惠州市2019届高三模拟考试 理科数学 试题 答案

惠州市2019届高三模拟考试 理科数学参考答案及评分标准
一、 选择题：
1．【解析】集合或,集合, ∴A B ⋂=(2,3)，故选A
2.【解析】,由题意得, 解得,故选D .
3.【解析】若,则一定有,即;反之,若,则.故“”是“”的充分不必要条件.选A
4.【解析】由已知得(3,1)a b -=r r
,
则(
)()
1
09109
a b
a b μμμ+-=⇒-=⇒=r r
r r ,故选C
5.【解析】∵∴
故选D
6.【解析】展开式中含x 2的项为2x ·C 32x ·(-2)2+1·C 31x 2
·(-2)=(24-6)x 2=18x 2,故系数为18. 故选B
7.【解析】对选项A ，需两直线相交。

对于选项C ，若三点中有两点构成的直线与平行，另一点在面的另一侧，则不能判断两面平行。

对于选项D ，反例为空间直角坐标系的坐标平面。

8. 【解析】设圆C 的半径为r ,圆心为C (-3,m ),根据弦心距、半径、半弦长的关系得
,解得或(舍去),当时,|PA |的最大值为
故选D .
9. 【解析】由得，则知所在的球的截面圆的圆心在
BC 的中点M 上，同理所在的球的截面圆的圆心在的中点N 上，则球心O 为MN 的中点，故球的半径为 {|60}{|3A x x x x x =+->=<-2}x >{|13}B x x =-<<2(2)(1)2(2)221(1)(1)222ai ai i a a i a a i i i i -----+-+===-++-202
20
2
a
a -⎧=⎪⎪⎨+⎪-≠⎪⎩2a =2
()0a b a -<0a b -<a b <,0a b a <=2
()0a b a -=2
()0a b a -<a b <),23,12(+-=+μμμ,53)4cos(=-απ.2571)4(cos 2)22cos(2sin 2-=--=-=απαπαβ22|311|(
)135m -+=2m =16
3
m =2m =||AC r +=AC AB AC AB ⊥==,4,35=BC ABC ∆111C B A ∆11C B 2
13
)212()25(22=+=
R
10. 【解析1】联立直线与椭圆方程得，则；
以为直径的圆为，由于其通过椭圆焦点，则；把代入上式得，
考虑到，解得故答案为B 。

【解析2】根据三角形OAF 1为正三角形，可用c 表示出A 点坐标，代入椭圆方程可得离心率。

11. 【解析1】
,
,故选D
【解析2】 当时
则问题转化为函数
，故选D 【解析3】 当时
则问题转化为函数
3y x =-22221x y a b
+=222113x a b =+222
3
13y a b =+∴AB 22
2
2
22
43a b x y b a
+=+222
2243a b c b a =+222
b a
c =-222
4(1)4e e e -=-01e <<31e =-1cos sin 12()sin(),()0sin()0222244
x x f x x f x x ωωππ
ωω-=
+-=-=⇒-=由1155991154(,2),()(,)(,)(,)(,)(,)848484848
k x k z π
πππωω+=
∉∈∴∉⋃⋃⋅⋅⋅=⋃+∞1150848ω⎛⎤⎡⎤
∴∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
，，1cos sin 12()sin()0)2224
x x f x x ωωπ
ωω-=
+-=->（x (,2)ππ∈x (,2)(0)4
44
π
π
π
ωωπωπω-
∈-
->sin (,2)(01)44y t t π
π
ωπωπω=∈-
-<<在上无零点，则
0115440,84820244
ππωππωπωωππωπωππ
⎧⎧
-≥--≥⎪⎪⎪⎪<≤≤≤⎨
⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎪⎩⎩或解得或1cos sin 12()sin()0)2224
x x f x x ωωπ
ωω-=
+-=->（x (,2)ππ∈x (,2)(0)4
44
π
π
π
ωωπωπω-
∈-
->sin (,2)(01)44y t t π
π
ωπωπω=∈-
-<<在上无零点，则
12. 【解析】若对任意的,总有恒成立, 即为在恒成立,
设,则的最大值不大于0,由, 若在递增, 无最大值;
若,则当时, 在递减;
当时在递增
可得处取得最大值,且为
则,可得
所以[](2+3)(2+3)ln(23)1m n m m ≥-+-可得()[],(2+3)ln(23)1F m n m m =-+-, 令可令,,
当时, 在递减;当时,
在递增. 可得处k(t)取得最大值，且最大值为，则(,)F m n 最大值为.
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13、2， 14、
3
5
， 15、()(),04,-∞+∞U ， 16、。

