【压轴卷】高中必修三数学上期末第一次模拟试卷带答案(1)

【压轴卷】高中必修三数学上期末第一次模拟试卷带答案(1)
一、选择题
1．在区间[]
0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“2
3
x y +≤”的概率，则(P = ) A ．
23
B ．
12
C ．
49 D ．
29
2．如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则
(|)P B A =（ ）
A ．
33
4π
B ．
32π
C ．
13
D ．
23
3．气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8 则肯定进入夏季的地区有（ ） A ．①②③
B ．①③
C ．②③
D ．①
4．日本数学家角谷静夫发现的“31x + 猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的6N =，则输出i 值为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
5．在半径为2圆形纸板中间，有一个边长为2的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（ ） A ．
4
π B ．
3π
C ．
2π
D ．
1π
6．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．
23
B ．
34
C ．
25
D ．
13
7．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )
A ．5k <？
B ．5k ≥？
C ．6k <？
D ．6k ≥？
8．在R 上定义运算
：A
()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的
实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．11a -<<
B ．02a <<
C ．1322
a -
<< D ．31
22
a -
<< 9．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF =2AF ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在区间,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ）
A ．
1
3 B ．
2π
C ．
12
D ．
23
11．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭的值是
A ．－1
B ．1
2 C ．1
D ．
32
12．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ） A ．
25
B ．
35
C ．
23
D ．
15
二、填空题
13．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。

14．运行如图所示的程序框图，则输出的所有y 值之和为___________．
15．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值满足关系式y=-2x+4，则这样的x 值___个．
16．现有编号为1，2，3，…，100的100把锁，利用中国剩余定理的原理设置开锁密码，规则为：将锁的编号依次除以3，5，7所得的三个余数作为该锁的开锁密码，这样，每把锁都有一个三位数字的开锁密码.例如，编号为52的锁所对应的开锁密码是123，开锁密码为232所对应的锁的编号是23.若一把锁的开锁密码为203，则这把锁的编号是__________．
17．如图所示的程序框图，输出的S 的值为( )
A ．1
2
B．2C．
1-D．
1
2
-
18．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M．则点M恰好取自阴影部分的概率是．
19．为了了解2100名学生早晨到校时间，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100栋样本，则分段间隔为__________．
20．在区间[,]
-ππ内随机取出两个数分别记为a、b，则函数222
()2
f x x ax bπ
=+-+有零点的概率为__________．
三、解答题
21．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入i x（单位：千元）与月储蓄i
y，（单位：千元）的数据资料，算出
10101010
2
1111
80,20184,720
i i i i i
i i i i
x y x y x
====
====
∑∑∑∑
，，附：线性回归方程
1
22
1
ˆˆˆ
ˆˆˆ
,,
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
y bx a b a y bx
x nx
=
=
-
=+==-
-
∑
∑
，其中,x y为样本平均值.
（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程ˆ
ˆˆ
y bx a
=+；
（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.
22．某地统计局调查了10000名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示．
（1）求居民月收入在[3000,3500）内的频率；
（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多
少人？
23．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数(AQI )，数据统计如下： 空气质量指数(3/g m μ)
0-50
51-100 101-150 151-200 201-250 空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染
中度污染 重度污染 天数
20
40
m
10
5
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,n m 的值，并完成频率分布直方图；
(2)在空气质量指数分别为51-100和151-200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气都为良”发生的概率.
24．（1）用秦九韶算法求多项式5
4
3
2
()54323f x x x x x x =++++-当2x =时的值； （2）用辗转相除法或更相减损术求81和135的最大公约数.
25．为研究女高中生身高与体重之间的关系，一调查机构从某中学中随机选取8名女高中生，其身高()x cm 和体重()y kg 数据如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高
/x cm
164
160
158
172
162
164
174
166
体重
/y kg
60 46 43 48 48 50 61 52
该调查机构绘制出该组数据的散点图后分析发现，女高中生的身高与体重之间有较强的线性相关关系.
（1）调查员甲计算得出该组数据的线性回归方程为ˆˆ0.7y
x a =+，请你据此预报一名身高为176cm 的女高中生的体重；
（2）调查员乙仔细观察散点图发现，这8名同学中，编号为1和4的两名同学对应的点与其他同学对应的点偏差太大，于是提出这样的数据应剔除，请你按照这名调查人员的想法重新计算线性回归话中，并据此预报一名身高为176cm 的女高中生的体重； （3）请你分析一下，甲和乙谁的模型得到的预测值更可靠？说明理由.
