。

桁架重量W 为100ｋＮ，风压力的合力Q F 为20ｋＮ，其方向平行于AB 。

求支座反力。

Ax
R Ay
R B
R Q
F Ax
R Ay
R A
M 解：因为桁架平衡，所以 ①0)(=∑i A F M
04102030cos 0
=⨯+⨯+⨯-Q B F W R 080100032.17=++-B R )(4.62kN R B = ②0=∑ix F
030sin 0=-+Q B Ax F R R 0205.036.62=-⨯+Ax R )(2.11kN R Ax -= ③0=∑iy F
030cos 0=-+W R R B Ay 0100866.04.62=-⨯+Ay R )(46kN R Ay =
[习题3－13] 悬管刚架受力如图。

已知q ＝4ｋＮ／ｍ，F 2＝5ｋＮ，F 1＝4ｋＮ，求固定端A 的约束反力。

解：
因为ABC 平衡，所以 ①0)(=∑i A F M
032
1
35.2221=⨯⨯-⨯-⨯-q F F M A 0342
1
345.252=⨯⨯-
⨯-⨯-A M 018125.12=---A M )(5.42m kN M A ⋅= ②0=∑ix F
01=+Ax R F )(41kN F R Ax -=-= ③0=∑iy F
032=⨯--q F R Ay )(17345kN R Ay =⨯+=
[习题3－14] 汽车前轮荷载为10ｋＮ，后轮荷载为40ｋＮ，前后轮间的距离为2.5ｍ，行驶在长10ｍ的桥上。

试求：（１）当汽车后轮处在桥中点时，支座A 、B 的反力；（２）当支座A 、B 的反力相等时，后轮到支座A 的距离。

解：因为桥AB 平衡，所以 ①0)(=∑i A F M
0)5.2(104010=+--⨯x x R B 0)5.2(4=+--x x R B 05.24=---x x R B 5.25+=x R B ②0=∑ix F
0=Ax R ③0=∑iy F
04010=--+B Ay R R
x x R R B Ay 55.475.255050-=--=-=
当汽车后轮处在桥中点时，m x 5=，此时，
0=Ax R
)(5.22555.47kN R Ay =⨯-=
)(5.275.2555.25kN x R B =+⨯=+= 当B A R R =时，后轮的位置：
5.2555.47+=-x x 4510=x )(5.4m x =
[习题3－15] 汽车起重机在图示位置保持平衡。

已知起重量1W ＝10ｋＮ，起重机自重2W ＝70ｋＮ。

求A 、B 两处地面的反力。

起重机在这位置的最大起重量为多少?
解：因为起重机在图示位置时处于平衡，所以 ①0)(=∑i A F M
05.2705.7105.4=⨯-⨯-⨯B R )(6.555.4/)17575(kN R B =+= ②0=∑iy F
A
B
A R B
R kN
W 101=kN
W 702=
07010=--+B A R R
)(4.248056.5580kN R R B A =+-=+-= 设最大起重量为max W ，则此时0=A R
0)(=∑i B
F M
03270max =⨯-⨯W )(7.463/140max kN W ==
[习题3－16] 基础梁AB 上作用集中力1F 、2F ，已知kN F 2001=，kN F 4002=。

假设梁下的地基反力呈直线变化，试求A 、B 两端分布力的集度A q 、B q 。

图中长度单位为m 。

解：因为基础梁AB 平衡，所以 ①0)(=∑i A F M
0513663
2
)(62121=⨯-⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯F F q q q A A B 020*******)(12=--+-A A B q q q 110036=+A B q q ……………….(1) ②0=∑iy F
06)(62
1
21=--⨯+-⨯⨯F F q q q A A B 60033=+A B q q ……………….(2) (1)-(2)得：
5003=B q
kN F 2001=kN
F 4002=
BC
N AC
N BD
N kN
F 20=kN
W 320=
6)/(167m kN q B =
)/(337.166200200m kN q q B A ===-=
[习题3－17] 将水箱的支承简化如图示。

