江苏省常州市八年级上学期期末模拟数学试题

江苏省常州市八年级上学期期末模拟数学试题
一、选择题
1．如图，直线(0)y x b b =+>分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，直线(0)y kx k =<与直线
(0)y x b b =+>交于点C ，点C 在第二象限，过A 、B 两点分别作AD OC ⊥于D ，
BE OC ⊥于E ，且8BE BO +=，4=AD ，则ED 的长为（ ）
A ．2
B ．
3
2 C ．52
D ．1
2．下列四组线段a 、b 、c ，不能组成直角三角形的是( )
A ．4,5,3a b c ===
B ． 1.5,2, 2.5a b c ===
C ．5,
12,13a b c ===
D ．1,
2
,3a b c ===
3．人的眼睛可以看见的红光的波长约为5810cm -⨯，近似数5810-⨯精确到（ ） A ．0.001cm
B ．0.0001cm
C ．0.00001cm
D ．0.000001cm
4．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s （米）与各自所用时间t （秒）之间的函数图像分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法不正确的是（ ）
A ．甲的速度保持不变
B ．乙的平均速度比甲的平均速度大
C ．在起跑后第180秒时，两人不相遇
D ．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
5．下列各式从左到右变形正确的是（ ） A ．
0.220.22a b a b
a b a b
++=++
B ．23184321
4332x y
x y x y x y +
+=-- C ．n n a m m a
-=-
D ．
221
a b a b a b
+=++
6．如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）
A ．2.8
B ．22
C ．2.4
D ．3.5 7．下列各数中，无理数的是（ ） A ．0
B ．1.01001
C ．π
D ．4
8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣
4
3
x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是y 轴上的点（不与点B 重合），若将△ABM 沿直线AM 翻折，点B 恰好落在x 轴正半轴上，则点M 的坐标为（ ）
A ．（0，﹣4 ）
B ．（0，﹣5 ）
C ．（0，﹣6 ）
D ．（0，﹣7 ）
9．如图，在R △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，E 为AC 上一点，且AE ＝85
，AD 平分∠BAC 交BC 于D ．若P 是AD 上的动点，则PC +PE 的最小值等于（ ）
A ．
185
B ．
245
C ．4
D ．
265
10．若关于x 的分式方程211
x a
x -=+的解为负数，则字母a 的取值范围为（ ） A ．a ≥﹣1
B ．a ≤﹣1且a ≠﹣2
C ．a ＞﹣1
D ．a ＜﹣1且a ≠﹣2
二、填空题
11．3x -有意义的x 的取值范围是__________．
12．在平面直角坐标系中，点A （2，1）向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位后的坐标为______．
13．已知点P 的坐标为(4，5)，则点P 到x 轴的距离是____. 14．对于分式
23x a b
a b x
++-+，当1x =时，分式的值为零，则a b +=__________．
15．在平面直角坐标系中,将点()3, 2P -先向右平移2个单位长度, 再向下平移2个单位长度后所得到的点坐标为_________.
16．若代数式
321
x
x -+有意义，则x 的取值范围是______________. 17．如图，在长方形ABCD 中，5,6AB BC ==，将长方形ABCD 沿BE 折叠，点A 落
在'A 处，若'EA 的延长线恰好过点C ，则AE 的长为__________．
18．如图，矩形ABCD 的边AD 长为2，AB 长为1，点A 在数轴上对应的数是-1，以A 点为圆心，对角线AC 长为半径画弧，交数轴于点E ，则这个点E 表示的实数是_______
19．如图，等腰直角三角形ABC 中， AB=4 cm.点 是BC 边上的动点，以AD 为直角边作
等腰直角三角形ADE.在点D 从点B 移动至点C 的过程中，点E 移动的路线长为
________cm.
20．如图，在坐标系中，一次函数21y x =-+与一次函数y x k =+的图像交于点
(2,5)A -，则关于x 的不等式21x k x +>-+的解集是__________．
三、解答题
21．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，//FC AB ，ADE ∆与
CFE ∆全等吗？试说明理由.