附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，其回归方程ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：()()
()
1
2
1
ˆˆ,n
i
i
i n
i
i x x y y b a
y bx x x ==--=
=--∑∑. 26．1766年；人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU ，AU 是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据： 行星编号（x ） 1（金星） 2（地球） 3（火星） 4（ ）
5（木星） 6（土星）
离太阳的距离（y ）
0.7 1.0 1.6 5.2 10.0
受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星. （1）为了描述行星离太阳的距离y 与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论即可）；
①y ax b =+；②(1)x
y a b c b =⋅+>；③log (1)b y a x c b =⋅+>.
（2）根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；
（3）请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】
如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ， 平面区域内满足23x y +≤
的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为122
2233119
p ⨯⨯
=
=⨯. 本题选择D 选项.
【点睛】
数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.
2．D
解析：D 【解析】
如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，ABC ∆包含9 个小三角形，同时又在DEF ∆内的小三角形共有6 个，所以(|)P B A =
62
93
= ，故选D. 3．B
解析：B 【解析】
试题分析：由统计知识①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22可知①符合题意；而②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24中有可能某一天的气温低于22C o ，故不符合题意，③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为
10.8．若由有某一天的气温低于22C o 则总体方差就大于10.8，故满足题意，选C
考点：统计初步
4．D
解析：D 【解析】
分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n 的值并输出相应的
i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结论. 详解：模拟程序的运行，
可得6,1n i ==，不满足条件n 是奇数，3,2n i ==，
不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，10,3n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，可得5,4n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，满足条件n 是奇数，16,5n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，8,6n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，4,7n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，2,8n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，1,9n i ==， 满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为9，故选D.
点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要
正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据面积比的几何概型，即可求解飞针能从正方形孔中穿过的概率，得到答案. 【详解】
由题意，边长为2的正方形的孔的面积为1224S =⨯=， 又由半径为2的圆形纸板的面积为224S ππ=⨯=，
根据面积比的几何概型，可得飞针能从正方形孔中穿过的概率为1414S P S ππ
===， 故选D. 【点睛】
本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算，以及正方形的面积和圆的面积公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】
设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105
=. 故选：C 【点睛】
本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】
由题意，模拟程序的运算，可得
k 1=，a 1=
满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7=
此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a 的值为170． 则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k 6<？ 故选：C ． 【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成
立,整理后利用判别式求出a 范围即可
【详解】
Q A
()1B A B =-
∴()x a -()x a +()()()()22
=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦
Q ()
x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,
221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,
()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,
13
22
a ∴-<<
故选：C 【点睛】
本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键
9．B
解析：B 【解析】 【分析】 由题意可得，设,求得
，由面积比的几何概型，可知在大等边三角
形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率，即可求解.
【详解】
由题意可得，设,可得,
在中，由余弦定理得
，
所以
，
，
由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点， 则此点取自小等边三角形的概率是，故选B.
【点睛】
本题主要考查了面积比的几何概型，以及余弦定理的应用，其中解答中认真审题、把在大等边三角形中随机取一点，取自小等边三角形的概率转化为面积比的几何概型是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．A
解析：A 【解析】 因为[,]22x ππ
∈-
,若1cos [0,]2x ∈,则[,][,]2332
x ππππ
∈--⋃, ()2
1
233()22P ππ
ππ
-⨯∴==--，故选A.
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a b
S b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩
的
值，由此计算可得结论. 【详解】
由已知的程序框图可知:
本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a b
S b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩
的值，
可得2tan cos 43ππ⎛
⎫
⎛
⎫⊗ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭112⎛⎫=⊗- ⎪⎝⎭
， 因为112
>-
，
所以，113
111222
⎛⎫⎛⎫⊗-=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选D. 【点睛】
本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.
12．A
解析：A 【解析】
分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案 详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过
当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟 ∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为532
55
P -=＝ ． 故选A .
点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键
二、填空题
13．【解析】【分析】首先找出圆的圆心坐标与半径的大小求得圆心到直线的距离根据直线与圆相离得到圆心到直线的距离大于半径求得的范围之后应用长度型几何概型概率公式求得结果【详解】圆的圆心为半径为圆心到直线的距 解析：
1
4
【解析】 【分析】
首先找出圆的圆心坐标与半径的大小，求得圆心到直线的距离，根据直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，求得k 的范围，之后应用长度型几何概型概率公式求得结果. 【详解】
圆22(5)9x y -+=的圆心为(5,0)，半径为3， 圆心到直线y kx =
的距离为d =
要使直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离，
3>，解得2916k >
，即33
(,][,)44
k ∈-∞-⋃+∞， 所以在区间[1,1]-上随机取一个数k ，
使得直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离的概率为33
(1)114
41(1)4
P ---+-
==--， 故答案是：1
4
. 【点睛】
该题考查的是有关几何概型概率求解问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，属于简单题目.
