九年级数学上册全册期末复习试卷达标检测(Word版 含解析)

九年级数学上册全册期末复习试卷达标检测（Word 版 含解析）
一、选择题
1．sin 30°的值为（ ） A ．3
B ．
32
C ．
12
D ．
22
2．已知抛物线2
21y ax x =+-与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围
是（ ） A ．k ＞﹣1
B ．k ＜1且k≠0
C ．k≥﹣1且k≠0
D ．k ＞﹣1且k≠0
4．分别写有数字﹣4，0，﹣1，6，9，2的六张卡片，除数字外其它均相同，从中任抽一张，则抽到偶数的概率是（ ） A ．
16
B ．
13
C ．
12
D ．
23
5．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥1
B ．m≤1
C ．m ＞1
D ．m ＜1
6．一枚质地匀均的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
23
D ．
16
7．已知⊙O 的直径为4，点O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O 的位置关系是 A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．无法判断
8．已知关于x 的一元二次方程 (x - a )(x - b ) -1
2
= 0 (a < b ) 的两个根为 x 1、x 2，(x 1< x 2)则实数 a 、b 、x 1、x 2的大小关系为（ ） A ．a < x 1< b <x 2 B ．a < x 1< x 2 < b C ．x 1< a < x 2 < b D ．x 1< a < b < x 2 9．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ）
A ．x ＝0
B ．x ＝3
C ．x 1＝0，x 2＝3
D ．x 1＝0，x 2＝－3
10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 11．二次函数y =x 2﹣2x +1与x 轴的交点个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ） A ．都含有一个40°的内角 B ．都含有一个50°的内角 C ．都含有一个60°的内角
D ．都含有一个70°的内角
13．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）
A ．
4233
π
- B ．
8433
π
- C ．
8233
π
- D ．
843
π
- 14．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1＝0
B ．x 2+x +1＝0
C ．x 2+1＝0
D ．x 2+2x +1＝0
15．将抛物线2
3y x =先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（ ）
A ．23(1)2y x =++
B ．23(1)2y x =+-
C ．23(1)2y x =-+
D ．23(1)2=--y x
二、填空题
16．已知矩形ABCD ，AB=3,AD=5,以点A 为圆心，4为半径作圆，则点C 与圆A 的位置关系为 __________.
17．若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径为______．
18．如图，在△ABC 和△APQ 中，∠PAB =∠QAC ，若再增加一个条件就能使△APQ ∽△ABC ，则这个条件可以是________．
19．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是
____________．
20．如图，边长为2的正方形ABCD，以AB为直径作⊙O，CF与⊙O相切于点E，与AD交于点F，则△CDF的面积为________________
21．如图，AB是半圆O的直径，AB=10，过点A的直线交半圆于点C，且sin∠CAB=4
5
，
连结BC，点D为BC的中点．已知点E在射线AC上，△CDE与△ACB相似，则线段AE的长为________；
22．若线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为_____cm.（结果保留根号）
23．一个不透明的口袋中装有若干只除了颜色外其它都完全相同的小球，若袋中有红球6
只，且摸出红球的概率为3
5
，则袋中共有小球_____只．
24．一组数据3，2，1，4，x的极差为5，则x为______.
25．某电视台招聘一名记者，甲应聘参加了采访写作、计算机操作和创意设计的三项素质测试得分分别为70、60、90，三项成绩依次按照5:2:3计算出最后成绩，那么甲的成绩为__．
26．已知⊙O半径为4，点,A B在⊙O上，
213
90,sin
BAC B
∠=∠=，则线段OC
的最大值为_____．
27．如图，ABC是⊙O的内接三角形，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB的长为______．
28．若
a b b -＝23，则a
b
的值为________． 29．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图像上部分点的横坐标x 和纵 坐标y 的对应值如下表 x … －1 0
1
2
3 … y
…
－3 －3 －1 3
9
…
关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0一个负数解x 1满足k ＜x 1＜k +1（k 为整数），则k ＝________．
30．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．
三、解答题
31．在平面直角坐标系中，已知抛物线2
4y x x =-+.
