专题11 选修2-3综合练习(解析版)

专题11 选修2-3综合练习
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．小笼包在生活中非常常见，不同地方做出来的小笼包有不同的特色，无锡有一家商铺制作一种一笼有8个且是8种口味的小笼包，这8种口味分别为蟹粉味、鹅肝味、墨鱼味、芝士味、麻辣味，蒜香味、人参味，酱香味，将这样的一笼小包取出，排成一排，则人参味小笼包既与蟹粉味小包相邻又与墨鱼味小笼包相邻的概率为( )。

A 、281
B 、161
C 、8
1 D 、
7
2 【答案】A
【解析】将这8种口味的小笼包排成一排有8
8A 种排法，
人参味小笼包既与蟹粉味小包相邻又与墨鱼味小笼包相邻有6
6
22A A ⋅种排法， 故所求概率为，故选A 。

2．组数1a 、2a 、3a 、…、n a 的平均数是x ，方差是2s ，则另一组数121-a 、122-a 、123-a 、…、
12-n a 的平均数和方差分别是( )。

A 、12-x ，2s
B 、12-x ，22s
C 、x 2，2s
D 、12-x ，12222++s s 【答案】C
【解析】由题意可知，x a E n =)(，2)(s a D n =，+∈N n ，
根据数学期望与方差的公式得：121)(2)12(-=-=-x a E a E n n ，
222)()2()12(s a D a D n n ==-，故选C 。

3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图。

“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中一定错误的是( )。

注：“90后”＂指19991990-年之间出生的人。

“80后”指19891980-年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人。

A 、互联网行业从业人员中“90后＂占一半以上
B 、互联网行业中从事技术岗位的“90后”人数超过总人数的%20
C 、互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多
D 、互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多 【答案】D
【解析】由饼状图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的%56，超过一半，A 对，
互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的%176.22%6.39%56=⨯， 超过总人数的%20，B 对，
互联网行业从业人员中“90后“从事运营岗位的人数占总人数的%52.9%17%56=⨯， 超过“80前”的%3，C 对，
互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的%176.22%6.39%56=⨯， 少于“80后”的%41，但不知道“80后”中从事技术位的有多少人， D 不一定对， 故选D 。

4．若n x x )23(65-⋅的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数n 的取值为( )。

A 、4
B 、6或8
C 、7或8
D 、8 【答案】B
【解析】将二项式变形为，
又二项式n x x )23(35-的通项公式为r n r r n r
n r r r n r n r n x C x x C 253)(5)2(3)2(3----⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅，
设其有理项为第1+r 项，则x 的乘方指数为，依题意为整数， 由于r 2为偶数，故n 为偶数，且r n 2-为6的整数倍， 注意到，对照选择项知4=n 、6、8， 逐一检验：4=n 时，2=r ，
6=n 时，0=r 、3、6， 8=n 时，1=r 、4、7，
依题意，故选B 。

5．某校欲从高三年级学生编排的4个歌舞节目和2个小品节目中随机选出3个节目，参加学校举行的”迎新春”文艺汇演，则所选的3个节目中至少有1个是小品节目的概率为( )。

A 、51
B 、5
2 C 、5
3 D 、
5
4 【答案】D
【解析】从6个节目中任选3个共有203
6=C 种选法，
至少含有1个小品节目的共有161
4222412=⋅+⋅C C C C 种选法，
故所选的3个节目中至少有1个是小品节目的概率为，故选D 。

6．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种。

现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果三位同学对选取的礼物都满意，则选法有( )。

A 、50种
B 、60种
C 、90种
D 、180种 【答案】A
【解析】①若甲同学选择牛，则乙同学有2种选择，丙同学有10种选择，选法种数为20102=⨯，
②若甲同学选择马，则乙同学有3种选择，丙同学有10种选择，选法种数为30103=⨯， 综上，总共有503020=+种选法，故选A 。

7．154321)(x x x x +++的展开式的项数为( )。

A 、4
15C B 、415A C 、44
415A A ⋅ D 、154 【答案】D
【解析】从15个因式)(4321x x x x +++中，每一次都要选一个1x 、2x 、3x 、4x 相乘，
∴154321)(x x x x +++展开式中共有154项，故选D 。

8．一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、3、4、5、6，从中不放
回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S 。

