数学(北师大版)必修一教学设计：2-1生活中的变量关系 含答案

教学设计
§1生活中的变量关系
错误!
教学分析
在学生学习用集合语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系．生活中的变量关系一节，从高速公路的实例引入,“思考交流"则引导学生对类似的情境，如邮局、机场等进行思考并与同伴交流．安排了函数关系与非函数关系的对比．教学中一定要注意以人为本,要尊重学生，为了学生，调动学生参与到教学中．值得注意的是在本节的教学中,一定要给学生“留白”，即为学生留下必要的时间和空间让其自主地活动．当然,学生的数学活动必须以学生的思维为基础，可以是动手实践，也可以是平静的思考．思维，必须以学生独立的悟为前提,在独立思考的前提下，再强调必须与同伴的交流与合作；思维，必须以抓住知识的本质为目的,不能只求热闹．对教材中的“思考交流”应该组织学生进行讨论，不能一说而过．
三维目标
1．通过公路上的实际例子,引起积极的思考和交流,从而使学生认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．
2．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．培养学生广泛的联想能力，树立热爱数学的态度．
重点难点
区分生活中的变量关系是否为函数关系．
课时安排
1课时
错误!
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思路1。

现实世界中充满了变化，静止是相对的，运动是永恒的．我们的生活中存在着各种各样的变量关系，其中函数关系是描述这种变化的重要数学模型，也是数学的基本概念，函数思想是研究问题的重要数学思想之一．今天我们学习如何确定函数关系，教师引出课题．
思路2。

人的体重和身高是函数关系吗？小麦的亩产量与亩施肥量是函数关系吗？正方体的体积和棱长是函数关系吗？如何判断呢？这就是本节课学习的内容，教师引出课题．
推进新课
错误!
错误!
1说出初中所学函数定义?
2如何确定两个变量之间是函数关系？
讨论结果：(1）函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量,y是x的函数，y是因变量．
（2)定义法：当且仅当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且,y是x 的函数．
错误!
思路1
例1 我国自1998年开始建设高速公路，全国高速公路通车总里程，于1998年底，位居世界第八；1999年底,位居世界第四;2000年底，位居世界第三;2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位．（如下表）
1988—2001年全国高速公路总里程单位：千米
年份1988198919901991199219931994
总里程147271522574652
1
145
1
603
年份1995199619971998199920002001
图1
问：
（1）高速公路里程数是年度的函数吗？
（2)高速公路里程数与年度的变化有什么特点？
活动：学生回顾函数的定义及确定函数关系的方法，教师适当提示或点拨．
解：不难看出:
（1）高速公路里程数随年度的变化而变化．所以，高速公路里程数可以看成因变量，年度看成自变量，从而高速公路里程数是年度的函数．
(2)从1988年到2001年，里程数是不断增加的，其中从1999年到2000年增长得最快．
点评:本题主要考查函数的定义.
变式训练
一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，请指出哪些变量是时间的函数．
解:一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应．行驶路程(因变量）随时间(自变量)的变化而变化，故行驶路程是时间的函数．同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数.
例2 图2是某高速公路加油站的图片，加油站常用圆柱体储油罐储存汽油．储油罐的长度d、截面半径r是常量;油面高度h、油面宽度ω、储油量v是变量．这些变量中，请指出哪两个具有依赖关系，哪两个变量具有函数关系．
图2
活动：学生结合生活经验思考．教师可提示，也可介绍相关知识．
解：储油量v与油面高度h存在着依赖关系，储油量v与油面
宽度ω也存在着依赖关系．
并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量v和它对应，所以,储油量v是油面高度h的函数．而对于油面宽度ω的一个值可以有两种油面高度和它对应，于是可以有两种储油量v 和它对应，所以，储油量v不是油面宽度ω的函数．
点评：本题主要考查依赖关系和函数关系及其区别．由本题可见，函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系。

变式训练
1．进一步分析上述储油罐的问题，讨论:
(1）还有哪些常量？哪些变量？
（2)哪些变量之间存在依赖关系?
（3)哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？解：（1）常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等,变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；
（2)依赖关系有：储油量和油的体积，储油量和圆柱底面上的弓形面积,油的体积和油面宽度；
(3)储油量是油的体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油
量是圆柱底面上的弓形面积的函数，油的体积不是油面宽度的函数．2．请列举一些与公路交通有关的函数关系．
解：如修路中所花的费用和所修公路长度是函数关系等．
3．请思考在其他情境下存在的函数关系,例如邮局、机场等．
解：在邮局中，邮资是邮件重量的函数等．在机场，飞机票价是路程的函数等.
思路2
例1 在学校里你能发现哪些函数关系？
活动：仔细观察，联系学校中老师、学生、师生的生活、校内物品等．
解：（1)学生的学号是学生的函数；
（2)教学任务是老师的函数；
（3）学校的用电量是时间的函数,用水量也是时间的函数．
点评：本题考查观察能力及发现问题、分析问题的能力。