（1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”.试求拋物线2
4y x x =-+的“方点”的坐标；
（2）如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与x 轴相交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴相交于点C ，连接BC .若点P 是直线BC 上方抛物线上的一点，求PBC ∆的面积的最大值；
（3）第（2）问中平移后的抛物线上是否存在点Q ，使QBC ∆是以BC 为直角边的直角三
角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，说明理由.
32．（1）如图，已知AB 、CD 是大圆⊙O 的弦，AB ＝CD ，M 是AB 的中点．连接OM ，以O 为圆心，OM 为半径作小圆⊙O ．判断CD 与小圆⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）已知⊙O ，线段MN ，P 是⊙O 外一点．求作射线PQ ，使PQ 被⊙O 截得的弦长等于MN ．
（不写作法，但保留作图痕迹）
33．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点G 是BC 中点.连接AG .作BD AG ⊥，垂足为F ，ABD ∆的外接圆
O 交BC 于点E ，连接AE .
（1）求证：AB AE =；
（2）过点D 作圆O 的切线，交BC 于点M .若
1
4
GM GC =，求tan ABC ∠的值； （3）在（2）的条件下，当1DF =时，求BG 的长.
34．某网店销售一种商品，其成本为每件30元.根据市场调查，当每件商品的售价为x 元（30x >）时，每周的销售量y （件）满足关系式：10600y x =-+.
（1）若每周的利润W 为2000元，且让消费者得到最大的实惠，则售价应定为每件多少元？
（2）当3552x ≤≤时，求每周获得利润W 的取值范围.
35．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，点P 从点A 出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C 的方向运动；同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D 的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t 秒． （1）当t ＝ 时，两点停止运动； （2）设△BPQ 的面积面积为S （平方单位） ①求S 与t 之间的函数关系式；
②求t 为何值时，△BPQ 面积最大，最大面积是多少？
四、压轴题
36．如图①，A （﹣5，0），OA ＝OC ，点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0）． （1）求B 、C 坐标； （2）求证：BA ⊥AC ；
（3）如图②，将点C 绕原点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D ，连接DC ，问：∠BDC 的角平分线DE ，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
37．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作
Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右
侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点
E ．在射线CD 上取点
F ，使3
2
DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设
3AQ x =
（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．
（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．
38．问题发现：
（1）如图①，正方形ABCD的边长为4，对角线AC、BD相交于点O，E是AB上点（点E 不与A、B重合），将射线OE绕点O逆时针旋转90°，所得射线与BC交于点F，则四边形OEBF的面积为．
问题探究：
（2）如图②，线段BQ＝10，C为BQ上点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC ＝90°，且AD＝CD，连接DQ，求DQ的最小值；
问题解决：
（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝600米．其中AB、BD、BC为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB+BD+BC的最大值．
39．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，tan B＝3
4
，OB＝8．
（1）求OA、AB的长；
（2）点Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD，QC．
①当t为何值时，点Q与点D重合？
②若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．
40．如图1，ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；
（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE •的值；②如图2，若AC BD ⊥，求
tan ACB ∠；
（3）若5
tan 2
CDE ∠=
，记AD x =，ABC ∆面积和DBC ∆面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数关系式.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
直接利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】 解：sin 30°＝12
故选C 【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据题目信息可知当y=0时，20a 21x x =+-，此时0<，可以求出a 的取值范围，从而可以确定抛物线顶点坐标的符号，继而可以确定顶点所在的象限. 【详解】
解：∵抛物线2y a 21x x =+-与x 轴没有交点， ∴2a 210x x +-=时无实数根； 即，24440b ac a =-=+<， 解得，a 1<-，
又∵2
y a 21x x =+-的顶点的横坐标为：21
02a a
-=->； 纵坐标为：
()414
1
04a a a
a
⨯----=
<； 故抛物线的顶点在第四象限. 故答案为：D. 【点睛】
本题考查的知识点是抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据抛物线与x 轴无交点得出2a 210x x +-=时无实数根，再利用根的判别式求解a 的取值范围.