已知水箱与水共重W ＝320ｋＮ，侧面的风压力kN F 20=，求三杆对水箱的约束力。

解：因为水箱平衡，所以 ①0)(=∑i A F M
06208.13206.3=⨯-⨯-⨯BD N
)(1936.3/)120576(kN N BD =+=（压力） ②0=∑ix F
0cos 20=∠+BCD N BC
08
.46.36.3202
2
=+⋅
+BC N
06.020=⋅+BC N
)(336.0/20kN N BC -=-= （拉力） ③0=∑iy F
0sin =-++∠W N N BCD N BD AC BC
03201936
8
.433=-++⨯
-AC N )(153kN N AC = （压力）
[习题3－18] 图示冲压机构。

设曲柄OA 长r ，连杆AB 长l ，平衡时OA 与铅直线成α角，求冲压力P F 与作用在曲柄上的力偶M 之间的关系。

解：
以曲柄OA 为研究对象，其受力图如图所示。

α
βsin sin l
r =
αβsin sin l
r
=
ααββ22222sin 1
)sin (
1sin 1cos r l l
l r -⋅=-=-= )sin cos cos (sin )sin(βαβαβα+=+=r r d
)sin cos sin 1(sin 222ααααl
r
r l l r d ⋅+-⋅= )cos sin (sin 222ααα
r r l l
r d +-=
因为OA 平衡，所以
M d R A =
M r r l l
r R A =+-⋅
)cos sin (sin 222ααα
)
cos sin (sin 2
2
2
αααr r l r Ml
R A +-=
由滑块B 的平衡可知，
βcos A P R F = αααα222
222sin 1)cos sin (sin r l l
r r l r Ml
F P -⋅
+-=
)
cos sin (sin sin 2
2
2
222ααααr r l r r l M F P +--=
α
ααα2
2
2
222sin )
cos sin (sin r l r r l r F M P -+-=
)sin cos 1(sin 2
2
2
α
ααr l r r F M p -+
⋅=
[习题3－19] 图中半径为Ｒ的扇形齿轮，可借助于轮1O 上的销钉A 而绕2O 转动，从而带动齿条BC 在水平槽内运动。

已知r A O =1，r O O 321=。

在图示位置A O 1水平（21O O 铅直）。

今在圆轮上作用一力矩M ，齿条BC 上作用一水平力F ，使机构平衡，试求力矩M 与水平力F 之间的关系。

设机构各部件自重不计，摩擦不计。

M
'
A
N
解：
以轮1O 为研究对象，其受力图如图所示。

因为轮1O 平衡，所以
0)(1
=∑i O F M
0sin =-M r N A α
r M
r
r r M r M N A 22sin =
⋅==
α 以齿轮和齿条构成的物体系统为研究对象，其受力图如图所示。

因为物体系统平衡，所以
0)(1
=∑i O F M 0)(2
=∑i O F M
02'
=⋅-⋅r N R F A
02=⋅-r N FR A
022=⋅-
r r M
FR 04=-M FR 4
FR M =
[习题3－20] 图示一台秤。

空载时，台秤及其支架的重量与杠杆的重量恰好平衡；当秤台上有重物时，在AO 上加一秤锤，设秤锤重量为W ，OB ＝a ，求AO 上的刻度x 与重量P 之间的关系。

a
x
O
R B
R W
O B
A
解：以杠杆OA 为研究对象，其受力图如图所示。

因为AB 平衡，所以
0)(=∑i O
F M
0=+-Wx a R B
a
Wx
R B =
以称台为研究对象，其受力图如图所示。

因为AB 平衡，所以
0=∑ix
F
0=C R
0=∑iy
F
0'
=-P R B
0=-P R B
0=-P a Wx
W
Pa x =
[习题3－21] 三铰拱桥，每一半拱自重P ＝40ｋＮ，其重心分别在D 和E 点，桥上有荷载W ＝20ｋＮ，位置如图。

