广东省广州市培正中学届高三数学上学期第二次月考试卷理(含解析)【含答案】

广东省广州市培正中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，满分40分）1．（5分）对于集合A={2，4，6}，若a∈A，则6﹣a∈A，那么a的值是（）A．2 B．4 C．6 D．2或42．（5分）设a、b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）若向量，向量，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）4．（5分）某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A．45 B．54 C．90 D．1265．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．B．C．1 D．26．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面7．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知x+3y﹣2=0，则3x+27y+1的最小值是（）A．B．C．6 D．7二、填空题：（每小题5分，满分25分）（一）必做题（9～13题）9．（5分）不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3的解集为．10．（5分）从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的两个数之差的绝对值为2的概率是．11．（5分）已知{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q=．12．（5分）由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．13．（5分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a 的值为．选做题（14～15题，考生从中选做一题，如果两题都做了，只批改第14题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为．15．如图所示，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=．三、解答题：（共6小题，满分80分）16．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．17．（13分）某校100名学生期2015届中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60） [60，70） [70，80） [80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：518．（14分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．19．（13分）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，求a的取值范围．20．（14分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1）．（1）求{a n}的通项公式；（2）等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．21．（14分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax．（1）若f（x）在（，+∞）上是单调减函数，求实数a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间的最大值．广东省广州市培正中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，满分40分）1．（5分）对于集合A={2，4，6}，若a∈A，则6﹣a∈A，那么a的值是（）A．2 B．4 C．6 D．2或4考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：让a分别取2，4，6，看是否符合6﹣a∈A即可．解答：解：a=2，6﹣2=4∈A；a=4，6﹣4=2∈A；a=6，6﹣6=0∉A；∴a的值是2或4．故选D．点评：考查元素与集合的关系，列举法表示集合．2．（5分）设a、b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．专题：规律型．分析：结合纯虚数的概念，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：若复数a+bi为纯虚数，则a=0，b≠0，∴“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用纯虚数的概念是解决本题的关键．3．（5分）若向量，向量，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量，向量，知，再由，能求出结果．解答：解：∵向量，向量，∴，∴=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3）=（﹣2，﹣4）．故选A．点评：本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真解答，仔细运算．4．（5分）某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（）A．45 B．54 C．90 D．126考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：由分层抽样的特点，用A种型号产品的样本数除以A种型号产品所占的比例，即得样本的容量n．解答：解：A种型号产品所占的比例为=，18，故样本容量n=90．故选：C．点评：本题考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．5．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．B．C．1 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可．解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=故选：B．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．6．（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面考点：平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．解答：解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B 对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．点评：本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示．7．（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．考点：椭圆的应用；数列的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．解答：解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选B．点评：本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行．8．（5分）已知x+3y﹣2=0，则3x+27y+1的最小值是（）A．B．C．6 D．7考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据基本不等式的性质，有3x+27y≥2=2，结合题意，x+3y=2，代入可得答案．解答：解：根据基本不等式的性质，有3x+27y≥2=2，当且仅当3x=27y时，取等号．又由x+3y=2，则3x+27y≥2=6，则3x+27y+1的最小值是7．故选D．点评：本题考查基本不等式的性质，注意结合幂的运算性质进行计算．二、填空题：（每小题5分，满分25分）（一）必做题（9～13题）9．（5分）不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3的解集为{x|x≥1}．考点：绝对值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：首先分析不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3，含有两个绝对值号，故不能直接去绝对值需要分类讨论，当x＜﹣3时，当﹣3≤x≤2时，当x＞2时，三种的情况综合起来即可得到答案．解答：解：当x＜﹣3时，因为原不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3去绝对值号得：﹣（x+3）+（x ﹣2）≥3可推出﹣5≥3，这显然不可能，当﹣3≤x≤2时，因为原不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3去绝对值号得：（x+3）+（x﹣2）≥3可推出，x≥1，故当1≤x≤2不等式成立．当x＞2时，因为原不等式|x+3|﹣|x﹣2|≥3去绝对值号得：（x+3）﹣（x﹣2）≥3可推出5≥3，这显然恒成立．故综上所述，不等式的解集为x|x≥1，故答案为{x|x≥1}．点评：此题主要考查绝对值不等式的解法，对于含有两个绝对值号的绝对值不等式，需要分类讨论才能求得答案．10．（5分）从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的两个数之差的绝对值为2的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：利用组合知识求出从1，2，3，4中任取两个不同的数所有取法种数，写出取出的两个数之差的绝对值为2的情况，得到取出的两个数之差的绝对值为2的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．