2018年普通高等学校招生全国统一考试高考数学临考冲刺卷(七)理

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(七)
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的． 1．设集合1
02x A x x ⎧
⎫+=⎨⎬-⎩⎭
≥，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）
A ．{}1,0,1-
B ．{}0,1,2
C ．{}1,0,1,2-
D ．{}1,2
【答案】A
【解析】由题意得
{}110=01222x x A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫
++==-<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭
≥≤≤，∴
{}1,0,1A B =-．选A ．
2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）
A ．30
B ．31
C ．32
D ．33
【答案】B
【解析】阅读茎叶图可知乙组的中位数为：3234
33
2
+
=，结合题意可知：甲组的中位数为33，即
3
m=，则甲组数据的平均数为：
243336
31
3
++
=．本题选择B选项．
3．设x，y满足约束条件
10
30
y
x y
x y
-+
+
⎧
⎪
⎨
⎪-
⎩
≥
≥
≤
，则43
z x y
=-的最大值为（）
A．3 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【解析】所以，过()
3,0时，43
z x y
=-取得最大值为12．故选C．
4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）
A．
1
2
B．
1
3
C．
2
3
D．1
【答案】B
【解析】根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为：
111
211
323
⨯⨯⨯⨯=．故答案为：B．
5．已知各项都为正数的等比数列{}n a，满足312
2
a a a
=+，若存在两项
m
a，
n
a，使得1
4
m n
a a a
=，则
14
m n
+的最小值为（）
A ．2
B ．
32
C ．
13
D ．1
【答案】B
【解析】正项等比数列{}n a 满足：3122a a a =+，可得21112a q a a q =+，即2
20q q --=，
2q ∴=，
14m n a a a =，2116m n a a a ∴=，()()1121112216m n a a a --∴⋅⋅⋅=，
222
11216m n a a +-∴⋅=，
6
m n ∴+=，
()141146m n m n m n ⎛⎫
∴+=++ ⎪⎝⎭14143552662n m n m m n m n ⎛⎫⎛⎫=+++⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当4n m m n =
时，等号成立，故14m n +的最小值为3
2
，故选B ． 6．函数()2
2
111
222
x x f x +-⎛⎫⎛⎫=+-
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】()()2
2
2
2
111111
222222
x x x x f x f x -+---+⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-
= ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除A 、D ，当2x =时，()9
2016
f =
>，排除B ，故选C ． 7．已知函数()()sin 2(0,0)f x A x A ϕϕ=+><<π的图象经过点,012π⎛⎫-
⎪⎝⎭和3,122π⎛⎫
⎪⎝⎭
，当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，方程()23f x a =a 的取值范围是（ ）
A ．3,2⎤⎦
B ．132
⎡⎢⎣
C ．[]1,2
D ．3334⎡⎢
⎣
【答案】D
【解析】因为点,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭在函数图象上，sin 2012A ϕ⎡⎤π⎛⎫∴⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，0ϕ<<π，
6
ϕπ
∴=
， 又点3,122π⎛⎫
⎪⎝⎭在函数图象上，3sin 21262A ⎡⎤ππ⎛⎫∴⨯+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，3A =，
()3sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，当方程()23f x a =-有
两个不等的实根时，已知函数()y f x =的图象与直线()23f x a =-有两个不同，由图象
可知
3
2332
a -<≤，3334a ∴<≤，故选D ． 8．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．下图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ）
A ．44
B ．68
C ．100
D ．140
【答案】C
【解析】第1次运行，1n =，21
02n a -==，000S =+=，不符合n m ≥，继续运行； 第2次运行，2
2,2,0222
n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；
第3次运行，21
3,4,4262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第4次运行，2
4,8,86142n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第5次运行，21
5,12,1412262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第6次运行，2
6,18,2618442n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第7次运行，21
