2020高考数学二轮复习解答题规范练二[浙江]

解答题规范练(二)
1．已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2
x ＋1. (1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足f (B )＝2，a ＝8，c ＝5，求cos A 的值．
2.
如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD ＝AB ＝1，BC ＝ 2.
(1)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；
(2)设H 为CD 上一点，满足CH →＝2HD →
，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为63，求
二面角H ­PB ­C 的余弦值．
3．已知函数f (x )＝ln x
x
.
(1)若关于x 的不等式f (x )≤m 恒成立，求实数的m 最小值； (2)对任意的x 1，x 2∈(0，2)且x 1＜x 2，若存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f （x 2）－f （x 1）
x 2－x 1
，
求证：x 0＜x 1x 2.
已知抛物线C：y2＝4x上动点P(x1，y1)，点A在射线x－2y＋8＝0(y≥0)上，满足PA的中点Q在抛物线C上．
(1)若直线PA的斜率为1，求点P的坐标；
(2)若射线l上存在不同于A的另一点B，使得PB的中点也在抛物线C上，求|AB|的最大值．
5．已知数列{a n}的各项均为正数，且满足a21＋a22＋a23＋…＋a2n＝2n(n∈N*)．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若
a21
a2＋a1
＋
a22
a3＋a2
＋
a23
a4＋a3
＋…＋
a2n
a n＋1＋a n
>n－
2
2
(n∈N*，n≥2)恒成立，求n的取值范围．
解答题规范练(二)
1．解：(1)f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6， 由题意2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π
3，k ∈Z ，
所以f (x )的单调递增区间是
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．
(2)因为f (B )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝2，
所以B ＝π
3
，
所以b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝49， 解得b ＝7.
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
7
.
2．解：(1)证明：由AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝1，可得BD ＝ 2. 又BC ＝2，所以CD ＝2，所以BC ⊥BD . 因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ， 又PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD ， 所以平面PBD ⊥平面PBC .
(2)由(1)可知∠BPC 为PC 与平面PBD 所成的角， 所以tan ∠BPC ＝
63
， 所以PB ＝3，PD ＝1.
由CH →＝2HD →
及CD ＝2，可得CH ＝43，DH ＝23
.
以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．
则B (1，1，0)，P (0，0，1)，C (0，2，0)，H ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，23，0.设平面HPB 的法向量为n ＝(x 1，
y 1，z 1)，
则⎩⎪⎨⎪⎧HP →·n ＝0，
HB →·n ＝0，即⎩
⎪⎨⎪⎧－23y 1＋z 1＝0，x 1＋13
y 1＝0，
取y 1＝－3，则n ＝(1，－3，－2)． 设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·m ＝0，BC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－z 2＝0，
－x 2＋y 2＝0，
取x 2＝1，则m ＝(1，1，2)．
又cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－21
7
，
结合图形知，二面角H PB
C 的余弦值为
21
7
. 3．解：(1)由f ′(x )＝1－ln x
x
2
＝0解得x ＝e. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 所以f (x )max ＝f (e)＝1e
.
因为关于x 的不等式f (x )≤m 恒成立， 所以f (x )max ≤m ，
所以m ≥1e ，即m 的最小值为1
e
.
(2)证明：因为对任意的x 1，x 2∈(0，2)，若存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝
f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，即1－ln x 0x 20
＝f （x 2）－f （x 1）
x 2－x 1，
所以1－ln x 0x 2
(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]＝0. 令F (x )＝1－ln x x
2
(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]，则有F (x 0)＝0， 所以F ′(x )＝2ln x －3x
3
(x 2－x 1)，当x ∈(0，2)时，2ln x －3＜2ln 2－3＜0， 又有x 2－x 1＞0，所以F ′(x )＜0，即F (x )在(0，2)上是减函数． 又因为F (x 1x 2)＝
1－ln x 1x 2
x 1x 2
(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]＝
1－ln x 1x 2
x 1x 2
(x 2－x 1)－
⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x 2x 2－ln x 1x 1＝1x 1⎝
⎛⎭⎪⎫1＋ln x 1x 2－1x 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋ln x 2x 1，
令x 2x 1
＝t ＞1，所以F (x 1x 2)
＝1x 2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln t －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12ln t ， 设h (t )＝t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln t －⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12ln t ， 所以h ′(t )＝
t －t ln t －1
2t
，设k (t )＝t －t ln t －1，
所以k ′(t )＝－ln t ＜0(t ＞1)， 所以k (t )在(1，＋∞)上是减函数，
所以k (t )＜k (1)＝0.所以h ′(t )＜0，所以h (t )在(1，＋∞)上是减函数， 所以h (t )＜h (1)＝0.
所以F (x 1x 2)＝1
x 2
h (t )＜0＝F (x 0)，
因为F (x )在(0，2)上是减函数，所以x 0＜x 1x 2.
4．解：(1)设直线PA 的方程为y ＝x ＋b ，则A (8－2b ，8－b )．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b y 2＝4x 得y 2－4y ＋4b ＝0，所以 Δ＝16－16b ＞0，b ＜1，⎩
⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4y 1y 2＝4b ，
又y 1＋8－b ＝2y 2，解得
⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0y 1＝0y 2＝4或⎩⎪⎨⎪
⎧b ＝－24y 1＝－8y 2＝12
， 经检验都是方程的解， 所以P (0，0)或P (16，－8)．
(2)设A (2t 1－8，t 1)，B (2t 2－8，t 2)，t 1，t 2≥0.则由PA 的中点Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
1
8＋t 1－4，t 1＋y 12在
抛物线C 上，可得
⎝ ⎛⎭⎪⎫t 1＋y 122
＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
18＋t 1－4，
整理得
t 21＋(2y 1－16)t 1＋64－y 21＝0，
同理t 22＋(2y 1－16)t 2＋64－y 2
1＝0， 所以t 1，t 2是方程
t 2＋(2y 1－16)t ＋64－y 21＝0的两个不相等的非负根．
所以⎩⎪⎨⎪
⎧Δ＝（2y 1－16）2－4（64－y 2
1）＞0t 1＋t 2＝16－2y 1＞0t 1t 2＝64－y 21≥0
，
所以－8≤y 1＜0.
于是|AB |＝5|t 1－t 2|＝252y 2
1－16y 1≤325，当且仅当y 1＝－8时取等号． 所以|AB |的最大值为32 5.
5．解：(1)由题设a n >0，当n ＝1时，a 1＝2；当n ≥2时，a 2
n ＝2n －2
n －1
＝2
n －1
，所以a n
＝2n －12.又a 1＝2不满足a n ＝2n －1
2，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －12，n ≥2
.
(2)由(1)知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －12，n ≥2
，故a 2n
a n ＋1＋a n ＝2n －1
（2）n ＋（2）n －1
＝
2
n －1
（2）
n －1
·（2＋1）
＝(2－1)·2n －1
2(n ≥2)，记S n ＝
a 21a 2＋a 1
＋
a 22a 3＋a 2
＋
a 23a 4＋a 3
＋…＋
a 2n
a n ＋1＋a n
，
则当n ≥2时，S n ＝22＋(2－1)[2＋(2)2＋…＋(2)n －1
]＝22＋(2－1)·
2[1－（2）
n －1
]
1－2
＝2n
2－
2
2
， 故S n
＝⎩⎪⎨⎪⎧22，n ＝1
2n
2－2
2
，n ≥2.
当n ∈N *
，n ≥2时，要使得2n
2－
22>n －22
恒成立，即2n >n 2
恒成立． 由于当n ＝4时，2n ＝n 2，考察函数f (x )＝2x －x 2的单调性，易证当x >4时，函数f (x )＝2x －x 2单调递增，且x ＝4时，f (x )＝0，所以当n ≥5
的取值范围是n ≥5.
以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”
首先要做到以下两点：
1、先把教材上的知识点、理论看明白。