变式训练
1．已知集合A＝｛1,2,3，4,5｝,集合B＝{2，4,6,8}．集合A中的元素乘2。

若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，能形成函数吗？
答案：不能．因为A中的元素5的2倍为10,并没有在集合B中．
2．在矩形中，若面积值作为自变量,其中一边长为因变量，能形成函数吗？
答案：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．
3．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1。

5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？
答案：1。

5小时走的路程是20×1。

5＝30（千米）．设时间为t，路程为s，则s＝20t（t≥0）．
4．由下列式子是否能确定y是x的函数？
（1）x2＋y2＝2;
（2)错误!＋错误!＝1;
（3）y＝错误!＋错误!.
解:(1）由x2＋y2＝2,得y＝±错误!，因此由它不能确定y是x的函数；（2)由x－1＋错误!＝1,得y＝(1－错误!)2＋1，
所以当x在｛x｜x≥1}中任取一值时，
由它可以确定一个唯一的y与之对应,
故由它可以确定y是x的函数；
(3)由错误!得x∈ ，
故x无值可取，y不是x的函数.
例2 新华网北京2006年3月24日电：中国卫生部24日通报，
上海市确诊一例人感染高致病性禽流感病例，患者3月13日发病,后因病情加重,经抢救无效，于3月21日死亡．为了更好地对付禽流感病毒，某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中含药量y（毫克)与时间x(小时)之间近似满足图3所示的曲线关系．请根据图3中给出的变化曲线,试判断每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间是否构成函数关系．
图3
解:时间的变化范围是数集A＝{x|x≥0｝,每毫升血液中含药量y(毫克）的变化范围是数集B＝｛y|4≥y≥0｝，并且，对于数集A中的每一个时间x，按照图中的曲线，数集B中都有唯一确定的y与它相对应．
所以每毫升血液中含药量y（毫克)是时间x(小时)的函数．
点评：本题主要考查实际问题中的函数关系.
变式训练
从20世纪70年代开始，我国就致力于控制人口过快增长,并逐步制定和完善了严格控制人口增长的政策措施.2002年我国颁布了第
一部《人口与计划生育法》，将计划生育从一项基本国策上升为国家法律．根据国家统计局普查资料显示,我国人口再生产类型已经转入低生育、低死亡、低增长的发展阶段,进入了世界低生育水平国家行列.2005年底，我国总人口为13。

075 6亿人，约占世界人口的20。

12%.自实行计划生育以来,全国累计少生人口近3.1个亿．
图4
请根据图4中给出的我国人口出生率变化曲线，试判断我国人口出生率p和时间t（年）是否构成函数关系．
解：时间t的变化范围是数集A＝｛t｜t≥1950}，我国人口出生率p的变化范围是数集B＝｛p｜p≥0}，并且,对于数集A中的每一个时间t，按照图中的曲线,数集B中都有唯一确定的p与它相对应,所以我国人口的出生率p是时间t(年）的函数。

错误!
1．自由落体运动中,有哪几个常量，哪几个变量？这些变量之间有怎样的关系？
答案:常量有:自由落体的质量和重力加速度；
变量有:时间t 、速度v 和位移s ，其中，速度依赖时间变化，关
系是v ＝gt ;位移也依赖时间变化，关系是s ＝12
gt 2。

2．银行的存款利息表算不算函数？
答案:是函数关系．
错误!
思考:字母一定是变量吗?
探究：一般地，在研究一个问题的变化过程中，变量通常是一个字母，也就是说，只有字母才可以取不同的值来表示不同的量，那就是变量．但能否这样说，在变化过程中，字母就一定是变量呢?答案是否定的．
例如，我们所熟悉的二次函数y ＝ax 2（a ≠0)，它表示y 与x 之间存在依赖关系，这时，x 、y 都是变量,它表示的是y 关于x 的函数．虽然函数随着a 的变化而表示不同的函数，但它是二次项的系数，是一个常量．
如果把y ＝ax 2看作表示y 与a 只存在依赖关系，则y ＝ax 2＝x 2a 在x ≠0时是一个y 关于a 的一次函数，这里y ,a 是变量，x 是常量．
错误!
本节课学习了：用定义法判断变量之间的函数关系．
错误!
习题2—1 A 组1, 2.
错误!
本节课内容比较简单,在设计过程中，注重了与下节函数概念的联系．
错误!
［备选例题］
【例1】下表展示了我国从1998年到2002年每年的国内生产总值．
答案：是函数关系．
【例2】农业科学家研究玉米的生长过程，把生长过程分为32个时间段，通过实验得到了各时间段与植株高度之间的相关数据，如图5所示．
图5观察上图,植株高度是时间的函数吗?
答案:是函数关系．。