在已知S 为偶数的情况下，S 能被3整除的概率为( )。

A 、41
B 、3
1 C 、125 D 、
3
2 【答案】B
【解析】记“S 能被3整除”为事件A ，“S 为偶数”为事件B ，
事件AB 包括的基本事件有}51{，
、}42{，， 事件B 包括的基本事件的个数为62
323=+C C ，
则262)(C AB P =
、2
6
6)(C B P =，则31
)()()|(==B P AB P B A P ，故选B 。

9．若9922109)1()1()1()2(+⋅+⋅⋅⋅++⋅++⋅+=++x a x a x a a m x ，且29312820)()(a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++ ，则实数m 的值为( )。

A 、或0
B 、或1
C 、1-或1
D 、3或0 【答案】B
【解析】令0=x ，得到99210)2(m a a a a +=+⋅⋅⋅+++，
令2-=x ，得到99210m a a a a =-⋅⋅⋅-+-，
∴9993)2(=⋅+m m ，即322=+m m ，0322=-+m m ，解得3-=m 或1=m ，故选B 。

10．将4男、4女共8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是( )。

A 、4位女同学分到同一组的概率为
701
B 、男生甲和女生乙分到甲组的概率为
14
3 C 、有且只有3位女同学分到同一组的概率为35
32 D 、4位男同学不同时分到甲组的概率为35
34 【答案】B
【解析】8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为704
448=⋅C C ，
A 选项，4位女同学分到同一组的不同分法只有2种，其概率为，错，
B 选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为154
426=⋅C C ，其概率为，对， C 选项，有且只有3位女同学分到同一组3221434=⋅⋅C C 种，
则有且只有3位女同学分到同一组的概率为，错，
D 选项，4位男同学同时分到甲组只有1种，其概率为
70
1
， 则4位男同学不同时分到甲组的概率为，错，
故选B 。

11．如果某射击选手每次射击击中目标的概率为7.0，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是( )。

A 、10
B 、11
C 、10或11
D 、12 【答案】B
【解析】假设最可能击中目标的次数为k ，
根据某射手每次射击击中目标的概率为7.0，每次射击的结果相互独立，
则他击中k 次的概率为k k k
C -⋅⋅15153.07.0，
再由，求得2.112.10≤≤k ，
再根据击中目标次数为正整数，可得击中目标次数为11，故选B 。

12．如图为33⨯的网格图，甲、乙两人均从A 出发去B 地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到达任何一个位置(网格交点处)时向右走过的格数不少于向上走过的格数，记甲、乙两人所走路径的条数分别为M 、N ，则N M -的值为( )。

A 、10
B 、14
C 、15
D 、16 【答案】C
【解析】由题意得从A 到B 需要走6格，向上、向右分别走3格，
因此甲只需在6次选择中3次选择向右走，剩下的3次选择向上走即可，
∴203336=⋅=C C M ，乙只能在对角线AB 下方(包括AB )走，
∴乙的走法的所有可能情况为：
(右上右上右上)，(右上右右上上)，(右右上上右上)，(右右上右上上)，(右右右上上上)， 即5=N ，则15=-N M ，故选C 。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若多项式10109910102)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++=+x a x a x a a x x ，则=9a 。

【答案】10-
【解析】10x 的系数为10a ，∴110=a ，9x 的系数为109
109a C a ⋅+，∴0109=+a ，∴109-=a 。

14．王老师驾车从家到学校上班所需的时间X (单位：min )服从正态分布)2520(，
N ，则王老师从家到学校所需时间在]3530(，内的概率为 。

(若)(~2σμ，N X ，则6827.0)(=σ+μ≤<σ-μX P ，≤<σ-μZ P 2(
，)。

【答案】0214.0
【解析】由已知得20=μ、5=σ，则302=σ+μ、353=σ+μ，
∵、，
∴9545.0)3010(=≤<Z P 、9973.0)355(=≤<Z P ， ∴0214.02
9545
.09973.0)3530(=-=
≤<Z P 。

15．将编号为1、2、3、4、5、6的六个小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是 。

【答案】40
【解析】(1)六个小球中选出三个小球放入与自己相同序号的盒子中，先选后排：
先选：组合有3
6C 种方法，后排：排列只有1种方法， 则利用分类乘法计数原理得有20136=⨯C 种方法；
(2)剩下三个小球放入与自己不相同序号的盒子中，先选后排：
先选：组合有33C 种方法，排列：错位排有2种方法)， 则利用分类乘法计数原理得有2133=⨯C 种方法；
(3)最后(1)(2)都不能单独完成任务，则利用分类乘法计数原理得共有40220=⨯种方法。