3．D
解析：D 【解析】
∵一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴△=b 2﹣4ac=4+4k ＞0，且k≠0． 解得：k ＞﹣1且k≠0．故选D ．
考点：一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，分类思想的应用．
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据概率公式直接计算即可． 【详解】
解：在这6张卡片中，偶数有4张， 所以抽到偶数的概率是46＝23
， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了随机事件的概率，随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数
÷所有可能出现的结果数，灵活利用概率公式是解题的关键.
5．D
解析：D 【解析】
分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．
详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根， ∴()2
240m =-->， 解得：m ＜1． 故选D ．
点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
直接得出朝上面的数字大于4的个数，再利用概率公式求出答案． 【详解】
∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次， ∴共有6种情况，其中朝上面的数字大于4的情况有2种， ∴朝上一面的数字是朝上面的数字大于4的概率为：21
63
=， 故选：B ． 【点睛】
本题考查简单的概率求法，概率=所求情况数与总情况数的比；熟练掌握概率公式是解题关键．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系． 【详解】
∵⊙O 的直径为4， ∴⊙O 的半径为2，
∵圆心O 到直线l 的距离是2，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l 与⊙O 的位置关系是相切．
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系的应用，理解直线和圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，当d＝r时，直线和圆相切，当d＞r时，直线和圆相离，当d＜r时，直线和圆相交．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
如图，设函数y＝（x−a）（x−b），
当y＝0时，
x＝a或x＝b，
当y＝1
2
时，
由题意可知：（x−a）（x−b）−1
2
＝0（a＜b）的两个根为x1、x2，
由于抛物线开口向上，
由抛物线的图象可知：x1＜a＜b＜x2
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系，本题属于中等题型．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
先移项，然后利用因式分解法求解．
【详解】
解：（1）x2=-3x，
x2+3x=0，
x（x+3）=0，
解得：x1=0，x2=-3．
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．10．C
解析：C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;
由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
11．B
解析：B
【解析】
由△=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，可得二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点．故选B．
12．C
解析：C
【解析】
试题解析：因为A,B,D给出的角40,50,70可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；
C. 有一个60的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确.
故选C.
13．C
解析：C
【分析】
连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：连接OD，
在Rt△OCD中，OC＝1
2
OD＝2，
∴∠ODC＝30°，CD＝2223
OD OC
+=
∴∠COD＝60°，
∴阴影部分的面积＝
2
60418
223=23 36023
π⨯
-⨯⨯π-，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
14．A
解析：A
【解析】
【分析】
逐项计算方程的判别式，根据根的判别式进行判断即可．
【详解】
解：
在x2﹣x﹣1＝0中，△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A符合题意；
在x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，故该方程无实数根，故B不符合题意；在x2+1＝0中，△＝0﹣4×1×1＝0﹣4＝﹣4＜0，故该方程无实数根，故C不符合题意；
在x2+2x+1＝0中，△＝22﹣4×1×1＝0，故该方程有两个相等的实数根，故D不符合题意；故选：A．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，△＞0有两个不相等实数根，△＝0有两个相等实数根，△＜0没有实数根，属于中考常考题型．
15．A
解析：A
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】
抛物线23y x =先向左平移1个单位得到解析式：()2
31y x =+，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：()2
312y x =++．
故选：A ．
【点睛】