22．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如：
31
122
=+.在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分
式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.例如：像11x x +-，2
2
x x -，…这
样的分式是假分式；像
42
x - ，221x x +，…这样的分式是真分式.类似的，假分式也可以化
为整式与真分式的和的形式. 例如：
112122
111111
()x x x x x x x x +-+-==+=+
-----’ 2244(2)(2)44
22222
x x x x x x x x x -++-+===++
----. （1）将分式
1
2
x x -+化为整式与真分式的和的形式； （2）如果分式221
1
x x --的值为整数，求x 的整数值.
23．一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车．设慢车行驶的时间为x 小时，两车之间的距离为y 千米，图中折线表示y 与x 之间的函数图象，请根据图象解决下列问题：
（1）甲乙两地之间的距离为 千米； （2）求快车和慢车的速度；
（3）求线段DE 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
24．先化简，再求值：22
214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷
⎪--+⎝⎭
，其中x ＝2﹣23． 25．如图，AD ∥BC ，∠A ＝90°，E 是AB 上的一点，且AD ＝BE ，∠1＝∠2．
（1）求证：△ADE ≌△BEC ；
（2）若AD ＝3，AB ＝9，求△ECD 的面积．
四、压轴题
26．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣
3
4
x+m 分别与x 轴、y 轴交于点B 、A ．其中B 点坐标为（12，0），直线y ＝3
8
x 与直线AB 相交于点C ．
（1）求点A 的坐标． （2）求△BOC 的面积．
（3）点D 为直线AB 上的一个动点，过点D 作y 轴的平行线DE ，DE 与直线OC 交于点E （点D 与点E 不重合）．设点D 的横坐标为t ，线段DE 长度为d ． ①求d 与t 的函数解析式（写出自变量的取值范围）．
②当动点D 在线段AC 上运动时，以DE 为边在DE 的左侧作正方形DEPQ ，若以点H （
1
2
，t ）、G （1，t ）为端点的线段与正方形DEPQ 的边只有一个交点时，请直接写出t 的取值范围．
27．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．
拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）
实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．
28．（1）问题发现．
如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．
①求证：ADC BEC ∆∆≌． ②求AEB ∠的度数．
③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________． （2）拓展探究．
如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．
①请判断AEB ∠的度数为____________．
②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）
29．如图1，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴与y 轴上，且点()6,10C ，点
()0,2D ，点P 为矩形AC 、CB 两边上的一个点．
（1）当点P 与C 重合时，求直线DP 的函数解析式；
（2）如图②，当P 在BC 边上，将矩形沿着OP 折叠，点B 对应点B '恰落在AC 边上，求此时点P 的坐标．
（3）是否存P 在使BDP ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
30．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 的中点，且满足∠ADE ＝60°，DE 交等边三角形外角平分线于点E ．试探究AD 与DE 的数量关系．
操作发现：（1）小明同学过点D 作DF ∥AC 交AB 于F ，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD 与DE 的数量关系，并进行证明．
类比探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点(除B 、C 外)，其他条件不变，试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展应用：（3）当点D 在线段BC 的延长线上，且满足CD ＝BC ，在图3中补全图形，直接判断△ADE 的形状(不要求证明)．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
图中直线y=x+b 与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，可以根据两点的坐标得出OA=OB ，由此可证明△AOD ≌△OBE ，证出OC=AD ，BE=OD ，在Rt △OBE 中，运用勾股定理可求出BE 的长，再根据线段的差可求出DE 的长. 【详解】
直线y=x+b(b ＞0)与x 轴的交点坐标A 为（-b ，0）与y 轴的交点坐标B 为（0，-b ）， 所以，OA=OB ， 又∵AD ⊥OC ，BE ⊥OC ， ∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵∠DOA+∠DAO=90°，∠DOA+∠DOB=90°， ∴∠DAO=∠DOB ， 在△DAO 和△BOE 中，
DAO BOE ADO BEO OA OB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DAO ≌EOB ， ∴OD=BE.AD=OE ， ∵AD=4， ∴OE=4， ∵BE+BO=8， ∴B0=8-BE ，
在Rt △OBE 中，222BO BE OE =+， ∴2
2
2
(8)BE BE OE -=+
解得，BE=3， ∴OD=3， ∴ED=OE-OD=4-3=1. 【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用以及全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质求出OD=BE 是解题的关键.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据勾股定理逆定理，即若三角形中两边到的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，对每项进行计算判断即可. 【详解】
