中考数学二轮复习二次根式知识点及练习题及解析(1)

中考数学二轮复习二次根式知识点及练习题及解析(1)
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ） A ．()2
22a b a b -=- B ．()3
22x x 8x ÷=+
C ．1a a a a
÷⋅
= D 4=-
2．若 有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x >
B ．3x ≥
C ．3x ≤
D ．x 是非负数
3．下列计算正确的是（ ）
A =
B =
C 2
6 D 4=
4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A
B
C ．
D
5．)
5=（ ）
A ．5+
B ．5+
C ．5+
D ．6．下列各式中，正确的是（ ）
A 2=±
B =
C 3=-
D 2=
7．下列各式中，运算正确的是（ ）
A ．=-=．2=D 2=-
8．2= ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 9．下列各式计算正确的是（ ）
A +=
B ．2
6=（
C 4=
D =
10．下列运算中错误的是（ ）
A =
B =
C 2÷=
D ．2 (3=
11．下列说法中正确的是（ ）
A ±5
B ．两个无理数的和仍是无理数
C ．-3没有立方根.
D .
12．下列运算正确的是（ ）
A =
B ．(2
8-= C 1
2
=
D 1=
二、填空题
13．观察下列等式：
第1个等式：a
11=，
第2个等式：a 2
=，
第3个等式：a 3
，
第4个等式：a 42
=， …
按上述规律,回答以下问题： (1)请写出第n 个等式：a n =__________. (2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________
14．10=，则22
2516
x y +=______.
15．已知：
可用含x =_____．
16．把
17．已知1＜x ＜2，1
7
1
x x +
=-_____．
18．a ，小数部分是b b -=______.
19． (a ≥0)的结果是_________.
20．已知2x =243x x --的值为_______．
三、解答题
21．（112==
=；……写出④ ；⑤ ；
（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想．
【答案】（12=55=6=；（2=
3）证明见解析. 【解析】
【分析】
(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；
(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】
解：（1）由例子可得， ④为：
11-525=4=25，⑤11-636=5
6
， （2）如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律：211-n n =
n -1
， （3）证明：∵n 是正整数， ∴
211-n n =2
n -1n =n -1
n ． 即
211-n n =
n -1
n
． 故答案为(1)11-525=45=25，11-636=5
；(2)211-n n = n -1n
；(3)证明见解析. 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
22．阅读下列材料，然后解答下列问题： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如3，31
+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： (一353
3333
==⨯； (二231)
3131(31)(31)
-=++-（； (三22(3)(31)(33131313131
===++++.
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)5+3：
①参照(二)5+3
＝__________.
②参照(三)式化简5+3
＝_____________ (2)化简：
++++
315+37+5
99+97
+.
【答案】见解析. 【分析】
（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）原式各项分母有理化，计算即可. 【详解】 解:(1)①
;
②; (2)原式
故答案为:(1)①;②
【点睛】
此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.
23．像552)＝1a a ＝a (a ≥0)、b b ﹣1)＝b ﹣1(b ≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因552 +12﹣1，353﹣5因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)33
；
(2)2332
+--； (3)2018201720172016的大小，并说明理由． 【答案】（123
（2）32（3）＜ 【解析】
分析：（13×3=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；
（2）确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理
化后计算即可；
（3与
，
，然后比较即可.
详解：(1) 原式
=9；
（2）原式=2+=2+ （3）根据题意，
-=
=，
>
<，
>
点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.
24．阅读下面的解答过程，然后作答：
m 和n ，使m 2+n 2=a 且，
则a 可变为m 2+n 2+2mn ，即变成（m +n ）2
例如：∵=）2+）2=）2
∴
请你仿照上例将下列各式化简
（12
【答案】（1）2-
【分析】
参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】
解：（1）∵22241(1+=+=，
1=
（2）∵2227-=-=，
∴
==
25．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．
【答案】(2x - 【分析】
先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案． 【详解】
解：4y x ⎛- ⎝ ((
=-
(
2x =-
∵ 30x - ∴ 3,4x y == 当3,4x y ==时
原式(23=-==【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．
26．计算：
【答案】【分析】
先将括号内的二次根式进行化简并合并，再进行二次根式的乘法运算即可． 【详解】
解：
=
=
= 【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
27．计算（11)1)⨯； （2）
【答案】（12+；（2）.
【解析】
分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.
详解：（1)
1
1+；
＝()31-
2 ；
（2）原式＝(22
⨯,
＝
＝3⨯
＝
＝
点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
28．已知
x y =
=求下列各式的值： (1)22x xy y -+； (2)
.y x
x y
+ 【答案】(1) 7
2
;(2)8. 【分析】
计算出xy=
12
， （1）把x 2-xy+y 2变形为（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算；
（2）把原式变形为2()2x y xy
xy
+-，然后利用整体代入的方法计算.
【详解】
∵
x =
2，y =3
∴xy=1
2
, (1)22x xy y -+ =（x+y ）2-3xy,
=2
132
-⨯ =
72
; (2)
y x x y +
=22
1
2()2281
2
x y xy xy
-⨯
+-==.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
29．先化简，再求值：
24224x x x x x x ⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭
，其中2x =． 【答案】2
2
x x +-
，1 【分析】
先把分式化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】 原式(2)(2)22(2)2
x x x x x x x x +-+=
⋅=---，
当2x =
时，原式1=
=.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．
30．计算：
（1
；
（2
+2）2+
2）． 【答案】（1
-2）
【分析】
（1）直接化简二次根式进而合并得出答案； （2）直接利用乘法公式计算得出答案． 【详解】
解：（1
）原式＝
- （2
）原式＝3434++-
＝6+． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，在进行二次根式运算时，可以运用乘法公式，运算率简化运算．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据完全平方公式，整式的除法，分式的乘除法，二次根式的性质和化简运算法则逐一计算作出判断． 【详解】
解： A ．()2
22a b a 2ab b -=-+，选项错误； B ．()3
322x x 8x x 8x ÷=÷=，选项正确； C ．111
a a 1a a a
÷⋅=⋅=，选项错误；
D 44=-=，选项错误．
故选：B ．
2．B
解析：B 【分析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】
有意义的x 的取值范围是：x ≥3． 故选：B ． 【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是正确掌握定义和二次根式有意义的条件．
3．B
解析：B 【解析】
解：A ；
B ==；
C =
；
D2
===．故选项错误．
故选B．
4．D
解析：D
【分析】
根据最简二次根式的特点解答即可.