此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 二、填空题
16．点C 在圆外
【解析】
【分析】
由r 和CA ，AB 、DA 的大小关系即可判断各点与⊙A 的位置关系．
【详解】
解：∵AB＝3厘米，AD ＝5厘米，
∴AC＝厘米，
∵半径为4厘米，
∴点C 在圆A 外
【点
解析：点C 在圆外
【解析】
【分析】
由r 和CA ，AB 、DA 的大小关系即可判断各点与⊙A 的位置关系．
【详解】
解：∵AB ＝3厘米，AD ＝5厘米，
∴AC ＝223534+=厘米，
∵半径为4厘米，
∴点C 在圆A 外
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d ＞r 时，点在圆外；当d ＝r 时，点在圆上，当d ＜r 时，点在圆内．
17．【解析】
【详解】
∵，
由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形，
∴它的内切圆半径，
解析：【解析】
【详解】
∵22251213+=，
由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形， ∴它的内切圆半径5121322
r +-==， 18．∠P=∠B （答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△APQ ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB=∠QAC 可知∠PAQ=∠BAC ，还需的条件可以是∠B=∠P 或∠C=∠Q 或．
【详解】
解：这个条件
解析：∠P =∠B （答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△APQ ∽△ABC ，在这两三角形中，由∠PAB =∠QAC 可知∠PAQ=∠BAC ，还需的条件可以是∠B=∠P 或∠C=∠Q 或
AP AQ AB AC =． 【详解】
解：这个条件为：∠B=∠P
∵∠PAB =∠QAC ，
∴∠PAQ=∠BAC
∵∠B=∠P ，
∴△APQ ∽△ABC ，
故答案为：∠B=∠P 或∠C=∠Q 或
AP AQ AB AC =． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质的运用,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 19．15π．
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求
解析：15π．
【解析】
【分析】
根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】
解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，
所以这个圆锥的侧面积=1
2
×5×2π×3=15π．
【点睛】
本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.
20．【解析】
【分析】
首先判断出AB、BC是⊙O的切线，进而得出FC=AF+DC，设AF=x，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
解:∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AB、BC是⊙O的切线，
∵C
解析：3 2
【解析】
【分析】
首先判断出AB、BC是⊙O的切线，进而得出FC=AF+DC，设AF=x，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
解:∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AB、BC是⊙O的切线，
∵CF是⊙O的切线，
∴AF=EF，BC=EC，
∴FC=AF+DC，
设AF=x，则，DF=2-x，
在RT△DCF中，CF2=DF2+DC2，
即（2+x）2=（2-x）2+22，解得x=1
2
，
∴DF=2-1
2
=
3
2
,
∴
1133
2
2222 CDF
S DF DC
=⋅=⨯⨯=,
故答案为：3 2 .
【点睛】
本题考查了正方形的性质，切线长定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
21．3或9 或或
【解析】
【分析】
先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.
【详解】
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90，
∵sin∠C
解析：3或9 或2
3或34
3
【解析】
【分析】
先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.
【详解】
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90︒，
∵sin∠CAB=4
5
，
∴
4
5 BC
AB
=,
∵AB=10，
∴BC=8，
∴6 AC===,
∵点D 为
BC 的中点,
∴CD=4.
∵∠ACB=∠DCE=90︒,
①当∠CDE 1=∠ABC 时，△ACB ∽△E 1CD,如图
∴1AC BC CE CD =，即1684
CE =， ∴CE 1=3， ∵点E 1在射线AC 上，
∴AE 1=6+3=9， 同理：AE 2=6-3=3.
②当∠CE 3D=∠ABC 时，△ABC ∽△DE 3C ，如图
∴3AC BC CD CE =，即3
684CE =， ∴CE 3=163
， ∴AE 3=6+
163=343, 同理：AE 4=6-163=23
. 故答案为：3或9 或
23或343. 【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，当三角形的相似关系不是用相似符号连接时，一定要分情况来确定两个三角形的对应关系，这是解此题容易错误的地方.
22．或
【解析】
【分析】
根据黄金分割比为计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可，AC 可能为较长线段，也可能为较短线段.
