福建省仙游第一中学高一数学下学期期中试题

仙游一中2017-2018学年度下学期期中考
高一数学试卷
一．选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案，把答案填在相应的题号格上.
1. 364与520的最大公约数是（ ）
A. 44
B. 4
C. 52
D. 14 2.将十进制数177化为五进制数为（ ）
A.(5)2010
B.(5)1202
C.(5)2120
D.(5)1022
3. 过点(2,1)P -且被圆C ：2
2
240x y x y +--= 截得弦最长的直线l 的方程是 （ ）
A ．350x y -+= B. 350x y -+= C. 350x y +-= D. 350x y --= 4. 已知半径为2，弧长为83
π
的扇形的圆心角为α，则sin α=( ) A
．-
C ．12
- D ．12
5. 已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且与直线0443=++y x 相切， 则圆的方程是（ ）
A ．042
2=-+x y x
B ．042
2=++x y x
C ．0322
2=--+x y x D ．0322
2=-++x y x
6.
已知sin cos αα-=α∈(0,π),则tan α=（ ）
A ．1
B
．2
-
C
．
2
D ．-1
7. 如图给出的是计算111
135
2017
+
+++
的值的一个程序框图， 则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句是( ) A ．1,1009n n i =+> B ．2,1009n n i =+> C ．1,1010n n i =+> D ．2,1010n n i =+>
第7题图
8.已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4， 则实数a 的值为（ ） A.2-
B. 8-
C.6-
D. 4-
9. 已知圆的方程为()2
2
20,,x y x M x y +-=为圆上任意一点， 则
2
1
y x --的取值范围是（ ）
A. ⎡⎣
B.[]-1,1
C. (
)
3,⎡-∞+∞⎣
D.[)(]1,,1+∞-∞-
10. 若样本1x +1，2x +1，，n x +1的平均数为9，方差为3，则样本21x +3，22x +3，…，2n x +3，的平均数、方差是（ ） A ．23，12 B ．19，12 C ．23，18 D ．19，18
11．赵爽创制了一幅“勾股弦方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股弦方图”中，以弦为边长的正方形内接于大圆，该正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的，图中小圆内切于小正方形.从大圆中随机取一点，设此点取自阴影部分的概率为P ，则P 的取值范围是（ ）
A .C .
12. 已知函数2
(),,,(0,),f x x x παβγπ=-∈且1sin 3α=，5tan 4β=，1
cos 3
γ=-，则（ ）
A.()()()f f f αβγ>>
B.()()()f f f αγβ>>
C.()()()f f f γβα>>
D.()()()f f f γβα>>
二、填空题: 本题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在相应题中横线上. 13. 已知1sin(
)63π
α-=，02πα<<,则sin()3
π
α+= .
14. 已知从A 口袋中摸出一个球是红球的概率为
1
3
，从B 口袋中摸出一个球是红球的概率为2
5。

现从两个口袋中各摸出一个球，那么这两个球中没有红球的概率是 . A.215 B.25 C.7
15
D.35
15. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径． 若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9， 则球O 的表面积为________．
16.已知点()()2020M N -，，，,若圆()2
2
2
8160x y x r
r +-+=>上存在点P （不同于点
,M N ）, 使得PM PN ⊥,则实数r 的取值范围 ．
三.解答题：本大题共有6小题，满分74分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 把解答写在相应的题号的方框内.
17. （本题10分）已知()cos sin f ααα=， (Ⅰ)若角α终边上的一点(4,3)P -，求()f α的值； (Ⅱ)若1
()2
f α=，求tan α的值.
18. （本题12分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.（I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.
19. （本题12分）如图所示， 四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，，PA = 1，
PD ，E 为PD 上一点，PE = 2ED ．
（1）求证：平面ABCD ；
（2）求二面角D －AC －E 的余弦值；
（3）在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF // 平面AEC ？ 若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．
E
P
D
B
A
20. （本题12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图。

（I ）求y 与t 的相关系数，
（II ）求y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），并预测2018年我国生活垃圾无害化处理量。

