辽宁省重点六校协作体2019届高三上学期期中考试数学(理)试题.docx

2018-2019学年度上学期省六校协作体高三期中考试
数学（理）试题
命题学校：东港市第二中学命题人：阮征 校对人：任明刚
第I 卷（选择题共60分）
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M,N ul,若M CN =N ，贝IJ （
）
A. B ・[—1.|] C ・（一8,—l]U （*+8） .D ・（一8,-1] u [g+8）
3. （cos 佥一 sin 醫）（cos 佥+ sin 尙的值等于（）
5. 设% > 0, y ER,贝I 」“咒 > y” 是 Tnx > lny” 的（
） A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6. 已知等差数列｛aj 中为=18,5… = 240,a…_4 = 30（n > 9）,则项数为（）
A. 10
B. 14 C- 15 D. 17
A. 3C[N B ・ MUQN C ・
U C 】N D. MR C 】N 2.
不等式
x+1
2x-l o 的解集为
A. B. C. D.
4. 已知向量N 亍满足同=1,
\b\ = 2,且向量N 了的夹角为中，若a-Ab 与亍垂
直，则实数久的值为（）
7. 若函数f (x)二(a>0且aHl)在R 上为减函数,则函数y=log a (|x|
-1)的图象可以是
8. 若函数/"(%) = 4sin(— — cox)sincox + COS (2TT — 2s%)在区间［—生寸］上单调递
3 2 2
增，则止数S 的最大值为()
A.右
B. i
C.
D. |
9. 已知函数f 仗)=｛警"—會 U 则产(2017)=()
-fix - 2),龙 N 0,
A. 0 B ・ 1 C ・ 一1 D. log 32
x + y-3< 0
10. 己知实数咒、y 满足线性约束条件％ - 2y - 3 < 0 ,则其表示的平面区域的面
0 < % < 4
积为
9 27 27
A. -
B. —
C. 9
D. T 11・已知过点(0，-1)与曲线f(x) = -x 3+^x 2-6x(x>0)相切的直线有且
仅有两条，则实数a 的取值范围是()
A. (2, + co)
B.. 「(0, + co)
C. (-00, 2)
D. (-co, 0) 12.定义在R 上的奇函数f(x)满足条件f(l + x) = f(l - x),当x E ［0/L ］时,f(x) = x,
若函数g(x) = |/(x)|- 3七1在区间［-2018,2018］上有4032个零点，则实数a 的取值范围()
A. (0, 1) B ・(1, e 3) C ・(e, e 2) D. (e,e 3
)
A. B.
第II卷
二填空题：本大题共四小题，每小题5分，满分20分。

13・已矢口AABC中，c = v，r3, a = 1, acosB = bcosA ,贝\\AABC面积为_________ 14.已知向量a = =(2,-2),c = (1,2).若Q||(2a+b), 2 = _______________
15・己知咒>2,求/(x) = 2x +的最小值_________________
I
16・已知数列1, 1+2,1+2+22, 1+2+22+23,...」+2+2?+・・・+2"i,其前口项和
s n > 1024,则□的最小值是___________ 三、解答题：满分70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17-21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22, 23题为选考题，考生根据要求
作答。

17.(12 分)
已知/(%) = 2sin(2x +7) + «cos2x (a G /?),其图彖在x = 取得最大值.
6 3
(I)求函数n>)的解析式；
(II)当° E (Of),且/(a) = 求sin2a值.
3 5
18.(12 分)设函数/(%) = a%3 - 4% + 4过点P(3,l)
(1)求函数TO)的单调区间和极值；
(2)求函数/■(%)在［一匚3］上的最大值和最小值.
19.(12分)设AABC的内角A, B,C所对的边分别是a,b,c9且q - cosC是a・cosB 与b• cos/的等差中项.
(II)设c= 2,求zMEC周长的最大值.
20. (12分)已知等差数列｛為｝,等比数列｛仇｝满足:
a I =
b | = 1, ci2=bi 2如—6=1.
(1)求数列｛偽｝, ｛%｝的通项公式;
(2)记c n=a n.b tl,求数列｛ g ｝的前〃项和S“・
21 ・(12 分)已知函数/(%) = 4ax - - 21nx.
(1)当a = l时，求曲线/■(%)在点(匚/(!))处的切线方程；
(2)若函数产仗)在其定义域内为增.函数，求实数Q的取值范围；
(3)设函数g(x)=若在区间［1,习上至少存在一点％，使得/(%0)>5(%0)
.X
成立,求实数a的取值范围.
选考题：共10分。