13．【解析】由约束条件作出可行域如图所示,目标函数可看
作点与(0,0)连线的斜率,结合图形可知,当两点连线与直线
22sin()0sin()04422sin(2)0sin(2)0
44
1531224444
15318888k k Z Z k k ππ
ωπωπππωπωπωωωω⎧⎧-≥-≤⎪⎪⎨
⎨⎪⎪-≥-≤⎪⎪⎧⎧≤≤+≤≤+⎪⎪⎪⎪∈∈⎨⎨⎪⎪≤≤+≤≤+⎪⎪⎩⎩
或2k+2k-解得(k )或(k )
k+k-11500,848
ωωω>∴<≤≤≤又或(0,)x ∈+∞()()f x g x ≤lnx (23)x 0,m n -+-≤(0,)x ∈+∞h(x)lnx (23)x ,m n =-+-()h x 1
()(23)h x m x
'=-+230,()0,()m h x h x '+≤>(0,)+∞()h x 230m +>123x m >
+()0,()h x h x '<1
(,)23
m +∞+1023x m <<+()0,()h x h x '<1
(0,)23m +1
23
x m =+()h x n m --+-1)32ln(01)32ln(≤--+-n m 1)32ln(-+-≥m n 23(0)t m t =+>k()t(lnt 1)x =--k ()lnt 11ln 2x t '=---=--21
t e >
(t)0,(t)k k '<21(,)e +∞210t e <<(t)0,(t)k k '>2
1(0,)e 21
t e
=222111(ln 1)e e e --=21e (23,43)0
--==x y x y z ),(y x t t
重合时,斜率最大,故z 的最大值为2.
14．【解析】由题意可知，黑球和白球分别有4个、2个，从袋中任意摸出2个球,所有的取法共
有C 62=15(种)，而取出的2个球均为白球的取法有C 22
=1(种)，取出的2个球只有1个白球的取法有C 21C 41=8(种)，所以至少摸到1个白球的概率. 15．【解析】∵偶函数满足,∴函数在上为增函数,
,∴不等式等价为,
即,即或,解得或.
16. 【解析1】如图所示.采用极限思想：当C 无限靠近A 点时，BC 就无限
趋近于AB ，AB 的长度就近似等于2AM ，此时2AB+AC 的长度就无限趋近于；当B 无限靠近A 时，BC 就无限趋近于AC ，AC 的长
度就近似等于2AM ，此时2AB+AC 就无限趋近于，所以AC+2AB ∈ 【解析2】以AB ，AC 为相邻的两边作平行四边形ABDC ，在中，
，设由正弦定理可知
由得所以所以 AC +2AB ∈.
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.（本小题满分12分） 【解析】（1）当=1时，有…………2分 又由可得 两式相减得……………3分 即有…………4分
02=-y x 5
3
1581=+=
P )(x f ()24(0)x
f x x =-≥)(x f ),0[+∞0)2(=f 0)2(>-a f )2(|)2(|f a f >-2|2|>-a 22>-a 22-<-a 4>a 0<a 4323(23,43)32,120=︒=∠AD ACD ),3
,0(π
θ∈=∠CAD ),6sin(34)cos 23sin 23(4))3sin(sin 2(3
2sin 22π
θθθθπθπ+=+=-+=
+=+AD AC CD AC AB ),3,0(πθ∈),2,6(6πππθ∈+),1,21
()6sin(∈+πθ(23,43)n 1111
1022
a S a -
-=⇒=110()2n n a S n N *
--=∈1
1110()2n n a S n N *++--=∈1
111(1)(1)022n n n n a S a S ++-----=11
02
n n a a +-=12n n a a +⇒=
故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，………5分
………………6分
评分要点：
1、如果用1n n n a S S -=-则必须说明2n ≥，否则扣1分。

2、求出递推公式后必须要有文字说明数列为等比数列，无文字说明直接写通项公式扣1分。

（2）解法一：由（1）知1q ≠，所以…………7分
令(2)(2)22n n
n n b S n n λλλ=++=++-，……8分
为使{}n b 为等差数列，则n b 是关于n 的一次函数，所以2λ=-，………9分 此时22n b n =--，
当1n =时，12124b =-⨯-=-………10分
当2n ≥时，122[2(1)2]2n n b b n n --=------=-，………11分 所以是以4-为首项，2-为公差的等差数列。

………12分
评分要点：如果没有说明n b 是关于n 的一次函数扣1分。

解法二：由（1）知1q ≠，所以…………7分 令(2)(2)22n n
n n b S n n λλλ=++=++-，若为等差数列， 则有构成等差数列，…………8分 即有
即……………9分 此时22n b n =--，
当1n =时，12124b =-⨯-=-………10分
当2n ≥时，122[2(1)2]2n n b b n n --=------=-，………11分 所以是以4-为首项，2-为公差的等差数列。