【详解】
解：AB=10cm ，C 是黄金分割点，
当AC>BC 时,
则有
解析：5 或1555
【解析】
【分析】
计算出较长的线段长度，再求出较短线段长度即可，AC 可能为较长线段，也可能为较短线段.
【详解】
解：AB=10cm ，C 是黄金分割点，
当AC>BC 时,
则有AC=12AB=12
×10=5， 当AC<BC 时,
则有BC=
12AB=12×10=5-，
∴AC=AB-BC=10-(5 ）=15-，
∴AC 长为5 cm 或1555 cm. 故答案为：55 或1555
【点睛】
本题考查了黄金分割点的概念．注意这里的AC 可能是较长线段，也可能是较短线段；熟记黄金比的值是解题的关键．
23．【解析】
【分析】
直接利用概率公式计算．
【详解】
解：设袋中共有小球只，
根据题意得，解得x ＝10，
经检验，x=10是原方程的解，
所以袋中共有小球10只．
故答案为10．
【点睛】
此题主
解析：【解析】
【分析】
直接利用概率公式计算．【详解】
解：设袋中共有小球只，
根据题意得63
5
x
，解得x＝10，
经检验，x=10是原方程的解，
所以袋中共有小球10只．
故答案为10．
【点睛】
此题主要考查概率公式，解题的关键是熟知概率公式的运用.
24．－1或6
【解析】
【分析】
由题意根据极差的公式即极差=最大值-
最小值．可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．
【详解】
解：当x是最大值，则x-（1）=5，
所以x=6；
当x是最小值，
解析：－1或6
【解析】
【分析】
由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值．x可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．
【详解】
解：当x是最大值，则x-（1）=5，
所以x=6；
当x是最小值，则4-x=5，
所以x=－1；
故答案为－1或6．
【点睛】
本题考查极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，同时注意分类的思想的运用．
25．74
【解析】
【分析】
利用加权平均数公式计算.
【详解】
甲的成绩=， 故答案为：74. 【点睛】
此题考查加权平均数，正确理解各数所占的权重是解题的关键.
解析：74
【解析】
【分析】
利用加权平均数公式计算.
【详解】
甲的成绩=705602903
74523
，
故答案为：74.
【点睛】 此题考查加权平均数，正确理解各数所占的权重是解题的关键.
26．【解析】
【分析】
过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,先证明，由三角函数可得出，进而求得，再通过证明，可得出，根据三角形三边关系可得:,由勾股定理可得，求出BE 的最大值，则答案即可求出.
解析：41383
+ 【解析】
【分析】
过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,先证明ABC AEO ∆∆，由三角函数可得出23AO AE =，进而求得6AE =，再通过证明AEB AOC ∆∆，可得出23
OC BE =，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,由勾股定理可得213OE =，求出BE 的最大值，则答案即可求出.
【详解】
解:过点A 作AE ⊥AO,并使∠AEO ＝∠ABC,
∵OAE BAC AEO ABC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩
, ∴ABC AEO ∆∆, ∴tan AC AO B AB AE ∠=
=,
∵sin B ∠=,
∴cos 13B ∠==,
∴sin 2tan cos 3
B B n B ∠∠===∠, ∴
23
AO AE =， 又∵4AO =,
∴6AE =,
∵90,90EAB BAO OAC BAO ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴ =EAB OAC ∠∠， 又∵
AC AO AB AE
=， ∴AEB AOC ∆∆, ∴23
OC AC BE AB ==, ∴23
OC BE =, 在△OEB 中，根据三角形三边关系可得:BE OE OB ≤+,
∵OE =
==，
∴4OE OB +=,
∴BE
的最大值为：4，
∴OC
的最大值为：
(
)
284333=+. 【点睛】
本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角函数、勾股定理及三角形三边关系，解题的关键是构造直角三角形. 27．【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AC ，证明△ABE ∽△ADC ，推出，由此即可解决问题．
【详解】
解：∵AD 是△ABC 的高，
∴∠ADC=90°，
∴，
∵AE 是直径，
∴∠ABE=90°，
解析：5
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AC ，证明△ABE ∽△ADC ，推出
AB AE AD AC =，由此即可解决问题． 【详解】
解：∵AD 是△ABC 的高，
∴∠ADC=90°，
∴AC ==
∵AE 是直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠ADC ，
∵∠E=∠C ，
∴△ABE ∽△ADC ， ∴
AB AE AD AC =， ∴
3AB =
∴AB =
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
28．【解析】
【分析】
根据条件可知a 与b 的数量关系，然后代入原式即可求出答案．
【详解】
∵＝，
∴b=a,
∴=,
故答案为：.