解：A.22
22223491625,
525,a b c +=+==+=,
B.222221.52 2.254 6.25,2.5 6.25,a b c +=+==+=,
C.22222251225144169,13169,a b c +=+==+=,
222222123,39,.1D a b c +=+==+≠.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理，正确计算出每项的结果.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
把数还原后，再看首数8的最后一位数字8所在的位数是十万分位，即精确到十万分位． 【详解】
∵5810-⨯=0.00008，
∴近似数5810-⨯是精确到十万分位，即0.00001． 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了科学记数法与有效数字，正确还原数据是解题关键．
4．B
解析：B 【解析】 【分析】
A 、由于线段OA 表示甲所跑的路程S （米）与所用时间t （秒）之间的函数图象，由此可以确定甲的速度是没有变化的；
B 、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；
C 、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；
D 、根据图象
知道起跑后50秒时OB 在OA 的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面． 【详解】
解：A 、∵线段OA 表示甲所跑的路程S （米）与所用时间t （秒）之间的函数图象，∴甲的速度是没有变化的，故不选A ；
B 、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选B ；
C 、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故不选C ；
D 、∵起跑后50秒时OB 在OA 的上面，∴乙是在甲的前面，故不选D ． 故选：B ． 【点睛】
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可． 【详解】
A ．分式的分子和分母同时乘以10，应得
210102a b
a b
++，即A 不正确，
B . 26(3)
184321436()32x y x y x y x y ⨯+
+=-⨯-，故选项B 正确，
C ．分式的分子和分母同时减去一个数，与原分式不相等，即C 项不合题意，
D .
22
a b
a b ++不能化简，故选项D 不正确． 故选：B ． 【点睛】
此题考察分式的基本性质，分式的分子和分母需同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.不能在分子和分母中加减同一个整式，这是错误的.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
延长BG 交CH 于点E ，根据正方形的性质证明△ABG ≌△CDH ≌△BCE ，可得GE=BE-BG=2，HE=CH-CE=2，∠HEG=90°，从而由勾股定理可得GH 的长． 【详解】
解：如图，延长BG 交CH 于点E ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CD=10，
∵AG=8，BG=6，
∴AG2+BG2=AB2，
∴∠AGB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
同理：∠4=∠6，
在△ABG和△CDH中，
AB＝CD＝10
AG＝CH＝8
BG＝DH＝6
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1=∠5，∠2=∠6，
∴∠2=∠4，
在△ABG和△BCE中，
∵∠1＝∠3，AB＝BC，∠2＝∠4，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE－BG=8－6=2，
同理可得HE=2，
在Rt△GHE中，
2222
GH GE HE
=+=+=
2222
故选：B．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【详解】
解：A.0是整数，属于有理数；
B.1.01001是有限小数，属于有理数；
C．π是无理数；
2
，是整数，属于有理数．
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有ππ的数．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
设沿直线AM将△ABM折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有AB＝AC，而AB的长度根据已知可以求出，所以C点的坐标由此求出；又由于折叠得到CM＝BM，在直角△CMO中根据勾股定理可以求出OM，也就求出M的坐标．
【详解】
设沿直线AM将△ABM折叠，点B正好落在x轴上的C点，
∵直线y＝﹣4
3
x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴AB5，
设OM＝m，
由折叠知，AC＝AB＝5，CM＝BM＝OB+OM＝4+m，∴OC＝8，CM＝4+m，
根据勾股定理得，64+m2＝（4+m）2，解得：m＝6，∴M（0，﹣6），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一次函数的图象，图形折叠的性质以及勾股定理，通过勾股定理，列方程，是解题的关键．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
如图，作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P′，连接EP′，此时EP′+CP′的值最小，作CH⊥AB于H．求出CE′即可．
【详解】
如图，作点E关于AD的对称点E′，连接CE′交AD于P′，连接EP′，此时EP′+CP′的值最小，作CH⊥AB于H．
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB22
AC BC
+22
68
+，
∴CH=AC BC
AB
⋅
=
24
5
，
∴AH22
AC CH
-=
2
2
24
6
5
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
18
5
，
∴AE=AE′=8
5
，
∴E′H=AH-AE′=2，
∴P′C+P′E=CP′+P′E′=CE22
CH E H'
+
2
2
24
2
5
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
=
26
5
，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查利用对称性以及勾股定理的运用，解题关键是做好辅助线，转换等量关系. 10．D
解析：D
【解析】
【分析】
先求出分式方程的解，由分式方程有意义的条件可知1x ≠-，即方程的解1≠-，由解为负数可知分式方程的解小于0，可得字母a 的取值范围.