………12分
{}n a 2()n n a n N *∴=∈1(1)2(21)1n n
n a q S q -==--{
}
(2)n
n S n λ++1(1)
2(21)1n n n a q S q
-=
=--{
}
(2)n
n S n λ++123
123(12),(22),(32)S S S λλλ++++++213
2132((22))((12))((32))S S S λλλ++=+++++2(66)(23)(1411)2λλλλ+=+++⇒=-{
}
(2)n
n S n λ++
18.（本小题满分12分）
【解析】（1）由题意为等边三角形，则，
在三角形中，,，由余弦定理可求得
，即………1分
又平面平面，平面平面，平面
平面，……2分
又PD⊂面………3分
等边三角形中，为中点，则，………4分
且，BC⊂面，BE⊂面，平面，………5分
又平面，………6分
评分要点：证明过程如果没有划线部分的条件，各扣1分。

（2）解法一：以为坐标原点，分别为
轴，轴建立空间直角坐标系，………7分则，，，，
，………
8分
设()
,,
m x y z
=
u r
是平面的法向量，则，
，取……………9分
…………11分
所以直线与平面所成角的正弦值为. …………12分
（2）解法二：由（
1）可知PD⊥平面BEC则三棱锥P BEC
-的高为PE，
设点B到平面PCD的距离为h，则B PEC P BEC
V V
--
=
Rt BEC
V
中，BC===
，BE=8分
ABD
D2
BD=
BCD4
CD=30
BCD o
?BC=
222
CD BD BC
\
=+BC BD
^
PBD^BCD PBD I BCD BD
=BCÌBCD
BC
\^PBD
PBD BC PD
轣
PBD E PD BE PD
^
BC BE B
I=BCE BCE PD
\^BCE
CEÌBCE PD CE
\^
B,
BC BD x
y
()
0,0,0
B()
C()
0,2,0
D(P3(0,2
E
()
CD=-
u u u r(0,1,
PD=
u u u r
PCD0
m CD
u r u u u r
?0
m PD
u r u u u r
?
20
y
y
⎧-+=
⎪
⎨
=
⎪⎩
()
m=
u r
cos,
5
m BE
m BE
m BE
⋅
<>===
⋅
u r u u u r
u r u u u r
u r u u u r
BE PCD
5
1
32
BEC S =
⨯=V Rt PEC V 中，1PE =
，EC ===9分
由B PEC
P BEC V V --=得11
33
PEC BEC S h S PE =⋅V V
，解得h =0分
设直线BE 与平面PCD 所成角为θ
，
Sin h
BE
θ=
==………11分
所以直线与平面
. …………12分
19. （本小题满分12分） 【解析】（1，所以223b c =…………1分
…………2分
分 分 （2）解法一：当直线1l 的斜率不存在时，直线OM 平分线段PQ 成立…………5分 当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 方程为()1y k x =-，
6分
因为1l 过焦点，所以0∆>恒成立，设()11,P x y ，()22,Q x y ，
分 分 BE PCD
分
分
方程，即OM 平分线段PQ …………11分 综上所述，直线OM 平分线段PQ …………12分
（2）解法二：因为直线2l 与x =4
有交点，所以直线1l 的斜率不能为0， 可设直线1l 方程为1x my =+，…………5分
分
因为1l 过焦点，所以0∆>恒成立，设()11,P x y ，()22,Q x y ，
分 分 分 直线
2l 方程为()1y m x =--，()4,M M y ，由题可得()4,3M m -，…………10分 方程，即OM 平分线段PQ …………11分 综上所述，直线OM 平分线段PQ …………12分
20. （本小题满分12分）
【解析】(1)依题意， P(X >120)=0.1 ，由二项分布可知， ξ~B(3,0.1) ……1分
P(ξ=0)=C 30(1−0.1)3=0.729 , P(ξ=1)=C 31
×0.1×(1−0.1)2=0.243 ,
P(ξ=2)=C 32
×0.12×(1−0.1)=0.027 , P(ξ=3)=C 33×0.13=0.001 , ……3分
所以 ξ 的分布列为
……………………5分
E(ξ)=3×0.1=0.3………6分
（2）记水电站的总利润为 Y （单位：万元），
①假如安装1台发电机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润 Y =5000 ， E(Y)=5000×1=5000 ；………7分 ②若安装2台发电机，
当 40<X <80 时，只一台发电机运行，此时 Y =5000−800=4200 ， P(Y =4200)=0.2 ，当 X ≥80 时，2台发电机运行，此时 Y =5000×2=10000 ， P(Y =10000)=0.8 ， E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840 . ………9分 ③若安装3台发电机，
当40<X <80时，1台发电机运行，此时 Y =5000−2×800=3400 ， P(Y =3400)=0.2 ，当80≤X ≤120时，2台发电机运行，此时 Y =5000×2−800=9200 ， P(Y =9200)=0.7 ， 当X >120时，3台发电机运行，此时 Y =5000×3=15000 ， P(Y =15000)=0.1 ， E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620………11分
综上可知，应安装2台发电机，可使总利润的均值达到最大8840万元。