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
解析：5 3
【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】
∵a b
b
-
＝
2
3
，
∴b=3
5 a,
∴a
b
=
5
33
5
a
a
=
,
故答案为：5 3 .
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
29．－3
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1 的取值范围，可得k．
【详解】
解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3
解析：－3
【解析】
【分析】
首先利用表中的数据求出二次函数，再利用求根公式解得x1，再利用夹逼法可确定x1的取值范围，可得k．
【详解】
解:把x=0,y=-3,x=1,y=-1,x=-1,y=-3代入y＝ax2＋bx＋c得
313c a b c a b c -=⎧⎪-=++⎨⎪-=-+⎩，解得113a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩
，∴y=x²+x-3,
∵△=b 2-4ac=12-4×1×（-3）=13，
∴
=
=−1±2， ∵1x <0,
∴1x =−1
-2
＜0， ∵-4≤
-3，
∴3222-≤-
≤-， ∴-
≤ 2.5-， ∵整数k 满足k ＜x 1＜k+1，
∴k=-3，
故答案为:-3．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是求出二次函数的解析式.
30．80
【解析】
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
解析：80
【解析】
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
三、解答题
31．（1）抛物线的方点坐标是()0,0，()3,3；（2）当32m =
时，PBC ∆的面积最大，最大值为278
；（3）存在，()1,4Q 或()2,5--
【解析】
【分析】
(1)由定义得出x=y ，直接代入求解即可
(2)作辅助线PD 平行于y 轴，先求出抛物线与直线的解析式，设出点P 的坐标，利用点坐标求出PD 的长，进而求出面积的二次函数，再利用配方法得出最大值
(3)通过抛物线与直线的解析式可求出点B ，C 的坐标，得出△OBC 为等腰直角三角形，过点C 作CM BC ⊥交x 轴于点M ，作BN BC ⊥交y 轴于点N ，得出M ，N 的坐标，得出直线BN 、MC 的解析式然后解方程组即可.
【详解】
解：（1）由题意得：x y =∴24x x x -+=
解得10x =，23x =
∴抛物线的方点坐标是()0,0，()3,3.
（2）过P 点作y 轴的平行线交BC 于点D .
易得平移后抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++，直线BC 的解析式为3y x =-+. 设()
2,23P m m m -++，则(),3D m m -+. ∴()22
2333PD m m m m m =-++--+=-+()03m << ∴()2
213327332228PBC S m m m ∆⎛⎫=-+⨯=--+ ⎪⎝⎭()03m << ∴当32m =时，PBC ∆的面积最大，最大值为278
. (3)如图所示，过点C 作CM BC ⊥交x 轴于点M ，作BN BC ⊥交y 轴于点N
由已知条件得出点B 的坐标为B(3,0)，C 的坐标为C(0,3)，
∴△COB 是等腰直角三角形，
∴可得出M 、N 的坐标分别为：M(-3,0)，N(0,-3)
直线CM 的解析式为：y=x+3
直线BN 的解析式为：y=x-3
由此可得出：2233y x x y x ⎧=-++⎨=+⎩或2233y x x y x ⎧=-++⎨=-⎩
解方程组得出：14x y =⎧⎨=⎩
或25x y =-⎧⎨=-⎩ ∴()1,4Q 或()2,5--
【点睛】
本题是一道关于二次函数的综合题目，解题的关键是根据题意得出抛物线与直线的解析式.
