山西省大同一中最新-最新学年八年级(上)期中数学试卷(解析版) 【完整版】

最新-最新学年山西省大同一中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（）
A．两点之间的线段最短B．三角形具有稳定性
C．长方形是轴对称图形D．长方形的四个角都是直角
3．已知三角形三边长分别为2，2x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）
A．2 B．3 C．5 D．13
4．下列说法中，正确的是（）
A．两个全等三角形一定关于某直线对称
B．等边三角形的高、中线、角平分线都是它的对称轴
C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．关于某直线对称的两个图形是全等形
5．在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）
A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定6．如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是（）
A．∠A=∠D B．∠ABD=∠DCA C．∠ACB=∠DBC D．∠ABC=∠DCB
7．如图，△ABC≌△EFD，AB=EF，AE=15，CD=3，则AC=（）
A．5 B．6 C．9 D．12
8．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
9．如果A（1﹣a，b+1）关于y轴的对称点在第三象限，那么点B（1﹣a，b）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为（）
A．3 B．3.5 C．4 D．
二、填空题
11．已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|
的结果是．
12．已知在△ABC中，∠A=40°，∠B﹣∠C=40°，则∠B= ，∠C= ．
13．如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形的一个顶点有条对角线．
14．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD边折叠△CBD，使点B 恰好落在AC边上的点E处，若∠A=22°，则∠BDC等于°．
15．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD=25，DE=17，则BE= ．
16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．
17．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），作△BOC，使△BOC与△ABO全等，则点C坐标为．
=25，∠BAC的平分线18．如图，在锐角△ABC中，AC=10，S
△ABC
交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．
三、作图题（19题6分，20题8分）
19．尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的
位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P 到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．
20．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6），B（5，2），C （2，1），
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标．
（2）求△ABC的面积．
四、简答题（共32分）
21．等腰三角形的周长是18，若一边长为4，求其它两边长
22．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．证明：△ADB≌△EBC．
23．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：
（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
24．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
最新-最新学年山西省大同一中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（）
A．两点之间的线段最短B．三角形具有稳定性
C．长方形是轴对称图形D．长方形的四个角都是直角
【考点】三角形的稳定性．
【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．
故选B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
3．已知三角形三边长分别为2，2x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）
A．2 B．3 C．5 D．13
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形三边的关系，可得答案．
【解答】解：由题意，得
13﹣2＜2x＜13+2，
解得11＜2x＜15，
解得x=6，x=7，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形三边的关系，利用三边的关系得出不等式是解题关键．
4．下列说法中，正确的是（）
A．两个全等三角形一定关于某直线对称
B．等边三角形的高、中线、角平分线都是它的对称轴
C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．关于某直线对称的两个图形是全等形
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据轴对称的性质，等边三角形的轴对称性对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、两个全等三角形一定关于某直线对称错误，故本选项错误；
B、应为等边三角形的高、中线、角平分线所在的直线都是它的对称轴，故本选项错误；
C、应为两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧或直线与两图形相交，故本选项错误；
D、关于某直线对称的两个图形是全等形正确，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了轴对称的性质，成轴对称的两个图形既要考虑形状和大小，还要考虑位置．
5．在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）
A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质．
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD ≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB．
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，
即2＜2AD＜14，
1＜AD＜7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．
6．如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是（）
A．∠A=∠D B．∠ABD=∠DCA C．∠ACB=∠DBC D．∠ABC=∠DCB
【考点】全等三角形的判定．
【分析】由已知AC=DB，且BC=CB，故可增加一组边相等，即AB=DC，可增加∠ACB=∠DBC，可得出答案．
【解答】解：由已知AC=DB，且AC=CA，故可增加一组边相等，即AB=DC，
也可增加一组角相等，但这组角必须是AC和BC、DB和CB的夹角，
即∠ACB=∠DBC，
故选C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握SSS、SAS、ASA、AAS和HL这几种全等三角形的判定方法是解题的关键．
7．如图，△ABC≌△EFD，AB=EF，AE=15，CD=3，则AC=（）
A．5 B．6 C．9 D．12
【考点】全等三角形的性质．
