临界与极值问题

例4、沙堆的形成测出了沙粒之间的动摩擦因数。研究的过 程如下：研究小组通过观察沙堆的形成过程可以发现，由 漏斗落下的细沙总是在地面上形成一个小圆锥体，继续下 落时，细沙沿圆锥体表面下滑，当圆锥体的母线与底面夹 角达到一定角度时，细沙不再下滑，如图所示。经过反复 实验，研究小组得出结论：沙堆的形成与沙粒之间的动摩 擦因数有关。该小组只用一把皮卷尺就测定了沙粒之间的 动摩擦因数（假定最大静摩擦力等于滑动摩擦力），则：
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】 以A为研究对象，根据平衡条件A对B有压力和摩擦力的作用， 以B为研究对象，B除受到A施加的压力和摩擦力外，还受到重力和斜面的支 持力作用，斜面与B之间可能存在摩擦力，也可能不存在摩擦力，故选B、C.
• 例4．如右图所示，斜面小车M静止在光滑水 平面上，一边紧贴墙壁．若再在斜面上加一
T2
5m， garct1an
2
，其中α是T2与水平方向的夹角。
令小球处在离开斜面的临界状态（N刚好为零）时， 斜面向右的加速度为a0，此时小球受力分析如下图所 示．
Tsin mg T cos ma0 a0 gcot 7.5m/s2
T
mg
所以：a10m/2sa0
由于 a10m/2sa0
所以小球会离开斜面，受力如下图
解析 整体分析可知A与墙之间无弹力，所以A仅受重力、 B对A的弹力及摩擦力3个力，应选B项.
例2、如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固 定在地面上，另一端与斜面体P相连，P 与斜放在其上的固定档板MN接触且处于 静止状态，则斜面体P此刻受到的外力的 个数有可能是：
A.2
B．3
B.C．4 D、5
例3．如图所示，在水平力F作用下，A、B保持 静止，若A与B的接触面是水平的，且F≠0，则 关于B的受力个数可能为( )
• 综上所述，物体B的质量的取值范围是：
• m(sin θ－μcos θ)≤mB≤m(sin θ＋μcosθ)．
.例3、某公园要在儿童乐园中建一座滑梯，已知 斜面与物体间滑动摩擦因数μ= 0.75，那么倾角 θ至少要多少度儿童在斜面上才可以由静止开 始滑下？
要多少度 ？
此题答案： 倾角θ至少要37°
物体m，且M、m相对静止，小车后来受力个 数为 ( )
• A．3
B．4•Biblioteka C．5D．6【解析】 对M和m整体，它们必受到重力和地面支持力，因小车静止， 由平衡条件知墙面对小车必无作用力，以小车为研究对象．如右图所 示，它受四个力；重力Mg，地面的支持力FN1，m对它的压力FN2和静 摩擦力Ff，由于m静止，可知Ff和FN2的合力必竖直向下，故B项正确．
→ FN4 = mgcosθ± Fsinθ
f动=μ（mgcosθ±Fsinθ） f静= |mgsinθ-Fcosθ|
• 例2、如图所示，物体m与斜面体M一起静止 在水平面上．若将斜面的倾角θ稍微增大一 些，且物体m仍静止在斜面上，则 ( )
• A．斜面体对物体的支持力变小
• B．斜面体对物体的摩擦力变大
• 例5、如图所示，物体A在水平外力F的作用下， 静止在斜面上，现在使水平外力F增大一些， 物体仍静止在斜面上，关于物体A所受斜面支 持力及静摩擦力的变化情况，下面几种说法中 正确的是
(A)支持力和摩擦力都一定增大 (B)支持力和摩擦力不一定都增大 (C)支持力增大摩擦力一定减小 (D)支持力一定增大，摩擦力不一定增大
物体在斜面上受到的正压力及其所受到的摩擦力
m
θ
▼
Fm
θ
▼
F m
θ
▼
Fm
θ
→ FN1 = mgcosθ → FN2 = mgcosθ
f动=μFN= μ mgcosθ f静= mgsinθ
f动=μmgcosθ f静= |F-mgsinθ|
→ FN3 = mgcosθ±F
f动=μ（mgcosθ±F） f静= mgsinθ
• C．水平面与斜面体间的摩擦力变大
• D．水平面与斜面体间的摩擦力变小
【解析】 应用隔离法对m受力分析，通过正交分解法分解重力，根据力的平衡条件可 得A、B正确．应用整体法分析M和m这个整体的受力可知，水平面与斜面体之间的摩擦 力一直为零．【答案】 AB
例3、如图所示，一个质量为m的物体放在倾 角为α的粗糙斜面上，保持静止，现用水平 力F推物体，当F由零增加稍许，而物体仍 保持静止，则（ CD）