【详解】
解：方程两边同时乘以（x +1），得2x ﹣a ＝x +1，
解得：x ＝a +1，
∵解为负数，
∴a +1＜0，
∴a ＜﹣1，
因为分式有意义，则10x +≠，1x ≠-，即11a +≠-，解得2a ≠-
∴a ＜﹣1且a ≠﹣2，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了分式方程，根据分式方程解的情况确定参数的取值范围，解题过程中易忽视分式有意义的条件，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键.
二、填空题
11．【解析】
【分析】
根据以上信息可得到关于不等式x-3≥0，求解便能得到x 的取值范围．
【详解】
根据题意，得
x-3≥0，
解得x≥3.
故答案为
【点睛】
考查二次根式有意义的条件：二次根式的
解析：3x ≥
【解析】
【分析】
根据以上信息可得到关于不等式x-3≥0，求解便能得到x 的取值范围．
【详解】
根据题意，得
x-3≥0，
解得x≥3.
x
故答案为3
【点睛】
考查二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数；
12．（-1，-3）
【解析】
【分析】
让点A的横坐标减4，纵坐标减2即可得到平移后的坐标．
【详解】
点A（2，1）向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后点的横坐标为2−3＝−1；纵坐标
解析：（-1，-3）
【解析】
【分析】
让点A的横坐标减4，纵坐标减2即可得到平移后的坐标．
【详解】
点A（2，1）向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后点的横坐标为
2−3＝−1；纵坐标为1−4＝−3；即新点的坐标为（-1，-3），
故填：（-1，-3）.
【点睛】
本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．
13．5
【解析】
【分析】
根据点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值即可得出答案.
【详解】
解：∵点P的坐标为(4，5)，
∴点P到x轴的距离是5；
故答案为：5.
【点睛】
本题主要考查了点到坐标轴
解析：5
【解析】
【分析】
根据点到x 轴的距离等于该点纵坐标的绝对值即可得出答案.
【详解】
解：∵点P 的坐标为(4，5)，
∴点P 到x 轴的距离是5；
故答案为：5.
【点睛】
本题主要考查了点到坐标轴的距离的计算，解题的关键是熟记点到坐标轴的距离. 14．-1且．
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件为0的条件可得且，则可求出的值．
【详解】
解：∵分式，当时，分式的值为零，
∴且，
∴，且
故答案为：-1且．
【点睛】
此题主要考查了分式值为
解析：-1且5233a
b ，． 【解析】
【分析】 根据分式的值为零的条件为0的条件可得10a b
且230a b ，则可求出+a b 的值．
【详解】 解：∵分式
23x a b a b x
++-+，当1x =时，分式的值为零， ∴10a b 且230a b ， ∴1a b +=-，且5233a
b ， 故答案为：-1且5233
a
b ，． 【点睛】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 15．(-1,0)
【解析】
【分析】
根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可得到.
【详解】
解：点先向右平移个单位长度, 再向下平移个单位长度后所得到的点坐标为(-3+2,2-2),即(
解析：(-1,0)
【解析】
【分析】
根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可得到.
【详解】
解：点()3, 2P -先向右平移2个单位长度, 再向下平移2个单位长度后所得到的点坐标为(-3+2,2-2),即(-1,0)
故答案为：(-1,0)
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的变化-平移：向右平移a 个单位，坐标P （x ，y ）得到P ＇(x+a ，y)；向左平移a 个单位，坐标P （x ，y ）得到P ＇(x-a ，y)；向上平移a 个单位，坐标P （x ，y ）得到P ＇(x ，y+a)；向下平移a 个单位，坐标P （x ，y ）得到P ＇(x ，y-a).