请同学们在第22和23题中任选一题作答。

如果多做，贝!)按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为p2 = 4p(cos0 + sin0) - 3,若以极点O为
原点，极轴为兀轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求圆C的一个参数方程；
(2)在平面直角坐标系中，Pgy)是圆C上的动点，试求x + 2y的最大值，并
求出此时点P的直角坐标.
23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)
已知函数产0) = |2x -1| -|x-a|, a ER.
(1)当a = l吋，解不等式/(%) < 1;
(2)当x 6 (-1,0)时，f(%) > 1有解,求a的取值范围.
参考答案
1. C
2. A
3. D
4. D
5. B
6. C
7. C
8. B
9. A 10. B 11. A
12. D
13・ $ 14. 7 15・ 4 + 2屈16. 10
4 2
17.( I ) /(%) = 2sin(2% + -) + acos2x = 2sin2xcos- + 2cos2xsin- + acos2x
6 6 6
=\3sin2 尢 + (a + l)cos2x
由在尢=中取得最大值，疋)=VJsin守+ (a + l)cos节=j3+(a + 1尸
・•・(a+ 2)2=0,艮卩a = —2,
经检验符合题意/(%) = v^sinZx - cos2x = 2sin(2x --)・.................... 6分
(II)由aE(0f),・・・(2a-f)e (—乞勺，又/(a)=2sin(2a-f)=5
・•・ sin(2a --)=得(2a — -) e (0,-),・•・ cos(2a --)=-
6 5 6 2 6 5
・・・sin2a = sin[(2a--)+-] = sin(2a一匹)cos王 + cos(2a — -)sin-= -x —+-x- = a
八 6 丿6」J 6J 6 、6y 6 5 2 5 2 10
. ............................................................................... 12 分
18.(1) J点P(3,l)在函数代力的图彖上，・・・f(3) = 27a-12+4 = 27a-8=1,解
得a = .\/(x) = 7X3一4尤+ 4,・•.『CO = %2 - 4 = (x + 2)(%- 2),当无 < 一2或
先 > 2时,
a O
f(x) > 0, 单调递增;当-2 <x< 2时,「(X)< 0,兀龙)单■调递减・・・・当咒=一2时，
几力有极大值，且极大值为f(-2)今X (-8) + 8 + 4二尹，当欠二2时，f(力有极小值, 口极小值为
f(2) = |x8-8 + 4
(2)由1可得：函数几力在区间［-1,2)上单调递减,在区间［2,3］上单调递 tg. =f (2) = - ？，又
/(-1) = -| + 4 + 4=^, /(3) = 9-12+4 = 1, := /(-I) = 7
19・(1)由题，acos* + bcos4 = 2ccosC,
由正弦定理,sinAcosB + sinBcos-4 = 2sinCcosC,
即sin(^ + B) = 2sinCcosC,解得cosC =右,所以C = 60°.
.……4 分 (2)法一：由余弦定理及基本不等式，
c 2 = 4 = a 2 4- h 2 - a
d = (a 4- fe)2 - 3ab > (a + b)2 一 3(字)：=@节),
得a+ b < 4,当且仅当 a = b = 2时等号成立，故A MC 周长a + b + c 的最大值为6.
故周长a + b + c =宁(sinH + sinB) + 2 =学[sinA + sinf4 + 60°)] + 2
n 3
乎(fsim4+Fcos% + 2 = 4sin(4 + 30。