求铰A 、B 、C 三处的约束力。

图中长度单位为ｍ。

A H B
H B
V A
V
C
解：以整体为研究对象，其受力图如图所示。

因为整体平衡，所以
0)(=∑i B
F M
015.7910=⨯-⨯-⨯-⨯P W P V B
)(5510/)205.7400(10/)5.710(kN W P V B =⨯+=+=
0=∑iy
F
02=--+W P V V B A
)(452080552kN W P V V B A =++-=++-= 以BC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为BC 平衡，所以
0)(=∑i C
F M
0545=⨯-⨯+⨯B B V P H 5/)54(⨯+⨯-=B B V P H
)(13408.0458.0kN P V B =⨯-=-= 由整体的平衡条件得：
0=+B A H H
)(13kN H H B A -=-=
Ax
R Ay R B
R 0=∑ix
F
0=+C B H H
)(29kN H H B C -=-= （←）
0=∑iy
F
0=-+P V V C B
)(54540kN V P V B C -=-=-= （↓）
[习题3－22] 三铰拱式组合屋架如图所示，已知m kN q /5=，求铰C 处的约束力及拉杆AB 所受的力。

图中长度单位为m 。

解：
以整体为研究对象，其受力图如图所示。

因为整体平衡，所以
0)(=∑i A
F M
05.499=⨯⨯-⨯q R B )(5.2255.45.4kN q R B =⨯==
0=∑ix
F
0=Ax R
0=∑iy
F
09=⨯-+q R R B A
)(5.22595.229kN q R R B A =⨯+-=+-= 以右半部分为研究对象，其受力图如图所示。

因为右半部分（局部）平衡，所以
0)(=∑i C
F M
B
5.
1q
D
Cx
R Cy Ox
R 025.25.455.45.1=⨯⨯-⨯+⨯-B AB R N
)(75.335.1/)25.25.455.45.22(kN N AB =⨯⨯-⨯=
0=∑ix
F
0=-AB Cx N R )(75.33kN N R AB Cx ==
0=∑iy
F
0=+B Cy
R R
)(5.22kN R R B Cy -=-=
[习题3－23] 剪钢筋用的设备如图所示。

欲使钢筋受力12ｋＮ，问加在A 点的力应多大?图中长度单位为ｍｍ。

解：
以BCD 为研究对象，其受力图如图所示。

因为BCD 平衡，所以
0)(=∑i C
F M
02.02.145sin 0=⨯+⨯-D B N R 023=+⋅-D B N R
)(828.22
312kN R B ==
M
以OA 为研究对象，其受力图如图所示。

因为OA 平衡，所以
0)(=∑i O
F M
03.045sin 5.10'
=⨯+⨯-B R F
5.1/)3.045sin (0⨯=B R F
)(4.05.1/)3.07071.0828.2(kN F =⨯⨯=
[习题3－24] 图为某绳鼓式闸门启闭设备传动系统的简图。

已知各齿轮半径分别为1r 、2r 、3r 、4r ，绳鼓半径r ，闸门重W ，求最小的启门力M 。

设整个设备的机械效率为η（即M 的有效部分与M 之比）。

解：以轮1O 为研究对象，其受力图如图所示。

图中，1F 为轮2O 对轮1O 的啮合力。

θ为压力角。

因为轮1O 平衡，所以
0)(1
=∑i O F M
0c o s 11=⋅-r F M θη θηc o s
11r M
F =
以轮2O 为研究对象，其受力图如图所示。

图中，2F 为轮3O 对轮2O 的啮合力。

θ为压力角。

因为轮2O 平衡，所以
'
1
0)(2
=∑i O F M
0cos cos 2'
132=⋅-⋅r F r F θθ 0cos cos 2132=⋅-⋅r F r F θθ
3122r F r F =
θ
ηcos 132r M
r r ⋅
=……(1) 以轮3O 为研究对象，其受力图如图所示。

因为轮3O 平衡，所以
0)(3
=∑i O F M
W r r F -⋅4'
2cos θ
W r r F -⋅42cos θ
θ
cos 42r rW
F =
(2)
由（1）、（2）得：
θθηcos cos 4132r rW r M r r =⋅ 4132r rW r M r r =⋅η 4
231r r rW
r r M η=
[习题3－25] 图为一种气动夹具的简图，压缩空气推动活塞E 向上，通过连杆ＢＣ推动曲臂AOB ，使其绕O 点转动，从而在A 点将工件压紧。

