高中数学教学论文 解题后反思让思维飞得更高

解题后反思让思维飞得更高
[摘要 ] 透视高中生数学学习现状，本文提出了数学解题后反思的相关理论，探讨了如何有效地进行解题后反思。

数学解题后反思能帮助学生融会贯通数学知识，提高解题能力与解题技巧，培养学生的创造性思维。

[关键词] 解题反思探究分析规律
一、数学解题后反思及其必要性
数学解题与数学有着很密切的联系，数学学习的很大一部分内容就是解题。

当代著名数学教育家波利亚曾强调指出“掌握数学意味着什么？就是要善于解题，不仅要善于解一些标准的题目，而且要解一些要求独立思考，思路合理、见解独到和发明创造的题。

”可见，在数学教育中，解题是最基本的活动形式。

解题教学是数学教学一个重要组成部分。

解题是学生牢固掌握数学基础知识和基本技能的必要途径，也是检验知识，运用知识的基本形式。

因此，如何提高学生的解题能力一直是数学教学活动所关心的重要问题。

波利亚在《怎么解题》中给出了解答数学问题的四个阶段：弄清问题——拟定计划——实现计划——回顾。

简言之，在数学解题中要有以下几个步骤：审题——探究——表达——反思。

但是在很多人的眼中，无论教师还是学生，认为解题只是前面的三个步骤：理解题意，找到解题途径，写出解答过程。

特别是学生，他们解题的兴奋点往往集中在答案上，一旦解出答案，就如释重负，对解题后反思置之不理。

如果解题只完成前三步，那么就不能充分挖掘题目本身的价值，这是十分可惜的！
著名数学教育家弗赖登塔尔指出“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力。

”反思是对思维结果进行再认知和检验的过程，是一种探究和特殊的再概括，更是一种创新，具有较强的研究性。

反思能沟通知识间的相互联系，促进知识的同化和迁移，深化对知识的理解，有利于在原有基础上建立更高层次的认知结构，进而产生新的发现。

因此，从某种程度上说解题后反思比前三步还要重要！
(一)探究性是反思的最基本特征
反思是一种积极的探究行为，是在回顾解题思维的过程中重构自己的理解，激活个人智慧，并在活动所涉及的各个方面的相互作用下，产生超越已有信息的信息，从而帮助学生学会学习。

(二)概括性是反思的又一特征
反思是一种特殊的再概括，它是从个别推广到一般的思维方法。

通过反思可以加深学生对知识的理解，完善学生的认知结构，提炼数学思想方法，加强对知识的迁移能力和应用能力，最大限度地发挥范例的作用，提高学生的解题效益，减轻学生的学习负担，同时培养学生的概括能力。

(三)创新性也是反思的特征
反思是在创造性的活动中，应用新方案和新程序创造新思维和新想法的思维活动。

通过反思可以从多个角度来考虑问题，可以培养学生的发散性思维和集中性思维。

二、如何进行数学解题后反思
对于具体的数学问题，如何进行解题后反思呢？一道数学题经过一番冥思苦想解出答案之后，我们必须再次进行认真探究：“命题的意图的什么？考核我们哪方面的知识和能力？命题所
提供条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据、严密完善？解题结论是否正确合理？答案是否唯一？解法唯一还是一题多解？众多的解法中哪种解法最简单？把本题的解法和结论进一步推广，能否得到更有益的普遍性结论？是否可以把此类问题进行归类，多题一解……”。