解答：解：从1，2，3，4中任取两个不同的数，所有不同的取法种数为种．取出的两个数之差的绝对值为2的情况有：（1，3），（2，4）共2种．∴取出的两个数之差的绝对值为2的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，是基础的计算题．11．（5分）已知{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q=2．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知{a n}是递增等比数列，a2=2，我们可以判断此数列的公比q＞1，又由a2=2，a4﹣a3=4，我们可以构造出一个关于公比q的方程，解方程即可求出公比q的值．解答：解：∵{a n}是递增等比数列，且a2=2，则公比q＞1又∵a4﹣a3=a2（q2﹣q）=2（q2﹣q）=4即q2﹣q﹣2=0解得q=2，或q=﹣1（舍去）故此数列的公比q=2故答案为：2点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中利用等比数列的通项公式及a2=2，a4﹣a3=4，构造出一个关于公比q的方程，是解答本题的关键．12．（5分）由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．考点：特称命题．专题：计算题．分析：原命题为假命题，则其否命题为真命题，得出∀x∈R，都有x2+2x+m＞0，再由△＜0，求得m．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1．∴m的取值范围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）点评：本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题．考查转化、计算能力．13．（5分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a 的值为．考点：函数的值；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．解答：解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案为点评：本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．选做题（14～15题，考生从中选做一题，如果两题都做了，只批改第14题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为（，）．考点：简单曲线的极坐标方程；两条直线的交点坐标；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：计算题．分析：先将原极坐标方程ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程求出交点，最后再转化成极坐标．解答：解：两条曲线的普通方程分别为x2+y2=2y，x=﹣1．联立解得，由得点（﹣1，1），极坐标为（，）．故答案为：（，）．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．15．如图所示，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=2．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：由已知条件推导出△ABC∽△CDE，从而BC2=AB•DE=12，由此能求出BC的值．解答：解：∵AB是直径，BC=CD，∴AC⊥BC，∴∠B=∠D，CE是切线，∠DCE=∠DAC，∴∠CED=∠ACD=90°，∠ACB=∠CED=90°，∴△ABC∽△CDE，，又BC=CD，∴BC2=AB•DE=12，∴BC=2．故答案为：．点评：本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题：（共6小题，满分80分）16．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期．（Ⅱ）通过x在[0，]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）==（cosx，﹣）•（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈，由正弦函数y=sinx在的性质可知，sinx，∴sin（2x﹣），∴f（x）∈[﹣，1]，所以函数f （x）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．点评：本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．17．（13分）某校100名学生期2015届中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60） [60，70） [70，80） [80，90）x：y 1：1 2：1 3：4 4：5考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a 的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．解答：解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．点评：本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．18．（14分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC的体积．解答：（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥B C．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．19．（13分）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，求a的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性，求出函数的解析式，根据不等式恒成立即可得到结论．解答：解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）≥a+1对一切x≥0成立，∴f（0）=0≥a+1，即a≤﹣1，当x＞0，则﹣x＜0，∵当x＜0时，f（x）=9x++7，∴当﹣x＜0时，f（﹣x）=﹣9x﹣+7=﹣f（x），则f（x）=9x+﹣7，∵f（x）=9x+﹣7≥，∴由6|a|﹣7≥a+1，即6|a|﹣a≥8当a≥0，则不等式等价为5a≥8，即a≥，成立．当a＜0，则不等式等价为﹣7a≥8，即a≤﹣，综上：a≥或a≤﹣．∵a≤﹣1，∴a≤﹣．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性求出函数的解析式是解决本题的关键．在求不等式恒成立时，使用了基本不等式．20．（14分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1）．（1）求{a n}的通项公式；（2）等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．考点：等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题；综合题．分析：（1）由题意可得：a n=2S n﹣1+1（n≥2），所以a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2），又因为a2=3a1，故{a n}是等比数列，进而得到答案．（2）根据题意可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，所以结合题意可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，进而求出公差得到等差数列的前n项和为T n．解答：解：（1）因为a n+1=2S n+1，…①所以a n=2S n﹣1+1（n≥2），…②所以①②两式相减得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2）又因为a2=2S1+1=3，所以a2=3a1，故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列∴a n=3n﹣1．（2）设{b n}的公差为d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，又因为a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，解得d1=2，d2=﹣10∵等差数列{b n}的各项为正，∴d＞0，∴d=2，∴．点评：本题主要考查求数列通项公式的方法，以及等比数列与等差数列的有关性质与求和．21．（14分）设f（x）=﹣x3+x2+2ax．（1）若f（x）在（，+∞）上是单调减函数，求实数a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知得f′（x）=﹣x2+x+2a，求出函数的最值，继而得到a的取值范围．（2）先根据导数求出极值点．在判断函数的再某个区间上的单调性，根据单调性得到最值．解答：解：（1）由．当时，f'（x）的最大值为．因为f（x）在上是单调减函数，则f'（x）≤0在上成立，所以，解得，故所求实数a的取值范围为．（2）令．因为当x＜x1或x＞x2时f'（x）＜0，当x1＜x＜x2时f'（x）＞0所以f（x）在（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增．当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2），又．所以f（x）在[1，4]上的最小值为．得a=1，x2=2，从而f（x）在[1，4]上的最大值为．点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．。