【分析】这是一个斜面问题。当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。 当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界 状态。此时θ最小。
【解答】依题意，
mgsinθ=μmgcosθ
tgθ=μ
θ≥arctgμ 说明：tgθ=μ是一重要临界条件。
其意义是：tgθ<μ时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力； tgθ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力； tgθ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力；
当a1=g时，T1=1.4mg；当 a2=2g时，T2=2.2mg
错解分析：斜面向左做加速运动时，随 着加速度的增大，小球对斜面压力减小， 当加速度等于4g/3时，小球对斜面压力 为零，加速度大于4g/3时，小球飘起来 原方程不再成立。
正确分析：（1）小球恰好对斜面
无压力作用时，加速度为a，由
mgcotθ=ma0，得a0=4g/3 （2） 当a1=g时，T1=1.4mg； （3）当a2=2g时，小球脱离斜面 ，最后得出
（1）该小组必须测定的物理量是________。
2）动摩擦因数与这些物理量之间的关系是_____________。
例5、木箱重为G，与地面间的动摩擦因数为μ，用斜向上的力
F拉木箱，使之沿水平地面匀速前进，如图所示。问角α为何 值时拉力F最小？这个最小值为多大？
F θ
B、D
• 例7、如图所示，物体的质量为2kg，两根轻 绳oB和oC的一端连接于竖直墙上，另一端系 于物体上，在物体上另施加一个方向与水平 线 成 θ＝ 60°的拉力F，若要使两绳 都能伸 直，求拉力F的大小范围。？
• 例1．跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体 A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如 图所示．已知物体A的质量为m，物体A与斜 面的动摩擦因数为μ(μ＜tanθ)，滑轮的摩擦不 计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质 量的取值范围(按最大静摩擦力等于滑动摩擦 力处理)．
•
【解析】 先选物体B为研究对象，它 FT的作用，根据平衡条件有：FT＝mBg
临界与极值问题
临界问题是指：某种物理现象转化为另一种
物 理现象的转折状态称为临界状态。临界 状态可理解为“恰好出现”或“恰恰不出 现”，至于是“出现”还是“不出现”，需 视具体问题而定。
平衡问题的临界状态是指物体的所处的平
衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态。这 类问题称为临界问题。极值问题则是在满足 一定的条件下，某物理量出现极大值或极小 值的情况。临界问题往往是和极值问题联系 在一起的
例6、光滑斜面上用细线吊着一重物G=10N，小 球处于静止状态=300，=600，求：细绳的拉 力，和斜面的弹力。
• 例7、直角劈形木块质量M=2kg，用外力顶 靠在竖直墙上，已知木块与墙之间最大静摩 擦力和木块对墙的压力成正比，即fm=kFN， 比例系数k=0.5，则垂直作用于BC边的外力 F应取何值木块保持静止。
• 例6、如图所示，物体M在竖直向上的拉力F 的作用下能静止在斜面上，关于M受力的个 数，下列说法中正确的是 ( )
• A．M一定受两个力作用
• B．M一定受四个力作用
• C．M可能受三个力作用
• D．M不是受两个力作用就是受四个力作用
【解析】 若拉力F大小等于物体的重力，则物体与斜面间没有相互作用力，此时物 体受两个力作用；若拉力F大小小于物体的重力，则斜面对物体产生支持力和静摩擦 力，此时物体受四个力作用．【答案】 D
A.物体受到的静摩擦力增加；
B.物体所受合力增加；
C.物体和斜面间的最大静摩擦力增加；
D.斜面对物体的支持力增加；
例4、如图所示.质量为m的物体静止在倾角为θ 的斜面上．当沿水平方向对物体施加一水平恒 力时,物体仍静止不动.下列判断正确的是 ( )
(A)物体对斜面的正压力肯定比原来的大 (B)物体对斜面的静摩擦力肯定比原来的小 (C)物体受到的静摩擦力方向可能发生变化 (D)上述说法都正确