【详解】
A，故该选项不符合题意；
B=
C、
D不能化简，即为最简二次根式，
故选：D.
【点睛】
此题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的特点：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能再开方的因式或因数，牢记特点是解题的关键.
5．B
解析：B
【分析】
根据乘法分配律可以解答本题．
【详解】
)5
=5+
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．6．B
解析：B
【分析】
本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A、B、C选项；利用立方根性质判断D选项．
【详解】
A，故该选项错误；
B==
=，故该选项错误；
C3
D
112
2
333
4=(2)2
==，故该选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运
算法则求解即可，解题关键是细心．
7．A
解析：A
【分析】
由合并同类项、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、-=A正确；
B=B错误；
C、2不能合并，故C错误；
D2
=，故D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
8．C
解析：C
【解析】
2
=，
2222
251510
x x
=-=--+=
，
5
=.
故选C.
9．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的运算法则一一判断即可．
【详解】
A
B、错误，212
=
（；
C==
D==
故选：D．
【点睛】
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则，属于中考常考题型．
10．A
解析：A
【分析】
根据合并同类二次根式的法则对A 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断；根据二次根式的除法法则对C 进行判断；根据二次根式的性质对D 进行判断．
【详解】
=
=
2÷，故此项正确，不符合要求；
D. 2 (3=，故此项正确，不符合要求；
故选A ．
【点睛】
本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
11．D
解析：D
【分析】
根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可．
【详解】
5=，故A 选项错误；
0ππ-+=，故B 选项错误；
-3=，故C 选项错误；
D 选项正确；
故选D ．
【点睛】
本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的性质及运算法则依次计算各项后即可解答．
【详解】
选项A A 错误；
选项B ，(2428-=⨯=，选项B 正确；
选项C 1
24==，选项C 错误；
选项D 1，选项D 错误．
综上，符合题意的只有选项B ．
故选B ．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及运算法则，熟练运用二次根式的性质及运算法则是解决问题的关键．
二、填空题
13．【分析】
（1）由题意，找出规律，即可得到答案；
（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵第1个等式：a1=，
第2个等式：a2=，
第3个等式：
=1-
【分析】
（1）由题意，找出规律，即可得到答案；
（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵第1个等式：a 11
=，
第2个等式：a 2
=，
第3个等式：a 3
，
第4个等式：a 42
=， ……
∴第n
=
=
（2）123(21)(32)(23)(1)n a a a a n n +++=-+-+-+++-
=121n +++
=1-；
1-．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题
14．【解析】
【分析】
把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.
【详解】
移项得，
两边平方得， 整理得，
两边平方得，
所以，
两边除以400得，1.
故答案为1.
【点睛】
解析：【解析】
【分析】
把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.
【详解】
10=-
两边平方得，()()22223=1003x y x y ++--+
整理得，253x =- 两边平方得，22225150225256251509x x y x x -++=-+ 所以，221625400x y +=
两边除以400得，22
2516
x y +=1. 故答案为1.
【点睛】
本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.
15．【解析】
∵=，
∴==
= -==﹣x3+x ，
故答案为：﹣x3+x. 解析：211166
x x -
+ 【解析】
∵
x =-
3==1
23=1
46+
= -21116⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=3111
66-+=﹣16x 3+116x ， 故答案为：﹣16x 3+116
x. 16．﹣
【解析】
解：通过有意义可以知道≤0，≤0，所以＝﹣＝﹣．
故答案为：．
点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．
解析：
【解析】
解：通过a ≤0，，所以
故答案为：
点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．
17．-2
【详解】
∵x+=7，∴x-1+=6，∴（x-1）-2+=4，
即 =4，
又∵1＜x＜2,
∴=-2，
故答案为-2.
【点睛】
本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是解析：-2
【详解】
∵x+1
1
x-=7，∴x-1+
1
1
x-
=6，∴（x-1）-2+
1
1
x-
=4，
即2
=4，
又∵1＜x＜2,
∴
，
故答案为-2.
【点睛】
本题主要考查完全平方式的应用以及二次根式的运算，解题的关键是要根据所求的式子对已知的式子进行变形.
18．【详解】
若的整数部分为a，小数部分为b，
∴a=1，b=，
∴a-b==1．
故答案为1．
解析：【详解】
a，小数部分为b，
∴a=1，b1，
∴
-b1)=1．
故答案为1．
19．4a
【解析】
【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.
【详解】
=
=
=4a，
故答案为4a.
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.
解析：4a
【解析】
【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.
)0
a≥
=
=
=4a，
故答案为4a.
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键. 20．-4
【分析】
把代入计算即可求解．
【详解】
解：当时，
=-4
故答案为：-4
【点睛】
本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题
解析：-4
【分析】
把2
x=243
x x
--计算即可求解．
【详解】
解：当2
x=
243
x x
--
((
2
2423
=---
=--+
4383
=-4
故答案为：-4
【点睛】
本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题关键．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无
29．无
30．无。