如此种种就是“数学解题后的反思”。

(一) 反思解题过程
它是反思的第一步，做好这一步是做以下几步的基础。

在解题时我们可能会走弯路，思路也会受阻，即使有了思路也未必是正确和完善的。

同时在解题过程中还会产生错误，因此我们必须重视对解题过程的反思。

反思解题过程时，我们不妨从以下几方面入手：
1、反思题目中的隐含条件是否被挖掘
某些数学问题的已知条件内涵很丰富，需要仔细地分析才能理解透彻。

如果光看表面，常常会使条件的内涵缩小或扩大，导致所给问题的解集扩大或缩小。

【例1】已知圆(x-2)2+y2＝1与抛物线y2＝2px(p＞0)有公共点，求p的取值范围。

此题的思路很普通，是两条曲线公共点的问题，它等价于两曲线方程联立的方程组有实根。

解：(x-2)2+y2＝1，y2＝2px(p＞0)。

由上式得x2+(2p-4)x+3＝0。

因为圆和抛物线存在公共点，上述方程应存在实根，即Δ≥0。

由Δ＝(2p-4)2-4×3≥0。

解得：0＜p≤2-3或p≥2+3。

上述解法从推理过程上看步步有据，不存在问题，但是通过仔细分析，我们可以发现答案是错误的。

我们可以做这样的反思：
(1)圆和抛物线有公共点存在隐含条件吗？若有，隐含条件是什么？
(2)隐含条件对所求P的取值范围有影响吗？若有，p的正确取值范围又是什么？
不难发现，圆(x-2)2+y2＝1与抛物线y2＝2px(p＞0)有公共点存在的隐含条件是1≤x≤3(圆和抛物线的公共点应在圆(x-2)2+y2＝1上，公共点的横坐标应满足|x-2|≤1即1≤x≤3) 或是纵坐标满足-1≤y≤1．这个条件一旦被挖掘，对p的取值范围肯定有影响，正确的解答如下：
令f(x)＝x2+(2p-4)x+3，由已知得Δ＝(2p-4)2-12≥0，1≤
2)
2
4(p
≤3，f(1)≥0，f(3)≥0
由上面四个式子解得：0＜p≤2-3，因此p的正确取值范围是p∈(0，2-3]。

2、反思解题过程的分析与推理是否合理
有些数学问题概念性很强，若对概念的内涵理解不深刻或是扩大了概念的外延，又或是对概念产生误解，都会导致错解的发生，下面的例题就是一个很好的例子。

【例2】有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱。

试判断这个命题的真假。

图1
图2
图3
很多学生认为这是真命题。

因为他们一时找不出反例来否定这个命题。

但它其实是假命题。

有学生举出反例模型如图1：在一个长方体IJKL -EFGH 的上面放上一个平行六面体EFGH -ABCD 。

他认为这个几何体满足题设的条件，但它不满足棱柱的定义，因此它不是棱柱。

由此得出所给命题是假命题。

此时，教师引导学生作如下反思：
(1)如图1给出的反例对棱柱概念的理解正确吗？
(2)用图1来否定所给的命题合理吗？
提出这两个问题后学生顿感诧异，认为反例满足棱柱的概念。

此时教师再引导学生反思：
(3)图1给出的几何体是凸多面体还是凹多面体？棱柱是凹多面体吗？
学生容易看出，图1所示的几何体是凹多面体，而从教材给出的图2可知，棱柱应该是凸多面体，而不是凹多面体。

教师趁势引导学生反思：
(4)棱柱是凸多面体，用图1所示的凹多面体来否定与棱柱概念有关的命题合理吗？
此时，多数学生突然意识到用凹多面体作为反例来否定与棱柱概念有关的命题是不合理的，应该在凸多面体集合中去寻找反例。

这样的反例寻找很困难，教师可给出图3所示的模型作为反例，让学生观察分析。

通过观察与分析，他们明白了为什么用图1作为反例不合理，错误的原因在于对棱柱概念的理解不深刻。

3、反思解答的完备性
这一点往往是很容易被漏掉的，导致产生漏解或多解。

所以在做完题目后，要注意检验解答是否全面，有无多解或漏解现象。

【例3】在双曲线12
2
2=-y x 中，是否存在被点P (1 ，1)平分的弦?如果存在，求出弦所在直线方程；如不存在，说明理由。

有些同学的解法如下：
解：设弦所在直线方程为y ＝k (x -1)+1，代入1222
=-y x 得：(k 2-2)x 2-2k (k -1)x +(k 2-2k +3)=0。

设弦的两个端点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则()2
12221--=+k k k x x ，因此1)2(2)1(22=--k k k ，解得k =2。