7,24,2444682n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行； 第8次运行，2
8,32,68321002
n n a S ====+=，符合n m ≥，退出运行，输出100S =； 故选C ．
9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =．若22a <，则n 的最大值为（ ） A ．51 B ．52
C ．53
D ．54
【答案】A
【解析】若n 为偶数，则()()()12341n n n S a a a a a a -=++++
++
()()12112312112
n n n +=⨯++⨯++
-+=
，5012751350S =<，5217381350S =>，
所以这样的偶数不存在，若n 为奇数， 则()()()123451n n n S a a a a a a a -=+++++
++()1221241211a n =+⨯++⨯++
-+
()()()()1
2
212132
2
n n n n a a
+-+-=+=-+
，
若5121301.51350S a =-=，则当248.52a =-<时成立，若5321405.51350S a =-=，则当255.52a =>不成立，故选A ．
10．若自然数n 使得作竖式加法()()12n n n ++++均不产生进位现象，则称n 为“开心数”．例如：32是“开心数”．因323334++不产生进位现象；23不是“开心数”，因
232425++产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
【答案】D
【解析】根据题意个位数需要满足要求：∵()()1210n n n ++++<，即23n <．，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：310n <，∴33n <．，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故小于100的“开心数”共有3×4=12个．故选：D ．
11．已知函数2ln y a =+P ，函数2
2y x =--的图象上存在
点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则a 的取值范围是（ ）
A ．)
2
e ,⎡+∞⎣ B C D ．2
3,e ⎡⎤⎣⎦
【答案】D
【解析】函数2
2y x =--的图象与函数2
2y x =+的图象关于原点对称，若函数2ln y a x =+）的图象上存在点P ，函数2
2y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点
对称，则函数2ln y a x =+（1,e e
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
）的图象与函数2
2y x =+的图象有交点，即方程
22ln 2a x x +=+（1,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）有解，即222ln a x x =+-（1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）有解，令
()222ln f x x x =+-，
()0f x '
＜，
当(]1e x ∈，时，()0f x '＞，故当1x =时，()f x 取最小值3，由211
4e e
f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2e e f =，故当e x =时，
()f x 取最大值2e ，故23e a ⎡⎤∈⎣⎦，，故选：D ．
12．如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，若点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，点O 为MN 中点，则O 点的轨迹的长度是（ ）
A．
2 2
B．
3
2
C．1D．2
【答案】B
【解析】由题意，
点M，N所在直线与平面11
ACC A不相交，则MN∥平面
11
ACC A，过M 作
1
MQ AA
∥交AB 于Q，过Q作QH AC
∥，连结NH，得
1
NH BB
∥，
11
BB AA
∥，NH MQ
∥，则平面
MQHN∥平面
11
ACC A，则MN∥平面
11
ACC A，因为M为线段
1
A B上的动点，所以这样的MN有无数条，其中MN中点O的轨迹的长度等于底面正ABC
△的高
3
2
，故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知复数
14i
1i
z
+
=
-
，其中i为虚数单位，则复数z的实部为_________．
【答案】
3
2
-
【解析】
14i
1i
z
+
=
-
()()
14i1i35i
=
22
++-+
=，所以复数z的实部为
3
2
-．
14．已知圆Ω过点()
5,1
A，()
5,3
B，()
1,1
C-，则圆Ω的圆心到直线l：210
x y
-+=的
距离为__________．
【答案】
5
【解析】由题知，圆心坐标为()2,2，则
5d =
=． 15．在锐角ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2C B =，则c
b
的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为2C B =，所以sin sin22sin cos C B B B ==，2cos c b B ∴=，
2cos c
B b
=，因为锐角ABC △，所以02B π<<，022C B π<=<，032
A C
B B π
<=π--=π-<，
64B ππ
∴<<，cos B ∴∈⎝⎭
，c b ∈．
16．已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(0M x 0()2
p
x >是抛物线C 上一
点，以M 为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线2
p
x =
MA ，若2MA AF
=，则AF =_______．
【答案】1
【解析】将M 点坐标代入抛物线方程得082px =，解得04
x p =
，即4M p ⎛ ⎝，
MF =，由于MA 为圆的半径，而DE MA =，所以
2π3
DME ∠=
，
π6
BDM ∠=
，故
411223
p MB MA MF p -===，即
42p p -=412
p
p -=，解得2p =，故3MF =，1
13
AF MF ==．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．
17．已知cos 14
x m ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，
，2
3sin cos 4
4x x n ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
，，设函数()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求
()f B 的取值范围．
【答案】（1）424433k k ππ⎡
⎤π-π+⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z ；（2）312⎛⎤ ⎥ ⎝⎦
． 【解析】（1）()cos 14
x f x m n ⎛
⎫=⋅= ⎪⎝
⎭，
2
13sin cos sin 4
4262x x x π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，，·····3分 令222262x k k ππππ-
+π+≤≤，则424433
k x k ππ
π-π+
≤≤，k ∈Z ， 所以函数()f x 单调递增区间为424433k k ππ⎡
⎤π-
π+⎢⎥⎣
⎦
，，k ∈Z ．·······6分 （2）由2
b a
c =可知2222221cos 2222
a c
b a
c ac ac ac B ac ac ac +-+--=
==≥（当且仅当a c =时取等号），·······8分 所以03B π<≤
，6263
B πππ
<+≤，()311f B +<
综上()f B 的取值范围为311,
2⎛⎤
+ ⎥ ⎝⎦
．·······12分 18．过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，
（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布()
2,N μσ，利用该正态分布，求Z 落在()14.55,38.45内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于()10,30内的包数为X ，求X 的分布列和数学期望．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为142.7511.95σ=≈； ②
若
()
2
~,Z N μσ，则
()0.6826
P Z μσμσ-<+=≤，
(22)0.9544P Z μσμσ-<+=≤．
【答案】（1）26.5x =（2）0.6826（3）X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
1
16 14 38 14 116
∴()2E X =．
【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x 为
50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．·······3分
（2）①∵Z 服从正态分布()
2,N μσ，且26.5μ=，11.95σ≈，
∴(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=， ∴Z 落在()14.55,38.45内的概率是0.6826．·······3分 ②根据题意得1~4,
2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ()4
04110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()4
1411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()4
2413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()4
3411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()4
44114216
P X C ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭．·······11分 ∴X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
116 14 38 14 116
∴()422
E X =⨯
=．·······12分 19．如图，矩形ABCD 中，6AB =，23AD =，点F 是AC 上的动点．现将矩形ABCD 沿着对角线AC 折成二面角D AC B '--，使得30D B '=．
（1）求证：当3AF =D F BC '⊥；
（2）试求CF 的长，使得二面角A D F B -'-的大小为4
π
． 【答案】（1）见解析；（2）11
34
CF = 【解析】
解:（1）连结DF ，BF ．
在矩形ABCD 中，23AD =,6CD =，
43AC ∴=,60DAC ∠=︒．
在ADF △中，∵3AF =,
2222cos 9DF DA AF DA AF DAC ∴=+-⋅⋅∠=，
∵2
2
2
93DF AF DA +=+=，
DF AC ∴⊥，即D F AC '⊥．·······2分
又在ABF △中，
2222cos 21BF AB AF AB AF CAB =+-⋅⋅∠=，
∴在D FB '△中，2
2
2
2
2321
D F FB D B +='+
=',
BF D F ∴⊥',·······4分
又
AC FB F =,
∴D F '⊥平面ABC ．·······5分 ∴D F BC '⊥．·······6分
（2）解：在矩形ABCD 中，过D 作DE AC ⊥于O ，并延长交AB 于E ．沿着对角线AC 翻折后，
由（1）可知，OE ，OC ，OD '两两垂直，
以O 为原点，OE 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -， 则()0,0,0O ，()1,0,0E ，()0,0,3D '
，()
3,B ，
EO ⊥平面AD F ',
()1,0,0OE ∴=为平面AD F '的一个法向量．·······7分
设平面BD F '的法向量为(),,n x y z =，
()0,,0F t (3,BD ∴
=-'()
3,BF t =--，
由0, 0,n BD n BF ⋅=⋅=⎧'⎨⎩得( 30x -+⎨
⎪⎩
，取3,y =
则x t =z t =，()
n t t ∴=-．·······9分