在图示位置，ａ＝２０°，已知活塞所受总压力F ＝３ｋＮ，试求工件受的压力。

所有构件的重量和各铰处的摩擦都不计。

图中长度单位为ｍｍ。

kN
3'
解：以C 铰为研究对象，其受力图如图所示。

因为C 铰平衡，所以
0=∑ix
F
020cos 20cos 00=-D C BC N N DC BC N N =
0=∑iy
F
0320sin 20
=+-BC N
)(386.420sin 23
kN N BC ==
以曲臂AOB 为研究对象，其受力图如图所示。

因为曲臂AOB 平衡，所以
0)(=∑i O
F M
01.025.070sin 0'
=⨯-⨯A BC N N 05.270sin 0=-⨯A BC N N
)(3.105.29397.0386.45.270sin 0kN N N BC A =⨯⨯=⨯= 根据作用与反作用公理，工件所受到压力为10.3kN 。

A
C
'
Cy
R A
M Ax
R Ay
R m
kN ⋅6B
C
B
R kN
4Cy
R Cx
R [习题3－26] 水平梁由AC 、BC 二部分组成，A 端插入墙内，B 端搁在辊轴支座上，Ｃ处
用铰连接，受F 、M
作用。

已知F ＝４ｋＮ，M ＝６ｋＮ·ｍ，求A 、B 两处的反力。

解：以BC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为BC 平衡，所以
0)(=∑i C
F M
064=-⨯B R )(5.14/6kN R B ==
0=∑iy
F
04=-+B cy R R
)(5.245.14kN R R B cy =+-=+- 以AC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为AC 平衡，所以
0=∑iy
F
0'
=-cy Ay R R )(5.2kN R R cy Ay ==
0)(=∑i A
F M
04'
=⨯-Cy A R M
)(1045.24m kN R M Cy A ⋅=⨯=⨯=
kN
F 5=kN
R D 5.2=
kN
R C 5.2=
m
kN /3.'
B Ay
2[习题3－27] 钢架ABC 和梁CD ，支承与荷载如图所示。

已知F ＝５ｋＮ，q ＝２００Ｎ／ｍ，q 0＝３００Ｎ／ｍ，求支座A 、B 的反力。

图中长度单位为m 。

解：以CD 为研究对象，其受力图如图所示。

因为CD 平衡，所以
0)(=∑i D F M
0152=⨯-⨯C R )(5.2kN R C =
0=∑iy F
05=-+C D R R
)(5.255.25kN R R C D =+-=+-=
以刚架ABC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为ABC 平衡，所以
0)(=∑i A
F M
0)23
1
()23.021(5.22.0215.25.222=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+
⨯+⨯-B R 02.0625.025.62=+++-B R )(5375.32/075.7kN R B ==
0=∑ix
F
0)23.02
1
(=⨯⨯-Ax R
m
kN q /2=
m
kN q /2=m
)(3.0kN R Ax =
0=∑iy
F
05.22.05.2=⨯--+B Ay R R
)(5375.035375.33kN R R B Ay -=
+-=+-=
[习题3－28] 组合结构如图所示，已知q ＝２ｋＮ／ｍ，求AC 、CD 、BD 三杆的内力。

解：以整个组合结构为研究对象，其受力图如图所示。

因为CD 平衡，所以
0)(=∑i A
F M
02624=⨯⨯-⨯B R )(6kN R B =
0=∑iy
F
062=⨯-+A B R R
)(612612kN R R A B =+-=+-=
过C 铰和AD 杆，把结构截断，取左半部分为研究对象，其受力图如图所示。