16．【解析】
【分析】
代数式有意义，则它的分母2x+1≠0，由此求得x 的取值范围．
【详解】
∵代数式有意义，
∴2x+1≠0，
解得x≠．
故答案为：x≠．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件． 解析：12
x ≠-
【解析】
【分析】 代数式
321
x x -+有意义，则它的分母2x+1≠0，由此求得x 的取值范围． 【详解】 ∵代数式321
x x -+有意义， ∴2x+1≠0，
解得x≠12
-．
故答案为：x≠12
-
． 【点睛】 本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
17．【解析】
【分析】
结合长方形与折叠的性质在在中根据勾股定理可得的长，设设，可知，中，由勾股定理得方程
，求出x 值即可.
【详解】
解：四边形ABCD 是长方形
由折叠的性质可得
在中，根据勾股
解析：6【解析】
【分析】
结合长方形与折叠的性质在在'Rt BAC 中根据勾股定理可得'AC 的长，设设AE x =，可
知',6,A E x DE x CE x ==-=+Rt CDE △中，由勾股定理得方程
222(6)5(x x -+=+，求出x 值即可.
【详解】 解：四边形ABCD 是长方形
90,5,6A D AB CD AD BC ︒∴∠=∠=====
由折叠的性质可得''',5,90A E AE A B AB EA B A ︒===∠=∠=
在'Rt BAC 中，根据勾股定理得'AC ==
设AE x =，则',6,A E x DE x CE x ==-=+
在Rt CDE △中，根据勾股定理得222DE CD CE +=
即222(6)5(x x -+=+
可得2236122511x x x -++=++
12)50x ∴=
6)6
x ∴====-=
故答案为：6【点睛】
本题考查了勾股定理，灵活利用折叠三角形的性质结合勾股定理求线段长是解题的关键. 18．—1
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E点表示的数．
【详解】∵AD长为2，AB长为1，
∴AC=，
∵A点表示-1，
∴E点表示的数为：
1
【解析】
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E点表示的数．
【详解】∵AD长为2，AB长为1，
∴=
∵A点表示-1，
∴E，
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方．
19．【解析】
试题解析：连接CE，如图：
∵△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠BAC=45°，∠DAE=45°，即∠1+∠2=45°，
∠2+∠3=45°，
∴∠1=
解析：
【解析】
试题解析：连接CE，如图：
∵△ABC 和△ADE 为等腰直角三角形，
∴2AB ，2AD ，∠BAC=45°，∠DAE=45°，即∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°， ∴∠1=∠3， ∵
2AC AE AB AD
== ∴△ACE ∽△ABD ，
∴∠ACE=∠ABC=90°， ∴点D 从点B 移动至点C 的过程中，总有CE ⊥AC ，
即点E 运动的轨迹为过点C 与AC 垂直的线段，22，
当点D 运动到点C 时，2，
∴点E 移动的路线长为2cm ．
20．【解析】
【分析】
根据图像解答即可.
【详解】
由图像可知，关于的不等式的解集是.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细
解析：2x >-
【解析】
【分析】
根据图像解答即可.
【详解】
由图像可知，关于x 的不等式21x k x +>-+的解集是2x >-.
故答案为：2x >-.
【点睛】
本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．函数y 1＞y 2时x 的范围是函数y 1的图象在y 2的图象上边时对应的未知数的范围，反之亦然．
三、解答题
21．证明见解析.
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质证明A C ∠=∠，ADE CFE ∠=∠ ，然后根据“AAS ”即可证明ADE ∆与CFE ∆全等.