32．（1）相切，证明见解析；（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）过点O 作ON⊥CD，连接OA ，OC ，根据垂径定理及其推论可得∠AMO=∠ONC=90°，AM=CN ，从而求证△AOM≌△CON，从而判定CD 与小圆O 的位置关系；（2）在圆O 上任取一点A ，以A 为圆心，MN 为半径画弧，交圆O 于点B ，过点O 做AB 的垂线，交AB 于点C ，然后以点O 为圆心，OC 为半径画圆，连接PO ，取PO 的中点D ，以点D 为圆心，OD 为半径画圆，交以OC 为半径的圆于点E ，连接PE ，交以OA 为半径的圆于F,H 两点，FH 即为所求.
【详解】
解：（1）过点O 作ON⊥CD，连接OA ，OC
∵AB 、CD 是大圆⊙O 的弦，AB ＝CD ，M 是AB 的中点，ON⊥CD
∴∠AMO=∠ONC=90°，AM=
12
AB ,CN 12CD ， ∴AM=CN
又∵OA=OC ∴△AOM ≌△CON
∴ON=OM ∴CD 与小圆O 相切
（2）如图FH 即为所求
【点睛】
本题考查垂径定理及其推论，全等三角形的判定和性质，以及利用垂径定理作图，掌握相关知识灵活应用是本题的解题关键.
33．（1）详见解析；（2）2；（3）5.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的判定即可求解；
（2）根据切线的性质证明//DM AG ，根据CD CM CA CG =得到34
CD CA =，再得到ABD ACB ∆∆，故 AD AB AB AC
=，表示出2AB k =，再根据Rt ABC ∆中，利用tan ABC ∠的定义即可求解；
（3）根据tan tan 2ADF BAF ∠=∠=，利用三角函数的定义即可求解.
【详解】
（1）证明：∵90BAC ∠=︒，G 为BC 中点，
∴AG BG GC ==，∴ABG BAG ∠=∠.
又∵BD AG ⊥，∴90BAG DAF ADF DAF ∠+∠=∠+∠=︒，
∴ADB BAG ∠=∠.
∵AB AB =，∴AEB ADB ∠=∠，∴ABE AEB ∠=∠，∴AB AE =.
（2）解：∵
O 是ABD ∆的外接圆，且90BAC ∠=︒，
∴BD 是直径.
∵DM 是切线，∴DM BD ⊥，∵BD AG ⊥，∴//DM AG ，∴CD CM CA CG
=， ∵14GM GC =，∴34CD CA =， ∴设3CD k =，4AC k =，∴AD k =.
∵BDA ABC ∠=∠，BAD CAB ∠=∠，
∴ABD ACB ∆∆，∴AD AB AB AC
=，∴2AB AD AC =⋅，∴2AB k =， ∴在Rt ABC ∆中，tan 2AC ABC AB ∠=
=. （3）∵1DF =，∴tan tan 2ADF BAF ∠=∠=，
∴2AF =，4BF =.
∴222425AB =+=，245AC AB ==.
∴()()22254510BC =+=，
由（1）得ADB BAG ∠=∠
∴ABG BAG ∠=∠,∴AG=BG
故G 为BC 中点，
∴152
BG BC ==.
【点睛】
.此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知圆切线的判定、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质.
34．（1）售价应定为每件40元；（2）每周获得的利润的取值范围是1250元W ≤≤2250元.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出方程即可求解；
（2）根据题意列出二次函数，根据3552x ≤≤求出W 的取值.
【详解】
解：（1）根据题意得()()30106002000x x --+=，
解得140x =，250x =.。