买本好点的参考书，做些练习。

如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。

做练习要对答案，最好把自己的错题记下来。

平时学习也是，看到有比较好的解题方法，或者自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来复习复习。

2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例，要能用自己的话解释概念（理解概念）
然后由概念开始进行独立推理活动，要能把课本的公式、定理自己推导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做的出来（依靠自己才是最可靠的力量）。

最后主动挑战问题（兴趣是最好的老师），要经常攻关一些问题。

（白天攻，晚上钻，梦中还惦着它）
其次，先看笔记后做作业。

有的高中学生感到。

老师讲过的，自己已经听得明明白白了。

但是，为什么自己一做题就困难重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。

因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。

能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。

尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。

如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

做题之后加强反思。

学生一定要明确，现在正坐着的题，一定不是考试的题目。

而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。

因此，要把自己做过的每道题加以反思。

总结一下自己的收获。

要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。

做到知识成片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

主动复习总结提高。

进行章节总结是非常重要的。

初中时是教师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。

高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结的时间。

积累资料随时整理。

要注意积累复习资料。

把课堂笔记，练习，单元测试，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。

每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。

这样，复习资料才能越读越精，一目了然。

精挑慎选课外读物。

初中学生学数学，如果不注意看课外读物，一般地说，不会有什么影响。

高中则不大相同。

高中数学考的是学生解决新题的能力。

作为一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水平有多高，必然都会存在着很大的局限性。

因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。

当然，也不要自立门户，另起炉灶。

一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，也必将事半功倍。

配合老师主动学习。

高中学生学习主动性要强。

小学生，常常是完成作业就尽情的欢乐。

初中生基本也是如此，听话的孩子就能学习
好。

高中则不然，作业虽多，但是只知道做作业就绝对不够；老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明，因此，高中学生必须提高自己的学习主动性。

准备向将来的大学生的学习方法过渡。

合理规划步步为营。

高中的学习是非常紧张的。

每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。

要想能迅速进步，就要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，详细的安排好自己的零星时间，注意事项
我们在学习高中数学的时候，除了上课认真听老师讲解外，学习方法，学习习惯也很重要，只要学生认真努力，数学成绩提高是很容易的。

数学的学习过程中千万不要有心理包袱和顾虑，任何学科也是一样，是一个慢慢学习和积累的过程。

但要记住的一点，这个过程我们是否能真正的学好初三数学课程（或者其他课程），除了以上的方法，我们最终的目的是：要养成一个良好的学习习惯，要培养出自己优质的学习兴趣，要掌握和形成一套自己的学习方法。