14．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到所有输出的的值然后求和即可【详解】输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；退出循环可得所有值 解析：10
【解析】 【分析】
模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到所有输出的y 的值,然后求和即可. 【详解】 输入2n =-，
第一次循环，8,1y n ==-； 第二次循环，3,0y n ==； 第三次循环，0,1y n ==； 第四次循环，1,2y n =-=； 退出循环，可得所有y 值之和为
830110++-=，故答案为10. 【点睛】
本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
15．2【解析】【分析】分析程序中各变量各语句的作用再根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值并输出【详解】该题考查的是有关程序框图的问题在解题的过程中注意对框图进行分析明确框图的作用
解析：2
【解析】 【分析】
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计
算分段函数2,224,251
,5x x y x x x x
⎧
⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩的函数值，并输出. 【详解】
该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意对框图进行分析，明确框图的作用，根据题意，建立相应的等量关系式，求得结果.
根据题意，可知该程序的作用是计算分段函数2,224,251
,5x x y x x x x ⎧
⎪≤⎪=-<≤⎨⎪⎪>⎩的函数值， 依题意得2224x x x ≤⎧⎨=-+⎩或252424x x x <≤⎧⎨-=-+⎩或5
124x x x
>⎧⎪
⎨=-+⎪⎩，
解得1x =-±x 的值有两个， 故答案是：2. 【点睛】
该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意分析框图的作用，之后建立相应的等量关系式，求得结果，从而得到满足条件的x 的个数.
16．80【解析】【分析】本道题一一列举把满足条件的编号一一排除即可【详解】该数可以表示为故该数一定是5的倍数所以5的倍数有5101520253035404550556065707580859095100
解析：80 【解析】 【分析】
本道题一一列举，把满足条件的编号一一排除，即可． 【详解】
该数可以表示为32,5,73k m n ++，故该数一定是5的倍数，所以5的倍数有5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100，该数满足减去3能够被7整除，只有10,45,80，而同时要满足减去2被3整除，所以只有80. 【点睛】
本道题考查了列举法计算锁编号问题，难度一般．
17．A 【解析】【分析】模拟执行程序框图依次写出每次循环得到的k 的值当
k=2012时不满足条件退出循环输出的值为【详解】模拟执行程序框图可得满足条件满足条件满足条件满足条件由此可见S 的周期为3故当k=20
解析：A 【解析】 【分析】
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，当k=2012时不满足条件
2011k ≤ ，退出循环，输出S 的值为1
2
.
【详解】
模拟执行程序框图，可得 2,1S k ==
满足条件2011k ≤，1
,22
S k =
=， 满足条件2011k ≤，1,3S k =-=，
满足条件2011k ≤，2,4S k ==，
满足条件2011k ≤，1
,52
S k ，== 由此可见S 的周期为3，20113670...1,÷= 故当k=2012时不满足条件2011k ≤ ，退出
循环，输出S 的值为12
. 故选A. 【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
18．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考 解析：
【解析】
试题分析：根据题意，正方形的面积为
而阴影部分由函数
与
围成，其面积为，
则正方形中任取一点,点取自阴影部分的概率为.
则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为 考点：定积分在求面积中的应用 几何概型
点评:本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积.
19．【解析】【分析】根据系统抽样的特征求出分段间隔即可【详解】根据系统抽样的特征得：从2100名学生中抽取100个学生分段间隔为故答案是21【点睛】该题所考查的是有关系统抽样的组距问题应用总体除以样本容 解析：21
【解析】 【分析】
根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可. 【详解】
根据系统抽样的特征，得：
从2100名学生中抽取100个学生，分段间隔为2100
21100
=， 故答案是21. 【点睛】
该题所考查的是有关系统抽样的组距问题，应用总体除以样本容量等于组距，得到结果，属于简单题目.
20．【解析】分析：根据题意求出区间内随机取两个数分别记为以及对应平面区域的面积再求出满足调价使得函数有零点的所对应的平面区域的面积利用面积比的几何概型即可求解详解：由题意使得函数有零点则即在平面直角坐标 解析：14
π
-
【解析】
分析：根据题意，求出区间[,]-ππ内随机取两个数分别记为,a b ，以及对应平面区域的面积，再求出满足调价使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的所对应的平面区域的面积，利用面积比的几何概型，即可求解.
详解：由题意，使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点， 则222(2)4()0a b π∆=--+≥，即222a b π+≥，
在平面直角坐标系中,a b 的取值范围，所以对应的区域，如图所示， 当,[,]a b ππ∈-对应的面积为边长为2π的正方形，其面积为24π，
所以其概率为232
4144
πππ
π-=-.