【分析】根据全等三角形的性质求出AC=DE，求出AD=CE，即可求出AD，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△EFD，
∴AC=DE，
∴AC﹣CD=DE﹣CD，
∴AD=CE，
∵AD+CD+CE=AE，AE=15，CD=3，
∴AD=CE=6，
∴AC=6+3=9，
故选C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质求出AC=DE是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
8．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；
D、能确定C正确，故错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的高，用到的知识点是钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高所在的直线的交点是三角形的直角顶点．
9．如果A（1﹣a，b+1）关于y轴的对称点在第三象限，那么点B（1﹣a，b）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：A（1﹣a，b+1）关于y轴的对称点在第三象限，得
（1﹣a，b+1）在第四象限，
1﹣a＞0，b+1＜0，
1﹣a＞0，b＜﹣1，
（1﹣a，b）在第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了关于y对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD=6，则CP的长为（）
A．3 B．3.5 C．4 D．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【分析】由题意推出BD=AD，然后，在Rt△BCD中，CP=BD，即可推出CP的长度．
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠DBA=30°，
∴BD=AD，
∵AD=6，
∴BD=6，
∵P点是BD的中点，
∴CP=BD=3．
故选A．
【点评】本题主要考查角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、折角三角形斜边上的中线的性质，关键在于根据已知推出BD=AD，求出BD的长度．
二、填空题
11．已知△ABC的三边长a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是2（b﹣c）．
【考点】三角形三边关系；绝对值；整式的加减．
【分析】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴a+b＞c，b﹣a＜c，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|=a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）=a+b﹣c+b﹣a﹣c=2（b﹣c）；
故答案为：2（b﹣c）
【点评】此题考查了三角形三边关系，用到的知识点是三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c与，b﹣a﹣c的符号．
12．已知在△ABC中，∠A=40°，∠B﹣∠C=40°，则∠B= 90°，∠C= 50°．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C=140°，和∠B﹣∠C=40°组成方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：∵∠A=40°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠A=140°①，
∵∠B﹣∠C=40°②，
①+②得：2∠B=180°，
∴∠B=90°，
①﹣②得：2∠C=100°，
∴∠C=50°，
故答案为：90°；50°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解二元一次方程组的应用，注意：三角形的内角和等于180°．
13．如果一个多边形的内角和为1260°，那么这个多边形的一个顶点有 6 条对角线．
【考点】多边形内角与外角；多边形的对角线．
【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【解答】解：设此多边形的边数为x，由题意得：
（x﹣2）×180=1260，
解得；x=9，
从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9﹣3=6，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n﹣2）．
14．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD边折叠△CBD，使点B 恰好落在AC边上的点E处，若∠A=22°，则∠BDC等于67 °．
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理．
【分析】由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，可求得∠B的度数，由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，由三
角形外角的性质，可求得∠ADE的度数，继而求得答案．
【解答】解：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，
∴∠B=90°﹣∠A=68°，
由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，
∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46°，
∴∠BDC==67°．
故答案为：67°
【点评】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
15．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD=25，DE=17，则BE= 8 ．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】可先证明△BCE≌△CAD，可求得CE=AD，结合条件可求得CD，则可求得BE．
【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
又∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
在△CBE和△ACD中，，
∴△CBE≌△ACD（AAS），
∴BE=CD，CE=AD=25，
∵DE=17，
∴CD=CE﹣DE=AD﹣DE=25﹣17=8，
∴BE=CD=8；
故答案为：8．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是110°或70°．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．
【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣20°=70°．
故答案为：110°或70°．
【点评】考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
17．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），作△BOC，使△BOC与△ABO全等，则点C坐标为（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4）．
【考点】坐标与图形性质；全等三角形的性质．
【分析】分点C在x轴负半轴上和点C在第一象限，第二象限三种情况，利用全等三角形对应边相等解答．
【解答】解：如图，点C在x轴负半轴上时，∵△BOC与△ABO 全等，
∴OC=OA=2，
∴点C（﹣2，0），
点C在第一象限时，∵△BOC与△ABO全等，
∴BC=OA=2，OB=BO=4，
∴点C（2，4），
点C在第二象限时，∵△BOC与△ABO全等，
∴BC=OA=2，OB=BO=4，
∴点C（﹣2，4）；
综上所述，点C的坐标为（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4）．故答案为：（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，难点在于根据点C的位置分情况讨论．