16．随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”。

现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为 。

【答案】
72
5 【解析】每轮测试中有2家公司排名不变的概率为，
因而3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为72
5
65)61
(22
3=⨯
⨯C 。

三、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注。

某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100
人根据其满意度评分值(百分制)按照、)7060[，、、、]10090[，
分成5组，制成如图所示的频率分布直方图。

(1)求图中x 的值。

(2)已知满意度评分值在]10090[，
内的男生数与女生数的比为12：，若在满意度评分值为]10090[，的人中随机抽取4人进行座谈，设其中的女生人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望。

【解析】(1)由110)030.0035.0021.0005.0(=⨯++++x ，解得009.0=x ； 2分
(2)满意度评分值在]10090[，
内有910009.0100=⨯⨯人，其中男生6人，女生3人， 3分 则X 的值可以为0、1、2、3，
∴，2110
12660)1(4
9
3
613==⋅==C C C X P ， 14512645)2(492623==⋅==C C C X P ，211
1266)3(4
9
1
633==⋅==C C C X P ， 7分 则X 分布列如下：
X 0
1
2 3 P
425 2110 14
5 211
∴X 的期望。

18．（12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名五年级学生进行了问卷调查得到如下列联表(平均每天喝mL 500以上为常喝，体重超过kg 50为肥胖)：
常喝 不常喝 总计
肥胖 2
不肥胖 18
总计
30 已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为15。

(1)请将上面的列联表补充完整。

(2)是否在犯错误概率不超过005.0的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由。

(3)若常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，设正好抽到的女生为X 名，求随机变量X 的分布列与期望。

参考数据：
(参考公式：【解析】(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，则，解得6=x ， 1分
填表如下：
3分 (2)因此在犯错误概率不超过005.0的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关； 7分 (3)依题意，常喝碳酸饮料的肥胖者男生有4名，女生有2名， 随机变量X 的取值分别为0、1、2，
∴5
2
)0(2
62
402=⋅==C C C X P ，158)1(261412=⋅==C C C X P ，151)2(26
0422=⋅==C C C X P ， 10分 则随机变量X 的分布列为：
因此随机变量X 的期望3
2
1512151150)(=⨯+⨯+⨯=X E 。

12分
19．（12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自已去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏。

(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
(3)用X 、Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量ξ的分布列和数学期望。

【解析】依题意，这4个人中，每一个去参加甲游戏的概率为
31
，去参加乙游戏的概率为3
2， 1分 设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件i A (0=i 、1、2、3、4)，
则i i i
i C A P -⋅⋅=44)3
2()31
()(， 2分
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为27
8
)32()31
()(222
42=
⋅⋅=C A P ； 4分 (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ， 则43A A B =，∵3A 、4A 互斥，
∴9
1
)31()32()31
()()()(44
433443=
⋅+⋅⋅=+=C C A P A P B P ， 6分 ∴这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为
9
1， 7分 (3)ξ的所有肯能取值为0、2、4，∵1A 、3A 互斥，0A 、4A 互斥， 8分 ∴27
8)()0(2=
==ξA P P ，8140)()()2(31=+==ξA P A P P ，
81
17
)()()4(40=
+==ξA P A P P ， 10分 ∴ξ的分布列为：
∴ξ的数学期望为81
148
814812270)(=
⨯+⨯+⨯=ξE 。

12分 20．（12分）某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出着十根对其直径(单位：mm )进行测量，得出
这批钢管的直径X 服从正态分布)84.465(，
N 。

(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为mm 73，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
(2)如果钢管的直径X 满足mm mm 4.696.60-为合格品(合格品的概率精确到01.0)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y 的分布列和数学期望。