,OE
OE
⋅
即
=
4
t ∴=
·······11分 ∴
当CF =
A D F
B -'-·······12分 20．对于椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>，有如下性质：若点()00,x y 是椭圆上的点，则椭圆在
该点处的切线方程为
0022
1x x y y a b +=．利用此结论解答下列问题．点31,2Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
是椭圆2222C :1(0)x y a b a b +=>>上的点，并且椭圆在点Q 处的切线斜率为1
2
-．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若动点P 在直线3x y +=上，经过点P 的直线m ，n 与椭圆C 相切，切点分别为M ，
N ．求证：直线MN 必经过一定点．
【答案】（1）22143x y +=（2）直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】（1）∵椭圆C 在点Q 处的切线方程为
22
312x y
a b +=， 其斜率为2221
32
b a -=-，
∴2
2
34a b =．·······1分 又点Q 在椭圆上， ∴
221914a b
+=．·······2分 解得2
4a =，2
3b =．
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=；·······4分 （2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ， 则切线11:
143x x y y m +=，切线22:143
x x y y n +=．·······6分 ∵,m n 都经过点P ，
∴
1010143x x y y +=，2020143
x x y y +=． 即直线MN 的方程为00143
x x y y
+=．·······7分
又003x y +=，·······8分
∴()003143
x y
x x -+=， 即()03412120x y x y -+-=．·······10分
令340, 12120,x y y =-=⎧⎨⎩-得4, 31.
x y ⎧
==⎪
⎨⎪⎩ ∴直线MN 必经过一定点4,13⎛⎫
⎪⎝⎭
．·······12分 21．已知函数()ln f x x ax =+． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1a =时，函数()()1
2g x f x x m x
=-+-有两个零点12x x 、，且12x x <． 求证：121x x +>．
【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1
'
分
①当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；·······2分 ②当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫-
⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减····4分 （2）当1a =时，()1
ln 2g x x m x
=+-， 由已知得：11
1ln 2x m x +
=，221
ln 2x m x +=，·······5分 两式相减得：112121
212
2
11ln
0222ln x x x x x x x x x x -+-=⇒⋅=，
1211212ln x x x x x -∴=，2121212ln x x x x x -=，12
21
1212
2ln
x x x x x x x x -∴+=，·······8分
令()1
20,1x t x =
∈，设()12ln h t t t t
=--，
'
()h t ∴在()0,1上单调递增，
()()10h t h ∴<=，即1
2ln t t t -<，又ln 0t <，1
12ln t t t
-
∴>，
121x x ∴+>·······12分
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2
4sin x a y a
=+=⎧⎨
⎩（a 为参数），以O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6
θρπ
=
∈R ． （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值． 【答案】（1）2
4cos 120ρρθ--=；（2）6AB =．
【解析】（1）将方程4cos 24sin x a y a
=+=⎧⎨
⎩消去参数a 得22
4120x y x +--=，
∴曲线C 的普通方程为2
2
4120x y x +--=，·······12分 将2
2
2
x y ρ+=，cos x ρθ=代入上式可得2
4cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为：2
4cos 120ρρθ--=．·······5分 （2）设,A B 两点的极坐标方程分别为1,
6ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6ρπ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
由24cos 12
6ρρθθ-=π
=⎧⎪⎨⎪
⎩
消去θ
得2120ρ--=，·······7分 根据题意可得1ρ，2ρ
是方程2
120ρ--=的两根，
∴12ρρ+=1212ρρ=-， ∴
126AB ρρ=-=
=．·······10分
23．选修4—5:不等式选讲
已知(0)x y z ∈+∞，，，
，3x y z ++＝． （1）求
111
x y z
++的最小值 （2）证明：2
2
2
3x y z ≤＋＋． 【答案】（1）3；
（2）证明见解析．
【解析】（1）因为0x y z ++>≥，
1110x y z ++>， 所以()1119x y z x y z ⎛⎫++++
⎪⎝⎭
≥,即111
3x y z ++≥，
当且仅当1x y z ===时等号成立，此时
111
x y z
++取得最小值3．·······5分 （2）222
x y z ++()()()
2222222223
x y z x y y z z x ++++++++=
()22223
x y z xy yz zx +++++≥
()2
33
x y z ++=
=．·······10分。