点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的计算，对于几何概型概率可以为线段的长度比，区域的面积、几何体的体积比等，其中这个“几何度量”值域大小有关，与形状和位置无关，解决的步骤为：求出满足条件的基本事件对应的“几何度量”，在求出总的事件所对应的“几何度量”，最后根据公式求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
三、解答题
21．（1）0.30.4y x =-；（2）1.7 【解析】 【分析】
（1）根据数据，利用最小二乘法，即可求得y 对月收入x 的线性回归方程回归方程
ˆˆy
b =x ˆa +； （2）将x ＝7代入即可预测该家庭的月储蓄． 【详解】
（1）由题意知，10
10
1
1
10,
80,20i
i i i n x
y =====∑∑ ，
8020
8,21010
x y ∴=
=== ∴2
1082160,1064640n x y n x ⋅⋅=⨯⨯=⋅=⨯=
10
10
21
1
184,720i i i
i i x y x ====∑∑ 由122
1
184160
ˆ0.3720640
n
i i
i n
i
i x y nxy
b
x
nx ==--==
=--∑∑.
ˆˆ20.380.4a
y bx =-=-⨯=- 故所求回归方程为0.30.4y x =- （2）将7x =代入回归方程
可以预测该家庭的月储蓄为0.370.4 1.7y =⨯-=（千元）. 【点睛】
本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查转化思想，属于中档题．
22．（1）0.15（2）2400（3）25人
【解析】 【分析】
(1)由频率分布直方图计算可得月收入在[3000,3500）内的频率； (2)分别计算小长方形的面积值，利用中位数的特点即可确定中位数的值；
(3)首先确定10000人中月收入在[2500,3000]内的人数，然后结合分层抽样的特点可得应抽取的人数. 【详解】
（1）居民月收入在[3000,3500]内的频率为0.0003(3500-3000)=0.15⨯ （2）因为0.0002(15001000)0.1⨯-=，
0.0004(20001500)0.2⨯-=， 0.0005(25002000)0.25⨯-=，
0.1+0.2+0.25=0.55>0.5，
所以样本数据的中位数为0.5(0.10.2)
20002000400=24000.0005
-++
=+.
（3）居民月收入在[2500,3000]内的频率为0.0005(30002500)=0.25⨯-， 所以这10000人中月收入在[2500,3000]内的人数为0.2510000=2500⨯. 从这10000人中用分层抽样的方法抽出100人， 则应从月收入在[2500,3000]内的居民中抽取2500
1002510000
⨯=(人). 【点睛】
利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 23．(1)答案见解析；(2)35
. 【解析】
【试题分析】（1）借助题设中提供的频率分布直方图，算出0-50的频率为
0.004500.2⨯=，进而求出样本容量200.2100n =÷=，从而求出25m =，最后完成频率分布直方图；（2）先运用分层抽样的方法求出空气质量指数为51-100和151200-的
监测天数中分别抽取4天和1天，即将空气质量指数为51-100的4天分别记为,,,a b c d ；将空气质量指数为151-200的1天记为e ，算出从中任取2天的基本事件数为10种和其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件数为6种，进而算得事件A “两天都为良”发生的概率是()63105
P A =
=： (1)由频率分布直方图可知0-50的频率为0.004500.2⨯=， 所以200.2100n =÷=，从而25m =， 频率分布直方图补充如下图所示.
(2)在空气质量指数为51-100和151200-的监测天数中分别抽取4天和1天， 在所抽取的5天中，将空气质量指数为51-100的4天分别记为,,,a b c d ；将空气质量指数为151-200的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：
(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共
10种.
其中事件A “两天空气都为良”包含的基本事件为：
(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d 共6种，
所以事件A “两天都为良”发生的概率是()63105
P A ==. 24．（1）255；（2）27 【解析】
试题分析：（1）把所给的函数式变化成都是一次式的形式，逐一求出从里到外的函数值的值，最后得到当2x =时的函数值；
（2）用辗转相除法求81与135的最大公约数，写出135=81×1+54=27×2+0，得到两个数字的最大公约数. 试题解析： （1）()()()()()543213f x x x x x x =
++++-
05v =；152414v =⨯+=；2142331v =⨯+=；3312264v =⨯+= 46421129v =⨯+=；512923255v =⨯-=
所以，当2x =时，多项式的值为255. （2）13581154=⨯+
8154127=⨯+， 542720=⨯+，
则81与135的最大公约数为27
点睛：本题主要考查辗转相除法和更相减损术求最大公约数，属于中档题. 辗转相除法和更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法，辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束除法运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时停止减法运算.较小的数就是最大公约数.一般情况下，用辗转相除法得到最大公约数的步骤较少，而用更相减相术步骤较多.但运算简易.解题时要灵活运用.。