• 联立①②③④四式解得mB＝m(sin θ＋μcos θ)．
• 再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩
擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：
• FN－mgcos θ＝0
⑤
• FT＋Ffm－mgsin θ＝0 ⑥
• 由摩擦力公式知：Ffm＝μFN
⑦
• 联立①⑤⑥⑦四式解得mB＝m(sin θ－μcosθ)．
牛顿定律的临界跟极值
1.如图所示，质量为m的小 球用细绳挂在倾角为37°的光 滑斜面顶端，斜面静止时， 绳与斜面平行，现斜面向左 加速运动。 (1)当a1=g时，细绳对 小球的拉力多大？ (2)当a2=2g呢？
Tcosθ－Nsinθ=ma Tsinθ+Ncosθ=mg解得 T=mgsinθ+macosθ
1.将物体静止置于斜面上， 如tgθ≤μ，则物体保持静止； 如tgθ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。
2.将物体以一沿斜面向下的初速度置于斜面上， 如tgθ<μ ，则物体减速，最后静止； 如tgθ=μ，则物体保持匀速运动； 如tgθ>μ，则物体做加速运动。
因此，这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。
【答案】 B
• 例5．如右图所示，物体M在斜向右下方的推 力F作用下，在水平地面上恰好做匀速运动， 则推力F和物体M受到的摩擦力的合力方向是 ()
• A．竖直向下
• B．竖直向上
• C．斜向下偏左
• D．斜向下偏右
• 【解析】 物体M受四个力作用，支持力和重力都在竖直方向上，故推力F与摩擦力的合力一 定在竖直方向上，由于推力F的方向斜向下，由此可断定力F与摩擦力的合力一定竖直向 下．【答案】 A
受到重力 ①
mBg和拉力
• 再绳临选拉界物力状体F态TA和，为斜则研面物究的体对摩A象擦受，力的它作静受用摩到，擦重假力力设m最物g大、体，斜A且处面方于支向将持沿要力斜F上N面滑、向的轻
下，这时A的受力情况如图所示，根据平衡条件有：
• FN－mgcosθ＝0
②
• FT－Ffm－mgsinθ＝0
③
• 由摩擦力公式知：Ffm＝μFN ④
解析】对小球进行受力分析如图所示，根据物体的平衡条件有，当力F较小 时，OB张紧，OC有可能松弛，当力F较大时，OC张紧，OB有可能松 弛．由此可知，OC刚要松弛和OB刚要松弛是此问题的临界条件．
• 【例6】如图所示，用绳AC和BC吊起一 重物，绳与竖直方向夹角分别为30°和 60°，AC绳能承受的最大拉力为150N， 而BC绳能承受的最大的拉力为100N， 求物体最大重力不能超过多少？
处理平衡物理中的临界问题和极值问题， 首先仍要正确受力分析，搞清临界条件 并且要利用好临界条件，列出平衡方程， 对于分析极值问题，要善于选择物理方 法和数学方法，做到数理的巧妙结合。
例1.如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作
用下，A、B保持静止.物体A的受力个数为
（）
A.2
B.3
C.4
D.5
例7、如图所示，斜劈ABC放在粗糙的水平地面 上，在斜劈上放一重为G的物块，物块静止在 斜劈上，今用一竖直向下的力F作用于物块上， 下列说法正确的是 （ ）
A．斜劈对物块的弹力增大
B．物块所受的合力不变
C．物块受到的摩擦力增大
D．当力F增大到一定程度时，物体会运动
ABC（在斜劈上放一重为G的物块，物块静止在斜劈上，应有物块与斜劈间的最大静 摩擦力大于或等于重力沿斜面向下的分力。用一竖直向下的力F作用于物块上，物块 对斜劈的压力增大，则斜劈对物块的弹力增大，A正确；此时物块与斜劈间的最大静 摩擦力仍大于或等于（G＋F）沿斜面向下的分力，物块不可能运动，D错误；物块 所受的合力不变，B正确；实际静摩擦力等于（G＋F）沿斜面向下的分力，物块受 到的摩擦力增大，C正确。）
T sin mg T cos ma T ( mg ) 2 ( ma ) 2 2 . 33 ( N )
N 0.
T
mg
2.静摩擦力
——两物体恰好不发 生相对运动时，两物 体间摩擦力为最大静 摩擦力
2.如图，物体A叠放在物体B上， B置于光滑水平面上。A、B质量