2011届山东高考理科数学仿真模拟押题卷4

2011届高考数学仿真押题卷——山东卷（理4）
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A ＝{|}x x a <，B ＝{x |24x
>}，且A ⊆(∁R B )，则实数a 的取值范围是 A ．a ≤1 B ．a <1 C ．a <2 D ．2a ≤ 2. 下列说法正确的是 A ．“a b <”是“2
2
bm am <”的充要条件
B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是“32,10x x x ∃∈--≤R ”
C ．“若,a b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是“若a b +不是偶数，则,a b 不都是奇数”
D ．若p q ∧为假命题,则p ,q 均为假命题
3. 设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,
A ．150° B.120° C.60° D.30° 4. 函数a ax x f 213)(-+=，在区间)1,1(-上存在一个零点，则a 的取值范围是
A ．5
11<
<-a B ．5
1>
a C ．5
1
>
a 或1-<a D ．1-<a
A. B.6. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的
数字为
A. 4
B. 5
C.6
D.7
7. 设,2.0log ,3.0,)
2
1(3.05.05
.0===c b a 则c b a 、、的大小关系是 A ．c b a >> B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a <<
8.已知()y f x =为奇函数,当(0,2)x ∈时,
1
()ln ()2
f x x ax a =-≥,当(2,0)x ∈- 时,()f x 的最小值为1,则a 的值等于 A.
12 B. 1 C. 3
2
D.2
9. 表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A
．
3 B ．13π C ．23π D
．
3
10．定义在区间[0,]a 上的函数f(x)的图象如右下图所示，记以(0,(0))A f ,(,())B a f a ,
(,())C
x f x 为顶点的三角形的面积为()S x ，则函数()S x 的导函数/()S x 的图象大致是
11. 已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 为双曲线22
2
21(0,0)x y a b a
b
-=>>的一个焦
点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为
A. 1
B.1112. 设x 、y 满足约束条件2044000
x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩
，若目标函数z ax by =+(0,0)a b >>的最大
值为6，则12
()a b
+的最小值为
A. 1
2
B. 3
C. 2
D.4
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13. 不等式11x x --<的解集是 .
14. 已知a ,b ,c 成等差数列，则直线0ax by c -+=被曲线22220x y x y +--=截得的弦长的最小值为_______.
15. 对某学校n 名学生的体重进行统计，得到频率分布直方图如图所示，则体重在75kg 以上的学生人数为64人，则n =_______. 16．一个三角形数阵如下： 1
2 22 32 42 52
62
72 82 92
……
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为________．
三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，向量(,2)
m b a c =-
，(cos ,cos )n B C =
，且//m n .
（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）设()cos(
)sin (0)2
B
f x x x ωωω=-+>，且()f x 的最小正周期为π，求()
f x 在区间[0,
]2
π
上的最大值和最小值.
18．(本小题满分12分)
已知各项都不相等的等差数列{}n a 的前6项和为60，且6a 为1a 和21a 的等比中项. ( I ) 求数列{}n a 的通项公式；
19．(本小题满分12分)
在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是
23
． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；
（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？
20．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠
ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 为PC 上一点，
PA =PD =2，BC =
1
2
AD =1，CD （Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）若二面角M-BQ-C 为30°，设PM =t MC ，试确定t 的值.
21．(本小题满分12分)
如图，已知直线l 与抛物线y x 42=相切于点P (2，1)，且与x 轴交于点A ，O 为坐标原点，定点B 的坐标为（2，0）.
（I ） 若动点M 满足0||2=+⋅AM BM AB ，求点M 的轨迹C ； （II ）若过点B 的直线l ′（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.
22．(本小题满分14分)
设函数()ln(f x x x =-
(Ⅰ) 讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若0x ≥时，恒有3(),f x ax ≤试求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）令62111()ln ()(),922
n n n a n ⎡=++∈⎢⎣*
N
试证明:1231
.3
n a a a a ++++<
参考答案
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.