所以，所求直线方程存在，且方程为y ＝2(x -1)+1，即2x -y -1＝0。

仔细审查，其实解题过程是不完善的，存在错误，问题在于：
(1)直线和双曲线一定有交点吗? (2)运用韦达定理有前提条件吗？
仔细推敲，问题显而易见了。

正确解法如下：在得到(k 2-2)x 2-2k (k -1)x +(k 2-2k +3)=0时有：
(1)当k 2-2＝0，即2±=k 时，直线和双曲线只有一个公共点，不合题意。

(2)当k 2-2≠0，即2±≠k 时，必须满足Δ=[-2k (k -1)]2-4(k 2-1)(k 2-2k +3)≥0。

解得,2
3≤k 且2±≠k ，这与k ＝2相矛盾。

所以这条双曲线不存在被点P(1，1)平分的弦。

对一个题目的反思如果仅限于题目本身、就题论题，那么是远远不够的，远远没有达到解题目标，没有领会出题者的意图。

因此，我们还需对题目进行“纵向”与“横向”的反思。

(二)解题后“纵向”的反思
1、反思问题的本质
我们平时在做题目时，要学会反思题目的本质，应该善于创设情景，提炼问题，深入研究，全面深刻地考虑问题，达到真正的解题目的。

【例4】已知椭圆()01:22
22>>=+b a b
y a x C 的长轴两端点为A 、B ，C 是椭圆上不同于Ａ、Ｂ的一点，使得∠ACB =120°，求椭圆离心率的取值范围？
这是一道我们熟悉的解析几何题目，解答之后我们还可以进行深一步研究：是否每个椭圆上都存在一点Ｃ使得∠ACB ＝120°？这应该取决于椭圆本身。

那么∠ACB 的大小与椭圆离心率有什么关系呢？我们还可以进一步问是否存在∠ACB =75°或是190°。

解：设A (-a ，0)，B (a ，0)，C (x 0，y 0)(x 0≠±a)，焦距是2c ，由椭圆的
对称性，可设0≤x 0＜a ，0＜y 0≤b ，显然，∠ACB 是ΔABC 的一个内角，即０
＜∠ACB ＜180°。

所以不存在∠ACB =190°。

直线AC ，BC 的斜率分别是a
x y k AC +=00，a x y k BC -=00。

又k AC •k BC ≠-1，则∠ACB ≠90°。

∵0221211tan 2022202200000000<-≤-=•⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=+•-++--=•+-=∠c ab y c ab y b a ay a x y a x y a x y a x y k k k k ACB o AC BC AC
BC ∴ 90°＜∠ACB ＜180°。

所以不存在∠ACB =75°。

通过以上分析，可以很清楚地看到：(1)当C 是短轴端点时(此时y 0=b )，tan ∠ACB 最大，即∠ACB 最大。

此时当离心率e 在区间(0，1)上越来越小时，椭圆越来越来圆，∠ACB 由钝角趋向于直角，即离心率e 越小∠ACB 越小；当e 在区间(0，1)上越来越大时，椭圆越来越扁平，∠ACB 由钝角趋向于平角，即离心率e 越大∠ACB 越大；(2)若a ＝b 则方程代表的曲线为圆，此时∠ACB ＝90°，也就是直径所对的圆周角是直角。

当∠ACB =120°且C 是短轴端点时，容易求得椭圆的离心率为360=
e 。

因为离心率e 越大∠ACB 越大，因此360=
e 为满足题目要求的所有椭圆的离心率的最小值。

即本题离心率e 的取值范围为),3
6[+∞。

通过上述讨论，对椭圆的离心率理解更深刻了，以后遇到这类问题也就迎刃而解了。

2、反思问题的一般性，总结解题规律
我们解完题后要认真思考运用的方法，分析它的特点，认真总结规律，通过解一个题目学会解一类题目。

同时还要分析具体方法中所包含的数学思想，通过对具体方法进行再加工来提炼一般的数学思想方法。

【例5】已知ΔABC 的两个顶点为A (-a ，0)，B (a ，0)，顶点C 在圆x 2+y 2
＝9上移动，求这个三角形重心G 的轨迹方程。

解后发现，求这类轨迹方程问题的特点是：
(1)所求的动点随着已知动点的运动而运动。

(2)已知动点在已知曲线上运动。

它的解题一般步骤是：(1)设已知动点为M (x 1，y 1)，所求动点P (x ，y )。

(2)写出x 1，y 1用x ，y 来表示的关系式x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y )。

(3)将上述关系式代入已知曲线方程。

(4)化简后即可得到所求轨迹方程。

以后再遇到这类问题就可以用这种方法来解了。

3、反思解题方法的多样性，思考解题方法的最佳性
学生解题时经常出现解法单一、思路狭窄、叙述冗长，把简单问题复杂化等问题，而且很容易满足于一种解法。

其实我们在解题时不能满足单一的解法，要进一步从各种不同的角度去思考，以得到不同的启示，从而得出多种不同的解法，再从中选出最佳的解法。

这可拓宽学生的思维，培养学生思维的广阔性和创新性。

【例6】已知a ，b ，c 是三角形的三条边长，S 是该三角形的面积。

求证：S c b a 34222≥++，并指出在什么条件下等号成立。

分析：可先将不等式改写为：)(12
3)(341
222222c b a c b a S ++=++≤ …… (1)。

看着结论，考虑不出什么思路，如果将问题特殊化，能否给我们一些启示呢？当a ＝b ＝c 时，该三角形是等边三角形，此时)(12
34360sin 21222202c b a a a S ++==⋅= ，即等号成立。

重新考虑不等式(1)，一般三角形与正三角形在面积上有什么联系呢？想到周长一定的三角形中正三角形的面积最大，那么周长为a +b +c 的三角形中，最大的面积应该是9
)(43)3(432
2c b a c b a ++⋅=++，则有： 9222439)(432222bc ac ab c b a c b a S +++++⋅=++•≤ ()()())(12
3943222222222222c b a c a c b b a c b a ++=++++++++⋅≤， 即S c b a 34222≥++，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立。

这道题目基本上解决了，我们从结论出发，用了特殊值的方法，这种方法一般不怎么被想到，是否还有更直接更容易的方法呢？
证2：由海伦公式()()()()()()c p b p a p p c p b p a p p S ---⋅=---= ，2
c b a p ++=。

而()()()()()()33)6(]3
[c b a c p b p a p c p b p a p ++=-+-+-≤--- 所以()()()()233
3141)6(2c b a c b a c b a c p b p a p p S ++⨯=++•++≤---•= 从而有S c b a 312)(2≥++，其中当且仅当b +c -a ＝c +a -b ＝a +b -c ，即a ＝b ＝c (正三角形)
时等号成立。

∵()
()()()()032222222≥-+-+-=++-++a c c b b a c b a c b a ∴())(32222
c b a c b a ++≤++。

∴ )(341
222c b a S ++≤，即S c b a 34222≥++。

证3：左-右C ab c b a S c b a sin 2
134********⋅-++=-++= C
ab C ab b a b a sin 32)cos 2()(2222--+++= )]6
sin(2[2)]sin 23cos 21(2[22222π+-+=+-+=C ab b a C C ab b a ∵1)6sin(≤+πC ，即1)6
sin(-≥+-πC (当且仅当C ＝60°时等号成立) ∴ab C ab 2)6sin(2-≥+-π
∴左-右＝()
()0222)]6sin(2[222222≥-=-+≥+-+b a ab b a C ab b a π
，即证。

特别是第三种方法，较第一种和第二种都要简单，避免了解题的冗长烦琐，这也是解这类题目的一般方法——比较法。

4、结论的延伸和推广
解完题后，分析一下本题结论是否可以延伸，是否可以把在特殊题目中得到的结论推广到一般情形。

在前面讲到一题多解的例子时 ，是否想过此结论可以推广吗？
设a 1，a 2，a 3……a n 是一个N 凸边形的边，面积为S ，则n S a a a a n π
tan 42232221⋅≥+⋯⋯+++
分析：N ＝3时，上式就可以化为前面我们已经证明过的。