因为左半部分平衡，所以
0)(=∑i C
F M
05.132262sin =⨯⨯+⨯-⨯θCD N
05.46sin =+-θAD N （压力）
N BD
N N D
Ax
R By
R Bx
R Ay
R 05.15
1=-AD
N
)(354.355.1kN N AD == 根据结构的对称性可知，
)(354.3kN N N AD BD ==
以结点D 为研究对象，其受力图如图所示。

0=∑iy
F
0sin 2=+θAD CD N N
)(35
155.12sin 2kN N N AD CD -=⨯
⨯-=-=θ
[习题3－29] 在图示结构计算简图中，已知q ＝15ｋＮ／ｍ，求A 、B 、C 处的约束力。

解：以整体为研究对象，其受力图如图所示。

因为整体平衡，所以
0)(=∑i A
F M
0481548=⨯⨯--Bx By R R 1202=-Bx By R R (1)
0)(=∑i B
F M
0481548=⨯⨯++-Ax Ay R R 01202=--Ax Ay R R (2)
0=∑iy
F
0120=-+By Ay R R 120=+By Ay R R (3)
0=∑ix
F
0=+Bx Ax R R (4)
Bx
R
Cy
R C
m
kN q /15=Bx
R Cy
R C
m
kN q /15=以BC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为BC 平衡，所以
0)(=∑i C
F M
04152
1
442=⨯⨯-
+Bx By R R 30=+Bx By R R …………(5)，前面已得到（1） 1202=-Bx By R R …………(1) （1）+（5）得：
1503=By R )(50kN R By =
)(20503030kN R R By Bx -=-=-=，前面已得到（4）
0=+Bx Ax R R (4)
)(20KN R R Bx Ax =-=, 前面已得到（2） 01202=--Ax Ay R R (2)
0120202=--Ay R )(70kN R Ay =
还是因为BC 平衡，所以
0=∑ix
F
0=+Bx Cx R R )(20kN R R Bx Cx =-=
0=∑iy
F
0415=⨯-+By Cy R R
)(10605060kN R R By Cy =+-=+-=
[习题3－30] 静定刚架如图所示。

匀布荷载m kN q /11= ，m kN q /42=，求A 、B 、E 三支座处的约束力。

图中长度单位为m 。

解：以DE 为研究对象，其受力图如图所示。

因为DE 平衡，所以
0)(=∑i D F M
05441=⨯⨯+⋅-q R E 051=⨯+-E R )(5kN R E =
0=∑ix
F
041=⨯+D x R )(4kN R Dx -=
0=∑iy
F
0=+E D y R R
)(5kN R R E D y -=-=
m
kN q /42=
Ay Bx
R By
Bx
R By
以刚架ABC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为刚架ABC 平衡，所以
0)(=∑i A
F M
0642
1
562'
=⨯⨯-
⨯+⨯Dx By R R 0725)4(6=-⨯-+By R )(33.156/92kN R By ==
0=∑iy
F
064'
=⨯--+Dy By Ay R R R
)(67.324533.1524'
kN R R R Dy By Ay =+--=++-=
0=∑ix
F
0=-+D x Bx Ax R R R
04=++Bx Ax R R (1)
以BC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为BC 平衡,所以
0)(=∑i C
F M
0342
1
362=⨯⨯-⨯+⨯By Bx R R
062=-+By Bx R R
0633.152=-+Bx R
)(67.4kN R Bx -= 前面已得(1)式
04=++Bx Ax R R ……..(1) 0467.4=+-Ax R )(67.0kN R Ax =
kN 6kN
4kN
7A
kN 6kN
4A
9[习题3－31] 一组合结构、尺寸及荷载如图所示，求杆１、２、３所受的力。