【详解】
解：AED CFE ∆≅∆，
∵//FC AB ，
∴A ACC ∠=∠，ADE CFE ∠=∠ ，
在AED ∆与CFE ∆中
A ACF ADE CFE DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴AED CFE ∆≅∆.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，以及全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）是解题的关键．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
22．（1）312x ；（2）2或0 【解析】
【分析】
（1）根据题意把分式12
x x -+化为整式与真分式的和形式即可； （2）根据题中所给出的例子把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x 的值．
【详解】
（1）12x x -+()232
x x +-=+ 2322
x x x +=-++ 312
x =-+ . （2）2211x x --22211
x x -+=-
()()2111
1
x x x +-+=- ()1211x x =++
-. ∵分式的值为整数，且x 为整数，
∴11x -=±，∴x =2或0．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
23．（1）560；（2）快车的速度是80km/h ，慢车的速度是60km/h ．（3）y=-60x+540（8≤x≤9）．
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象直接得出甲乙两地之间的距离；
（2）根据题意得出慢车往返分别用了4小时，慢车行驶4小时的距离，快车3小时即可行驶完，进而求出快车速度以及利用两车速度之比得出慢车速度；
（3）利用（2）所求得出D ，E 点坐标，进而得出函数解析式．
【详解】
（1）由题意可得出：甲乙两地之间的距离为560千米；
故答案为：560；
（2）由题意可得出：慢车和快车经过4个小时后相遇，相遇后停留了1个小时，出发后两车之间的距离开始增大，快车到达甲地后两车之间的距离开始缩小，由图分析可知快车经过3个小时后到达甲地，此段路程慢车需要行驶4小时，因此慢车和快车的速度之比为3：4，
∴设慢车速度为3xkm/h ，快车速度为4xkm/h ，
∴（3x+4x ）×4=560，x=20，
∴快车的速度是80km/h ，慢车的速度是60km/h ．
（3）由题意可得出：快车和慢车相遇地离甲地的距离为4×60=240km ，
当慢车行驶了7小时后，快车已到达甲地，此时两车之间的距离为240-3×60=60km ， ∴D （8，60），
∵慢车往返各需4小时，
∴E （9，0），
设DE 的解析式为：y=kx+b ，
∴90860k b k b +⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：60540k b -⎧⎨⎩
＝＝． ∴线段DE 所表示的y 与x 之间的函数关系式为：y=-60x+540（8≤x≤9）．
【点睛】
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的应用，根据题意得出D ，E
点坐标是解题关键．
24．﹣21(2)x -，﹣112
【解析】
【分析】
直接括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】
原式= [
221(2)(2)x x x x x +----]•4x x - =
2(2)(2)(1)(2)4x x x x x x x x +---⋅-- =24(2)4x x x x x -⋅--
=﹣2
1(2)x -，
当x =2﹣时，
原式=﹣
112
． 【点睛】 此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握，即可解题.
25．（1）见解析；（2）
452
【解析】
【分析】
（1）根据已知可得到∠A =∠B =90°，DE =CE ，AD =BE 从而利用HL 判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出∠DEC =90°，由已知我们可求得BE 、AE 的长，再利用勾股定理求得ED 的长，利用三角形面积公式解答即可．
【详解】
（1）∵AD ∥BC ，∠A =90°，∠1=∠2，
∴∠A =∠B =90°，DE =CE ．
∵AD =BE ，
在Rt △ADE 与Rt △BEC 中 AD BE DE CE =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ）
（2）由△ADE ≌△BEC 得∠AED =∠BCE ，AD =BE ．
∴∠AED +∠BEC =∠BCE +∠BEC =90°．
∴∠DEC =90°．
又∵AD=3，AB=9，
∴BE=AD=3，AE=9﹣3=6．∵∠1=∠2，
∴ED=EC
∴△CDE的面积
=145 22
⨯=．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握，即可解题.