对于一般的凸N 边形，周长一定
时，正N 边形最大面积是n
n a a a a n n πcot )(42321⋅+⋯⋯+++， 则n
n a a a a n S n πcot )(42321⋅+⋯⋯+++≤。

仿照上面的证明马上就可以得到上面的结论。

解题后纵向反思是一个总结和提高的过程。

在此基础上，为了扩展学生的思维，在最后我们还应该对题目的条件和结论进行推广和延拓，使得学生的解题的能力有本质上的提高，就是我们要讨论的解题后的“横向”反思。

(三)解题后“横向”的反思
1、改变题目
如果有可能，再进行较高层次的思考，改变题目中的条件或问题，思考解题思路、解题方法有什么变化，然后进行总结，使对本类题目能够做到触类旁通，多题一解。

(1)改变条件
【例7】已知实数a ，b ，x ，y 满足a +2b +4=0，且x +2y =1。

设M ＝(a -x )2+(b -y )2
，求M 的最
小值。

本题的思路是，设L 1：x +2y +4=0，L 2：x +2y =1为两条平行直线，(a ，b )是直线上L 1的点，B (x ，y )是直线L 2上的点，则M 的右边可看作是点A ，B 距离的平方，所以M 的最小值即是两条直线间是距离()
54114=+--=d 的平方，故M 的最小值是5。

解完题后可以进一步改变题目的条件，改为“已知实数a ，b ，x ，y 满足a -b +4＝0，3x +4y ＝6，设M ＝(a -x )2+(b -y )2
，求M 的最小值。

”此变例的思路与原题完全相同，不同的是现在的两条直线不再平行，而是相交，则两条相交直线的距离是0。

因此M 的最小值是0，且此时
7
18,710==-==y b x a (两条相交直线的坐标)。

通过变换题设的讨论，题中的条件可以是a ，b ，x ，y 满足的任何一次关系式，解题的方法都没有变化。

(2)改变问题
“已知实数a ，b ，x ，y 满足a +2b +4＝0，x +2y ＝1。

设 N ＝(a +x )2+(b +y )2，求N 的最小值。

这里的N 的右边不再是距离公式的形式，但是我们可将N 变换成[a -(-x )]2+[b -(-y )]2。

令s ＝-x ，t ＝-y ，则得s +2t +1＝0，N ＝(a -s )2+(b -t )2，这就转化为【例7】的情形。

再如：已知a ，b ，x ，y 满足a +2b +4＝0，x +2y ＝1。

设T ＝(2x -a )2+(3y +2b )2，求T 的最小值。

由刚才的经验将T 变形为T ＝(2x -a )2+[3y -(-2b )]2 。

令m ＝a ，n ＝-2b ，则a+2b +4＝0变为m -n +4＝0。

令s ＝2x ，t ＝3y 则变为3s +4t ＝6。

故此题变为“已知实数m ，n ，s ，t 满足m -n +4＝0，3s +4t ＝6，设N ＝(s -m )2+(t -n )2
求P 的最小值”此时题目又变成【例7】的情形了。

通过以上的题目变形，我们发现了这类题目的一般求解规律。

当然也有不少题目，改变了它的条件或问题后，解题的方法会有本质的变化。

一道数学题解出答案并不是解题思维活动的结束，而是更深入探究的开始。

为了充分发挥解一道题的作用和效果，还需要回顾解题过程，判断解题结果的正确性，能从数学思想方法的角度概括解题的规律性，运用发散性思维进行类比、推广和延伸，不断积累解题经验，提炼解题方法，概括解题策略，从感性认识上升到理性认识。

从数学上说，解一道题目决不仅仅是一道题目，而是相当于解一类题目解一系列题目；从质量上来说，解一道题也决不仅仅是一道题目的解法的结果，得到的不是零碎的知识，而是全面的，系统的知识。

通过解题后反思可以使解题水平上一个新台阶，使思维水平上升到一个新高度，这对于今后形成良好思维品质和科学思维方式都会带来深远积极的影响。

参考文献
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[8] 余峥嵘数学解题反思什么杭州一中
[9] 柏振亚注重解题反思提高数学解题能力湖南师范大学数学系。