………12分 21. （本小题满分12分）
【解析】（1）函数定义域为，
，，················1分
令，，
当，即时，，∴在上单调递减；···········2分 当，即时，由，解得，，
若，则， ()f x (,1)-∞2'()11m x x m f x x x x
-+-=-=
--10x ->2
0x x m -+-
=14m ∆=-0∆≤1
4
m ≥
'()0f x ≤()f x (,1)-∞0∆>14
m <2
0x x m -+=112x =212x +=1
04
m <<
121x x <<
∴时，，单调递减；
时，，单调递增；
时，，单调递减；·······················3分
若，则，
∴时，，单调递减；
时，，单调递增；·················4分
综上所述：时，的单调递减区间为， 单调递增区间为； 时，的单调递减区间为，， 单调递增区间为； 时，的单调递减区间为．····················5分 （2）因为函数定义域为，且， ∵函数存在两个极值点，∴在上有两个不等实根，，
记，则∴， 从而由···························6分
且，可得，，·····················7分
∴， 1(,)x x ∈-∞'()0f x <()f x 12(,)x x x ∈'()0f x >()f x 2(,1)x x ∈'()0f x <()f x 0m ≤121x x <≤1(,)x x ∈-∞'()0f x <()f x 11(,1)x x ∈'()0f x >()f x 0m ≤()f
x (
-∞1
04
m <<
()f
x (
-∞
11(
22
+1
4
m ≥
()f x (,1)-∞()f x (,1)-∞2'()11m x x m
f x x x x
-+-=-=--()f x '()0f x =(,1)-∞1x 2x 2
()g x x x m =-+-140,
11,2(1)
(1)0,
m g ⎧∆=->⎪
⎪-
<⎨⨯-⎪⎪<⎩104m <<12121,,
x x x x m +=⎧⎨
=⎩12x x <11(0,)2
x ∈21(,1)2
x ∈2
2111122221ln(1)
()12ln(1)2x m x f x x m x x x x x +-==⨯+-211111
ln(1)2(1)
x x x x =⨯+--
构造函数，，·····················8分 则， 记，，·····················9分 则()
2331
'()1x x p x x -+-=-，令，得（，故舍去）， ∴在上单调递减，在上单调递增，·············10分 又，，∴当时，恒有，即， ∴在上单调递减，·········································11分 ∴，即
， ∴．·················································12分 （二）选考题：共10分，考生在第22、23题中任选一题作答。

22.（本小题满分10分）
【解析】（1）由题意得点
的直角坐标为)
，………1分 将点代入
得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩，………2分 则直线l 的普通方程为. ………3分 由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，又由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，………4分
可得. 故曲线C 的直角坐标方程为.……5分
（2）设直线DE 的参数方程为，………6分 代入得． ………7分
设D 对应参数为，E 对应参数为．
2()ln(1)2(1)x x x x x ϕ=+--1(0,)2
x ∈22
222'()ln(1)ln(1)2(1)12(1)
x x x x x x x x x x ϕ-=+--=+----22()ln(1)2(1)x p x x x =+--1(0,)2
x ∈'()0p x
=01(0,)2x =
12x =>()p x 0(0,)x 01(,)2x (0)0p =1
1()ln 2022p =-<1(0,)2
x ∈()0p x <'()0x ϕ<()x ϕ1(0,)21()()(0)2x ϕϕϕ<<11ln 2()042x ϕ-<<12
()11ln 2042f x x -<<A
A 4x at y ⎧=⎪⎨=+⎪
⎩2y =
-24y x =24y x
=2(t )12
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数24y x
=20t +-=1t 2t
则
.………8分 ．………10分
23. （本小题满分10分）
【解析】（1）原不等式等价于
或或，………3分 解得8x ≤-或∅或2x ≥，………4分
综上所述，不等式的解集为(][),82,-∞-+∞U .………5分
（2）当1m =-时，则()|22|5|1|3|1|5g x x x x =+-++=+- ，
此时()g x 的图象与轴围成一个三角形，满足题意; ………6分
当1m >-时， ，………7分 则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增. 要使函数()g x 的图象与轴围成一个三角形，则，………8分
解得；………9分 综上所述，实数的取值范围为.………10分
12t t +=-12t t =-120,0t t ><1212121211111112
t t PD PE t t t t t t +-=-=+==12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩
()1f x x ≥-x 371()2253
133x m x g x x x m x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+-+-=+--<≤⎨⎪-->⎩
x (1)40()230
g m g m m -=-<⎧⎨=-≥⎩342
m ≤<m {}3
,412⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U。