DCBCD BCBAD BC
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13. {}
0x x > 14. 2 15.400 16．242
2n n -+
三、解答题:本大题共6小题，共74分. 17.(本小题满分12分)
解: （Ⅰ）由//m n
，得cos (2)cos ,b C a c B =-， ……………………2分 cos cos 2cos b C c B a B ∴+=由正弦定理，
得sin os sin cos 2sin cos Bc C C B A B += ………………………………4分
1sin()2in cos ,cos .23B C s A B B B π
+=∴=∴= …………………… 6分
（Ⅱ）
由题知3()cos()sin sin )626
f x x x x x x ππ
ωωωωω=-+=+=+，
由已知得2ππω=，2ω∴=
，())6
f x x π
=+ …………………………9分 当[0,2]x ∈时，71
2[,
],sin(2)[,1]66662
x x ππππ+∈+∈- ………………… 10分 所以，当6x π=时，()f x
2x π=时，()f x
的最大值为分
18．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d (0d ≠)，
则()()12
11161560,
205,a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ ………………2分 解得1
2,5,d a =⎧⎨=⎩
…………………4分
∴23n a n =+． ………………5分 （Ⅱ）由1n n n b b a +-=，
∴11n n n b b a ---=()
*
2,n n ≥∈N ， ………………6分
()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+
1211n n a a a b --=++++
()()()11432n n n n =--++=+．
∴()2n b n n =+()
*
n ∈N ． …………………8分
∴
()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
………………10分
111111123242n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭
()()
21311352212412n n n n n n +⎛⎫=--=
⎪++++⎝⎭．………………12分 19．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. ……………………2分
依条件可知X ~B (6，
2
3
). ……………………………… 3分 6621()33k
k
k P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =)
X
所以(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=4729
=. 或因为X ~B (6，23)，所以2
643
EX =⨯=. 即X 的数学期望为4． ……………5分
（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，
则2
2
4
1
5
6
441212232()()()()().33
333
81
P A C C =⨯⨯+⨯⨯+=
答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81
………………………………9分
（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ，
则24446
62
()5
A A P
B A ==. 即教师乙在这场比赛中获奖的概率为
2
5
.
显然
2323258081
=≠，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．
…………………12分
20．(本小题满分12分) 证明：（Ⅰ）∵AD // BC ，BC =
1
2
AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． ………………… 2分 ∵∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ． 又∵平面PAD ⊥平面ABCD
且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， …………………… 4分 ∴BQ ⊥平面PAD ． …………………… 5分 ∵BQ ⊂平面PQB ，
∴平面PQB ⊥平面PAD ． ………………… 6分 另证：AD // BC ，BC =
1
2
AD ，Q 为AD 的中点, ∴ BC // DQ 且BC = DQ ，
∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ． ∵ PA =PD ， ∴PQ ⊥AD ． ∵ PQ ∩BQ =Q ，∴AD ⊥平面PBQ ． ∵ AD ⊂平面PAD ，
∴平面PQB ⊥平面PAD ． （Ⅱ）∵PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ．
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ，
∴PQ ⊥平面ABCD ． ………………………… 8分 （不证明PQ ⊥平面ABCD 直接建系扣1分） 如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．
则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =
；
(0,0,0)Q
，P
，B
，(1C -．…11分
设(,,)M x y z ，
则(,,PM x y z =
，(1,)MC x y z =---
， ∵PM tMC = ，
∴
(1))(x t x y t y z t z =--⎧⎪
=⎨⎪
=-⎩）
，
∴
11t x t y t z ⎧=-⎪+⎪
⎪
=⎨+⎪⎪=⎪
⎩ ………… 10分
在平面MBQ 中
，(3,0)
QB =
，(1t QM t =-+ ，
∴ 平面MBQ
法向量为)m t =
． … 11分
∵二面角M-BQ-C 为30°，
cos30n m n m ︒
⋅===
∴ 3t =． ……………… 12分 21．(本小题满分12分) 解：（I ）由22
414x y y x =
=得，.2
1
x y ='∴∴直线l 的斜率为1|2='=x y ，………1分 故l 的方程为1-=x y ，∴点A 坐标为（1，0） ……………………………… 2分 设),(y x M 则),1(),,2(),0,1(y x y x -=-==， 由0||2=+⋅AM BM AB 得 .0)1(20)2(22=+-⋅+
⋅+-y x y x
整理，得.12
22
=+y x ……………………………………………………4分 ∴点M 的轨迹为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆 … 5分
（II ）如图，由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设l 方程为y=k (x －2)(k ≠0)①
将①代入12
22
=+y x ，整理，得 0)28(8)12(2222=-+⋅-+k x k x k ，
由△>0得0<k 2
<
2
1
. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=+.1228,12822
212221k k x x k k x x ② ………………………………………………………7分 令|||
|,BF BE S S OBF OBE ==
∆∆λλ则，由此可得.10,2
2,21<<--=⋅=λλλ且x x
由②知,1
24
)2()2(2
21+-=
-+-k x x 1212122
22)(2)2()4.21
x x x x x x k -⋅-=-++=
+（
22
222141,(1)8(1)2
k k λλλλ+∴==-
++即 …………………………10分
2214110,0,
332(1)22
01,
k λλλλ<<∴<-<-<<++<< 解得又
1223<<-∴λ.∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是（3－22，1）…12分.
22．(本小题满分14分
)。