18．如图，在锐角△ABC中，AC=10，S
=25，∠BAC的平分线
△ABC
交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 5 ．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】根据AD是∠BAC的平分线确定出点B关于AD的对称点B′在AC上，根据垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD 于M，根据轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，利用三角形的面积求出BE，再根据等腰三角形两腰上的高相等可得B′N=BE，从而得解．
【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，
∴点B关于AD的对称点B′在AC上，
过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，
过点B作BE⊥AC于E，
∵AC=10，S
=25，
△ABC
∴×10•BE=25，
解得BE=5，
∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，
∴AB=AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，
∴B′N=BE=5，
即BM+MN的最小值是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形两腰上的高相等的性质，熟练掌握各性质并准确确定出点M的位置是解题的关键．
三、作图题（19题6分，20题8分）
19．尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P 到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】到AB、BC距离相等的点在∠ABC的平分线上，到点A、D的距离相等的点在线段AD的垂直平分线上，AD的中垂线与∠B 的平分线的交点即为点P的位置．
【解答】解：如图所示：点P即为所求．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题关键．
20．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6），B（5，2），C （2，1），
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标．
（2）求△ABC的面积．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接，并写出A′，B′，C′的坐标；
（2）用△ABC所在的矩形的面积减去三个小三角形的面积即可求解．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
A′（﹣4，6），B′（﹣5，2），C′（﹣2，1）；
（2）S
=3×5﹣×1×3﹣×1×4﹣×2×5
△ABC
=．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
四、简答题（共32分）
21．等腰三角形的周长是18，若一边长为4，求其它两边长
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】由等腰三角形的周长为18，三角形的一边长4，分别从4是底边长与4为腰长去分析求解即可求得答案．
【解答】解：若底边长为4，设腰长为x，则x+x+4=18，解得：x=7
若腰长为4，设底边为y，则y+4+4=18，解得：y=10
而4+4＜10，不能构成三角形，舍去，
所以这个等腰三角形的另外两边长为7，7．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用．
22．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．证明：△ADB≌△EBC．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】利用平行线的性质得出∠ADB=∠CBE，进而利用等腰三角形的性质得出BD=BC，再利用SAS得出△ADB≌△EBC．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBE，
∵∠BDC=∠BCD，
∴BD=BC，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（SAS）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
23．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：
（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF=EB；
（2）利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AB进行转化．
【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．
∴CF=EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE．
在△ADC与△ADE中，
，
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE，是解答本题的关键．
24．如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
【考点】几何变换综合题；平行线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；多边形内角与外角．
【专题】几何综合题；压轴题．
【分析】（1）由EN∥AD和点M为DE的中点可以证到△ADM≌△NEM，从而证到M为AN的中点．
（2）易证AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，从而可以证到△ABC ≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN 为等腰直角三角形．
（3）延长AB交NE于点F，易得△ADM≌△NEM，根据四边形BCEF 内角和，可得∠ABC=∠FEC，从而可以证到△ABC≌△NEC，进而可以证到AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，则有△ACN为等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：如图1，
∵EN∥AD，
∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM．
∵点M为DE的中点，
∴DM=EM．
∴．
∴△ADM≌△NEM．
∴AM=MN．
∴M为AN的中点．
（2）证明：如图2，
∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°．∵AD∥NE，
∴∠DAE+∠NEA=180°．
∵∠DAE=90°，
∴∠NEA=90°．
∴∠NEC=135°．
∵A，B，E三点在同一直线上，
∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°．
∴∠ABC=∠NEC．
∵△ADM≌△NEM（已证），
∴AD=NE．
∵AD=AB，
∴AB=NE．
∴△ABC≌△NEC．
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．
∴∠ACN=∠BCE=90°．
∴△ACN为等腰直角三角形．
（3）△ACN仍为等腰直角三角形．
证明：如图3，延长AB交NE于点F，∵AD∥NE，M为中点，
∴易得△ADM≌△NEM，
∴AD=NE．
∵AD=AB，
∴AB=NE．
∵AD∥NE，
∴AF⊥NE，
在四边形BCEF中，
∵∠BCE=∠BFE=90°
∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°∵∠FBC+∠ABC=180°
∴∠ABC=∠FEC
∴△ABC≌△NEC．
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．
∴∠ACN=∠BCE=90°．
∴△ACN为等腰直角三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，是一道好题．。