参考数据：
7
1
9.32i
i y
==∑，7
1
40.17i i i t y ==∑
0.55=，7≈2.646.
参考公式：相关系数()()
n
i
i
t t y y r --=
∑ 回归方程y a bt =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1
2
1
()()
()n
i
i i n
i
i t
t y y b t
t ==--=
-∑∑，=.a y
bt -
21. （本题12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调
整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （I ）求直方图中a 的值；（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.
22. （本题12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，
PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．
（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；
（Ⅲ）若BC =
E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．
仙游一中2017-2018学年度下学期期中考
高一数学试卷答案
一．选择题 CBBAA DBDCB AA
二．填空题13.3 14. 2
5 15. 36π 16.()2,6
三．解答题
17. (1)
434,3,5,cos ,sin 55x y OP αα=-=∴==-=，12()25
f α=-;
(2)222
sin cos tan 1
,sin cos tan 12
αααααα==∴++tan 1α= 18. （I ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；
（II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为
{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.
（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A ,
{}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,
所以事件A 发生的概率()93
.155
P A =
= 19. 试题解析：（1） PA = PD = 1 ,PD = 2 ,
∴ PA 2 + AD 2 = PD 2, 即：PA AD 2分
又PA CD , AD , CD 相交于点D,
∴ PA 平面ABCD 4分
（2）过E 作EG//PA 交AD 于G ， 从而EG 平面ABCD ， 且AG = 2GD , EG =
13PA =1
3
, 5分 连接BD 交AC 于O, 过G 作GH//OD ，交AC 于H ， 连接EH ． GH AC , ∴EH AC ,
∴ EHG 为二面角D —AC―E 的平面角． 6分
∴tan EHG =
EG GH ．∴二面角D —AC―E 的平面角的余弦值为368分
（3）存在PC 的中点F, 使得BF//平面AEC ．
20.（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得4=t ，
28)(7
1
2=-∑=i i
t t
，
55.0)(7
1
2
=-∑=i i
y y
，
89.232.9417.40))((7
1
7
1
7
1
=⨯-=-=--∑∑∑===i i i i i i i i
y t y t y y t t
，
99.0646
.2255.089
.2≈⨯⨯≈
r . 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关
程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系. （Ⅱ）由331.17
32.9≈=y 及（Ⅰ）得103.028
89
.2)()
)((ˆ7
1
2
7
1
≈=
---=∑∑==i i
i i i
t t
y y t t
b ，92.04103.0331.1ˆˆ≈⨯-≈-=t b y a
. 所以，y 关于t 的回归方程为：t y
10.092.0ˆ+=. 将2018年对应的11t =代入回归方程得：ˆ0.920.1011 2.02y
=+⨯=. 所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约2.02亿吨.
21. （I ）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1,∵频率=(频率/组距)*组距, ∴
()0.50.080.160.40.520.120.080.0421a ⨯+++++++=得0.3a = （II ）由图，不低于3吨人数所占百分比为()0.50.120.080.04=12%⨯++ ∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：3012%=3.6⨯(万)
（III ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：
()0.50.080.160.30.40.520.73⨯++++=,即73%的居民月均用水量小于2.5吨, 同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故2.53x << 假设月均用水量平均分布，则()85%73%0.5
2.50.5 2.90.3
x -÷=+⨯
=（吨）.
22. （I ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点，所以C D A ⊥O ． 又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ．因为D O PO =O ，
所以C A ⊥平面D P O ．
（II ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．又
2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为1
2112
⨯⨯=．又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，
故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133
⨯⨯=
．
（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以PB ==
．
同理C P =所以C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面
C 'B P ，使之与平面ABP 共面，当O ，E ，
C '共线时，C E +OE 取得最小值．又因为OP =OB ，C C ''P =B ，所以C 'O 垂直平分PB ，即E 为PB 中点．
从而C C 222
''O =OE +E =+=，亦即C E +OE 的最小值为2．。