图中长度单位为m 。

解:以整个结构为研究对象,其受力图如图所示. 因为整体平衡,所以
0)(=∑i A
F M
0366410714=⨯-⨯-⨯-⨯B R )(8kN R B =
0=∑iy
F
0746=---+B A R R
)(917817_kN R R B A =+-=-=
以左半部分为研究对象,其受力图如图所示. 因为左半部分平衡,所以
0)(=∑i C
F M
A
q
H
I
H
I
079461433=⨯-⨯+⨯+⨯N )(7.113kN N =
以结点E 为研究对象,其受力图如图所示. 因为结点E 平衡,所以
0=∑ix
F
0s i n 13=-θN N
05
4
7.111=⨯
-N )(6.141kN N =
0=∑iy
F
0c o s 12=+θN N
)(8.85
3
6.142kN N -=⨯
-= [习题3－32] 图示用三铰拱
ABC 支承的四跨静定梁，受有匀布荷载q ，试用最简便的方法求出A 、B 的约束力（只需作出必要的示力图，并说明需列哪些平衡方程求解）。

解:
(1)以HI 为研究对象，其受力图如图所示。

因为HI 平衡,所以
I
J
ID J
'
ql
R I
=
J
K
JC K
'
ql
R J
=
K L
KE L
'
ql
R K =
0)(=∑i I
F M
02
12
=+
⋅-ql l R H 2
ql R H =
0=∑iy
F
0=-+ql R R H I
2
2ql ql ql ql R R H I =+-
=+-= (2)以IJ 为研究对象,其受力图如图所示. 因为IJ 平衡,所以
0)(=∑i I
F M
0212
=-
⋅ql l R J 2
ql R J =
0=∑iy
F
02
=-
-+ql
ql N R ID J ql ql ql R ql N J ID
=-=-=2
2323 (3)以JK 为研究对象,其受力图如图所示. 因为JL 平衡,所以
0)(=∑i J F M
021
2=-⋅ql l R K
2
ql R K =
0=∑iy
F
02
=-
-+ql
ql N R JC K ql ql ql R ql N J JC
=-=-=2
2323 (4)以KL 为研究对象,其受力图如图所示.
因为KL 平衡,所以
0)(=∑i K
F M
0212
=-
⋅ql l R L 2
ql R L =
0=∑iy
F
02
=-
-+ql
ql N R KE L ql ql ql R ql N J KE
=-=-=2
2323 (5) 以在铰拱ACB 为研究对象,其受力图如图所示.
因为KL 平衡,所以
0)(=∑i A
F M
0)()2(2=--⋅-+--⋅l R ql R ql l R R ql R V B 0222=+----⋅ql qlR qlR ql qlR R V B
032=-⋅qlR R V B
2
3ql V B =
0=∑ix
F
03=-+ql V V A B
2
33233ql
ql ql ql V V A B =+-
=+-= (6)以在铰拱AC 为研究对象,由其平衡条件得:
0)(=∑i C
F M
023=⋅+⋅+⋅-
l ql R H R ql
A 0/2
32=--R ql H ql
A R
ql ql H A 2
23-=
C
R
kN
考虑整体平衡有:
0=+A B H H
2
32
2ql R ql H H A B -
=-= [习题3－33] 在图示的结构计算简图中，已知kN F F
12'==，kN F D 210=试求A 、B 、C 三处的约束力（要求方程数目最少而且不需解联立方程）。

图中长度单位为m 。

解:以CG 为研究对象，其受力图如图所示。

因为CG 处于力偶系的平衡状态，所以
31230sin 40
⨯=⨯C R
)(18kN R C = )(18kN R R C GE ==
以AC 为研究对象，其受力图如图所示。

因为AC 平衡,所以
0)(=∑i A
F M
02185cos =⨯+⨯-αD R
365109
10=⨯⨯
D R
)(517.7kN R D =
kN 210By
Bx
R 0=∑ix
F
0cos =+αD Ax R R
)(2.7109
10517.7cos kN R R D Ax -=⨯
-=-=
0=∑iy
F
0sin =-αD Ay R R
)(16.2109
3517.7sin kN R R D Ay =⨯
==α
以BD 为研究对象，其受力图如图所示。

因为BD 平衡，所以
0=∑ix
F
045cos 210cos 0=+-αD Bx R R
)(8.210109
10517.7kN R Bx -=-⨯
=
0=∑iy
F
045cos 210sin 0=-+αD By R R
)(84.710109
3517.745cos 210sin 0kN R R D By =+⨯
-=+-=α。