)+ 2
V/1 e (0,120°),・••当4 = 60。

时，周长a+b + f 的最大值为6.……12分
从而 a n =b n =l 或 a n =2n —\, b n =3n ~x
4分 (2)①当 a n =b n = 1 时,o=l,所以 Sn=n ；
②当 a…=2n -l, b n =y l ~｛
时，c”=(2/i—1)x3"」， 12分
法二: 由正弦定理，佥
b sinB 20.⑴设｛给｝的公差为d, ｛仇｝的公比为q,
1+d = q 2(l + 2d)-q 2 =
解得
sinC 3
S n= 1 +3x3+5x32+7x33+...+(2n~ 1 )x3n_,, 3S H=3+3x32+5x33+7x34+...
+ (2/?— 1)x3",
从而有(1—3)S n= 1 +2x3+2x32 + 2x3"+...+2x3"—'—(2n—1)x3"
=1 +2(3 + 3?+ …+3"一1)一⑵2— 1)x3"= 1 +2/ U _(2〃一1)x3"= —2(斤一
1)x3"—2,
故S“=(n—l)x3"+l・综合①②，得Sn=n或S〃=(n—l)x3"+l・・・・・・・12
分
21・(1)解：当a = l时/(尢)=4尤一2—21^/(1) = 4 — 1 — 21111 = 3,
弘)=4+心
曲线在点CL广⑴)处的斜率为尸⑴=3, 故曲线几尢)在点(1,产⑴)处的切
线方程为y-3 =3(欠一1),即y = 3光 ...... 3分
(.2 )解：fix) = 4a +卡一丫 =心；；十.令九(町=4a%2 - 2x + a,要使才⑴在定义域(0, +s)内是增函数，只需h(x)>0在区间(0, +s)内恒成立.依题意a > 0,此时
h(x) = 4ax2 - 2% + a的图象为开口向上的抛物线，吃)=4a(x - ^)2 + (a-三),其对称轴方程为尤=三£ (0, + co),/t(x)min= a-三,则只需a -三20,即
所以几光)定义域内为增函数，实数a的取值范围是匕4-co). ……7分
(3)解：构造函数0(x) = /(x) - 5(x),x e [1,可,依题意0(x)max > 0,
由（2）可知a三时4（尤）=f（x） - g（x）为单调递增函数，即。

（无）=a（4尤-》一21nx-
x X 在DL e]上单调递增，0(x)max = 0(e) = a(4e - ；) - 8 > 0,则
此时@2) = /(e)- 0(e) > 0,即f(e) > 9®成立.当a—时，因为
故当光值取定后@（坊可视为以a为变量的单调递增函数,
则》一2\nx-号鼻 e [1, e],故0(症;_ 中)_ 21ne-y = 0,
即张）勺（龙）,不满足条件.所以实数a的取值范围是（去，+8）.……12分
22. (1)因为p? = 4p(cos0 + sin0) 一3,所以好+护-4% - 4y + 3 = 0,即
(尢-2)2 + 0「- 2)2= 5为圆C的直角坐标方程，所以圆C的一个参数方程为
“2 +密钦@为参数).……§分
ly = 2 + V5sin(p
(2)由⑴可知点P的坐标可设为(2 + V5cos(p, 2 + V5sin(p),贝!J
x + 2y = 2 + \5cos(p + 4 + 2\何sin® = 2vEsin® + v，r5cos(p + 6 = 5sin@ + a) + 6 其cosa =宁,sina = y,当无 + 2y取最大值时,sin@ + a) = 1, g + a = 2kn + £ k E Z,
止匕吋cos(p = cos(7
— a)= Vs sma=
「••、2v5
s\n(p = sin(7 —a) = cosa
所以光+ 2y的最大值为lb此时点P的直角坐标为（34）.10分
|
3% - 2,-< % <
23. (1)当a = l时，/(x)= |2%-l|-|x-l| =
2
XX > 1
当尤 < 丁时，—% <=^ x > —1, /—1 < x < ；；当丁< x < 1时，3尤一2o 尤
<1 …•丄<无<1；
2 2 2 2
当%>int, x< 1,无解；综上，不等式/(X)< 1的解集为{%|-1 <%< 1}.…
5分
(2)当尤E (—1,0)13寸，TO) > 1右•角军o忱一a| V — 2光有•角军o 2% V尤一
a < —2兀有角军
<=> 3% < a < —x有解，V3% > —3, —X < 1, —3 < a < 1. ........... 10 分。