(参考数据：若)(~2σμ，N X ，则6826.0)(=σ+μ≤<σ-μX P ，，≤<σ-μX P 3(9974.0)3=σ+μ)。

【解析】(1)∵65=μ、2.2=σ、4.583=σ-μ、6.713=σ+μ，且6.7173>， 1分
∴0013.02
9974
.012)6.714.58(1)6.71()73(=-=≤<-=
><=X P X P X P ，
3分 ∴此事件为小概率事件，∴该质检员的决定有道理； 4分 (2)∵65=μ、2.2=σ、6.602=σ-μ、4.692=σ+μ，
由题意可知钢管直径满足：σ+μ≤<σ-μ22X 为合格品， 5分 故试钢管为合格品的概率的为95.0，60根管中，合格品57根，次品3根， 6分 任意挑选3根，则次品数Y 的可能取值为：0、1、2、3，
，85551197
)1(3
60
2
5713=⋅==C C C Y P ，
34220171)2(36015723=⋅==C C C Y P ，342201
)3(3
60
05733=⋅==C C C Y P ， 10分 则次品数Y 的分布列为：
则次品数Y 21．（12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验、某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：
(1)码x 之间的关系；
(2)求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年2月份的市场占有率；
(3)根据调研数据，
公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A 、B 两款车型报废年限各不相同，考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：
假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据、如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？
参考数据：5.17)(6
1
2=-∑=i i x x ，35)()(6
1
=--∑=y y x x i i i ，5.361330≈。

参考公式：相关系数∑∑∑===----=
n
i i n
i i n
i i i y y x x y y x x r 1
2
1
21)
()()
)((；
回归直线方程为a x b y
ˆˆˆ+=，其中∑∑==---=n
i i n
i i i x x y y x x b 1
2
1
)()
)((ˆ，x b y a
ˆˆ-=。

【解析】(1)散点图如图所示， 1分
，∴， 3分
∴， 4分
∴两变量之间具有较强的线性相关关系，
故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系； 5分
(2)，又， 6分
∴，∴回归直线方程为92ˆ+=x y
； 7分 ∴2020年2月的月份代码7=x ，∴23972=+⨯=y ，
∴估计2020年2月的市场占有率为%23； 8分
(3)用频率估计概率，A 款单车的利润X 的分布列为：
∴(元)， B 款单车的利润Y 的分布列为：
∴(元)，
以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B 款车型。

12分
22．（12分）2019新型冠状病毒引发的疫情被世界卫生组织列为国际关注的突发公共卫生事件。

这种病毒可以通过飞沫进行传播，具有较强的传染性，由此导致大量的疑似病例产生，目前医院主要采用核酸检测法来判断疑似病例是否真的感染这种病毒。

假定疑似病例中随机1人检测结果呈阳性的概率为02.0，且每个人检测是否呈阳性相互独立。

有人提出建议，利用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将需要检测的疑似病例随机等分成若干组，并将每组送检的样本混在一起检测(假设样本混合后不影响原有样本检测的结果)，若结果呈阴性，则可断定本组样本全部为阴性，不必再检测；若结果呈阳性，则本组中至少有一个样本呈阳性，再逐个检测。

(1)某医院每天要完成40个疑似病例的样本检測，现有两个分组方案：
方案一：将40人分成5组，每组8人，
方案二：将40人分成8组，每组5人，
试分析哪一个方案工作量更少；
(2)你能否给第(1)问中的医院提供一个更加合理的方案，并说明理由。

【解析】∴851.098.0)1(8≈==X P ，149.098.01)9(8≈-==X P ，∴X 的分布列为：
∴9851.01)(⨯+⨯=X E 故方案一检测次数的总期望值为96.105192.2=⨯， 2分 设方案二中每组检测的次数为Y ，则Y 的取值为1、6，
∴904.098.0)1(5≈==Y P ，096.098.01)6(5≈-==Y P ，∴Y 的分布列为：
∴06904.01)(⨯+⨯=Y E 故方案一检测次数的总期望值为84.11848.1=⨯， 4分 ∵84.1196.10<，∴方案一的工作量更少； 5分
(2)可以采用两次分组的方案：
第一次分4组，每组10人，对于任意一组，若第一次检测结果为阴性，则不再检测， 若第一次检测结果为阳性，则将这10人再次分为2组，每组5人，
此时这2组分别进行一次检测，则检测结果为1阴1阳或2阳，
若某小组的检测结果为阳性，则需对该小组人员逐一检测， 7分 设该方案中每10人组检测的总次数为Z ，则Z 的取值为1、8、13， 8分 ∴817.098.0)1(10≈==Z P ，
，
， 10分
∴Z 的分布列为：
∴， 故该方案检测次数的总期望值为304.94326.2=⨯，
∵，∴该方案的工作量更少。

12分。