四、压轴题
26．（1）点A坐标为（0，9）；（2）△BOC的面积＝18；（3）①当t＜8时，d＝﹣
9 8t+9，当t＞8时，d＝
9
8
t﹣9；②
1
2
≤t≤1或
76
17
≤t≤
80
17
．
【解析】
【分析】
（1）将点B坐标代入解析式可求直线AB解析式，即可求点A坐标；（2）联立方程组可求点C坐标，即可求解；
（3）由题意列出不等式组，可求解．
【详解】
解：（1）∵直线y＝﹣3
4
x+m与y轴交于点B（12，0），
∴0＝﹣3
4
×12+m，
∴m＝9，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣3
4
x+9，
当x＝0时，y＝9，
∴点A坐标为（0，9）；
（2）由题意可得：
3
8
3
9
4
y x
y x
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，
解得：
8
3 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴点C（8，3），
∴△BOC的面积＝1
2
×12×3＝18；
（3）①如图，
∵点D的横坐标为t，
∴点D（t，﹣3
4
t+9），点E（t，
3
8
t），
当t＜8时，d＝﹣3
4
t+9﹣
3
8
t＝﹣
9
8
t+9，
当t＞8时，d＝3
8
t+
3
4
t﹣9＝
9
8
t﹣9；
②∵以点H（1
2
，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点，
∴1
2
≤t≤1或
91
9
82
9
91
8
t t
t t
⎧
-+≤-
⎪⎪
⎨
⎪-+≥-
⎪⎩
，
∴1
2
≤t≤1或
76
17
≤t≤
80
17
．
【点睛】
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，不等式组的应用，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
27．（1）证明见解析；（2）DE＝BD＋CE；（3）B(1，4)
【解析】
【分析】
（1）证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE=BD，AD=CE，结合图形解答即可；
（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE=BD，AD=CE，结合图形解答即可；
（3）根据△AEC≌△CFB，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．【详解】
（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°
∵∠BAC＝90°
∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°
∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°
∴∠CAE ＝∠ABD
∵在△ADB 和△CEA 中
ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADB ≌△CEA （AAS ）
∴AE ＝BD ，AD ＝CE
∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE
即：DE ＝BD ＋CE
（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE
理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ，
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，
∴∠ABD=∠CAE ，
在△ABD 和△CAE 中，
ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）
∴AE=BD ，AD=CE ，
∴DE=AD+AE=BD+CE ；
（3）解：如图，作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，
由（1）可知，△AEC ≌△CFB ，
∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，
∴OF=CF-OC=1，
∴点B 的坐标为B （1，4）．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
28．（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+
【解析】
【分析】
（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；
（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．
【详解】
解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，
∴AC CB =，CD CE =，
又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，
∴ACD ECB ∠=∠，
∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．
②∵CDE ∆为等边三角形，
∴60CDE ∠=︒．
∵点A 、D 、E 在同一直线上，
∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，
又∵ADC BEC ∆∆≌，
∴120ADC BEC ∠=∠=︒，
∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．
③AD BE =
ADC BEC ∆∆≌，
∴AD BE =．
故填：AD BE =；
（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，
∴AC CB =，CD CE =，
又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，
∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，
∴ACD ECB ∠=∠，
在ACD ∆和BCE ∆中，
AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴E ACD BC ∆∆≌，
∴
ADC BEC ∠∠=．
∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，
∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．
②∵CDA CEB ∆∆≌，
∴BE AD =．
∵CD CE =，CM DE ⊥，
∴DM ME =．
又∵90DCE ∠=︒，
∴2DE CM =，
∴2AE AD DE BE CM =+=+．
故填：①90°；②2AE BE CM =+．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．
29．（1）y=43x+2；（2）（103
，10）；（3）存在， P 坐标为（6，6）或（6，
+2）或（6，
）．
【解析】
【分析】
（1）设直线DP 解析式为y=kx+b ，将D 与C 坐标代入求出k 与b 的值，即可确定出解析式；
（2）当点B 的对应点B′恰好落在AC 边上时，根据勾股定理列方程即可求出此时P 坐标； （3）存在，分别以BD ，DP ，BP 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P 坐标即可．
【详解】
解：（1）∵C （6，10）,D （0，2），
设此时直线DP 解析式为y=kx+b ，
把D （0，2），C （6，10）分别代入，得
2610b k b =⎧⎨+=⎩
， 解得432
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则此时直线DP 解析式为y=43
x+2； （2）设P （m ，10），则PB=PB′=m ，如图2，
∵OB′=OB=10，OA=6，
∴
，
∴B′C=10-8=2，
∵PC=6-m ，
∴m 2=22+（6-m ）2，解得m=103
则此时点P 的坐标是（
103
，10）； （3）存在，理由为：
若△BDP 为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当BD=BP 1=OB-OD=10-2=8，
在Rt △BCP 1中，BP 1=8，BC=6，
根据勾股定理得：CP 1228627-=
∴AP 17P 1（6，7）；
②当BP 2=DP 2时，此时P 2（6，6）；
③当DB=DP 3=8时， 在Rt △DEP 3中，DE=6，
根据勾股定理得：P 3228627-
∴AP 3=AE+EP 37，即P 3（6，7+2），
综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，7+2）或（6，7）．
【点睛】
此题属于一次函数综合题，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
30．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，
【解析】
【分析】
（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.
【详解】
（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .。