浙江省杭州二中2009届高三第六次月考(数学理)

浙江省杭州二中2009届高三年级第六次月考
数学试卷（理科）第I 卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则b = （
）
59(,)b i a ai a b R +=-+∈A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．命题“若，则”的逆否命题是
（ ）
a b >11a b ->-A ．若,则 B ．若,则11a b -≤-a b ≤a b <11a b -<-C ．若,则 D ．若,则11a b ->-a b >a b ≤11
a b -≤-3． 以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程为
（
）
3450x y -+=A ． B ． 2
2
(2)(1)3x y -++=22
(2)(1)3x y ++-=C ． D ． 2
2
(2)(1)9
x y -++=2
2
(2)(1)9
x y ++-=4． 函数的图象中相邻的两条对称轴之间的距离是
（ ）
22()cos sin 55
x x f x =+A ．　
B ．
C ．
D ． 5π2π52
π25
π
5．函数的定义域为,值域为,当变动时,函数的图象可以是( )
2x
y =[,]a b [1,16]a ()b g a =
6． 的化简结果是 （ ）
A ．
B ． 4cos 42sin 4-2sin 4
C ．
D ． 2sin 44cos 4-2sin 4
-7． 如图，已知球是棱长为1 的正方体的内切
O 1111ABCD A B C D -球，则平面截球的截面面积为 （ ）1ACD O A ．
B ．
6
π
3
π
C ．
D ．
8．
从正方体的8个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条,则这两条直线是异面直线的概率是
O A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
·
B
（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
189
29
63
29
63
34
7
49． 设a ，b ，m 为正整数，若a 和b 除以m 的余数相同，则称a 和b 对m 同余． 记作，(mod )a b m ≡已知，则b 的值可以是
1
2
2
4
2009
4018
200920092009333,(mod10)a C C C b a =+++≡ （
） A ． 1012
B ． 1286
C ． 2009
D ．8001
10．
已知为线段上一点，为直线外一点，满足，，
C AB P
AB 2PA PB -= PA PB -=
，为上一点，且PA PC PB PC PA PB
⋅⋅= I PC ，则的值为
（
）
()(0)AC AP BI BA AC AP λλ=++> BI BA BA
⋅
A ． 5
B ． 2
C ． 1
5-D ． 0
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．定义集合A*B ＝｛x |x A,且x B ｝，若A ＝｛1，3，5，7｝，B ＝｛2，3，∈∉5｝，则A*B= ．12．已知函数的零点有且只有一个，则2
2
()3()f x x a x a a R =++-∈a = ．
13．如上图所示算法程序框图中，令 ，tan 315,sin 315,a b ==
cos315c =
则输出结果为______．
14．设是正项等比数列，令，．如
{}n a n n a a a S lg lg lg 21+++= *
N n ∈∀果存在互异正整数，使得，则=______________．
n m 、m n S S =n m S +
第13题
15．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是
．
0024
x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩s 16．一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为，圆柱的体1V 积为，且，则 ．
2V 21kV V ==min k 17．集合的元子集中，任意两个元素的差的绝对值都不为，这{}1,2,3,,20S =⋅⋅⋅4{}1234,,,T a a a a =1样的元子集的个数为
． (用数字作为答案)
4T 三、解答题（本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（本题满分14分）一个袋子内装有若干个黑球，个白球，个红球（所有的球除颜色外其它均相32同），从中任取个球，每取得一个黑球得分，每取一个白球得分，每取一个红球得分，已知得20120分的概率为
，用随机变量表示取个球的总得分．6
1
ξ2 （Ⅰ）求袋子内黑球的个数； （Ⅱ）求的分布列与期望．
ξ19．（本题满分14分） 如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP//BC ，AP AB ，
⊥AB=BC=
，D 是AP 的中点，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将沿CD 折起，22
1
=AP PCD ∆使得平面ABCD ．
⊥PD （Ⅰ）求证：AP //平面EFG ； (Ⅱ) 求二面角的大小．D EF G --
A
G
20．（本题满分14分）数列中，其中且，是函数
{}n a 2
12,,a t a t ==0t ≠1t ≠x =
的一个极值点．
311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥（Ⅰ）证明: 数列是等比数列；1{}n n a a +-（Ⅱ）求．
n a 21．(本题满分15分)已知抛物线及定点P （0，8），A 、B 是抛物线上的两动点，且
y x 42
=。

过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．
)0(>=λλ（Ⅰ）证明：点M 的纵坐标为定值；
（Ⅱ）是否存在定点Q ，使得无论AB 怎样运动，都有？证明你的结论．
BQP AQP ∠=∠22．（本小题满分15分）设，记的最大值为M ．
()3
2
,[1,1]f x x ax bx c x =---∈-|()|y f x =（Ⅰ）当时,求M 的值；3
0,4
a c
b ===
（Ⅱ）当取遍所有实数时，求M 的最小值．
,,a b c （以下结论可供参考：对于，有，当且仅当同,,,a b c d R ∈||||||||||a b c d a b c d +++≤+++,,,a b c d 号时取等号）
2009届杭州二中高三年级第二学期第六次月考
数学试卷（理科）第I 卷（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

）
题
号
12345678910答
案
B A
C C B
D A
B
C
C
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11． 12．
13． （c 也可以） 14． 0
{1,7}
cos315
15． 或 16．
17． 0s <≤2s ≥4
3
4
4
172380
C =三、解答题（本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n ，则2251
(0)6
n n C p C ξ+===
化简得：，解得或（舍去），即有4个黑球
2
340n n --=4n =1n =-（Ⅱ） 11432911(0), (1),63C C p p C ξξ⋅=====211
3242911
(2)36
C C C p C ξ+⋅===
112322229911
(3), (4)636
C C C p p C C ξξ⋅======
∴的分布列为
ξ914361461336112311610=
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE 19．解:(Ⅰ) 证明:方法一)连AC,BD 交于O 点,连GO,FO,EO ．
∵E,F 分别为PC,PD 的中点,∴
//,同理//,
EF CD 21GO 1
2
CD //
EF ∴GO 四边形EFOG 是平行四边形, 平面EFOG ．
∴⊂∴EO 又在三角形PAC 中,E,O 分别为PC,AC 的中点,PA//EO
∴平面EFOG,PA 平面EFOG,
⊂EO ⊄PA//平面EFOG,即PA//平面EFG ．
∴方法二) 连AC,BD 交于O 点,连GO,FO,EO ．∵E,F 分别为PC,PD 的中点,∴//,同理//EF CD 21GE 12
PB 又//AB,//
CD EF ∴AB 2
1
平面EFG//平面PAB,
∴=⋂=⋂,,B AB PB E EF EG 又PA 平面PAB,平面EFG ．
⊄//PA ∴方法三)如图以D 为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系．
,,xyz D -ξ
012
34
P 613111
36
6
1
36
1
C
P
G
E
F
B
D
O
则有关点及向量的坐标为:
()()()()()()0,0,2,0,2,0,1,2,0,0,1,1,0,0,1,2,00.
P C G E F A ()()()
1,1,1,0,1,0,2,0,2-=-=-=设平面EFG 的法向量为()
z y x ,,=.
00000⎩⎨⎧==⇒⎩
⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴y z x z y x y 取．
()1,0,1=∵,()AP n AP n ⊥∴=⨯+⨯+-⨯=⋅,0210021又平面EFG ． AP//平面EFG ．
⊄AP ∴(Ⅱ)由已知底面ABCD 是正方形 ,又∵面ABCD
∴DC AD ⊥⊥PD 又PD AD ⊥∴D
CD PD =⋂平面PCD ,向量是平面PCD 的一个法向量, =⊥∴AD ∴DA DA ()
0,0,2又由(Ⅰ
)方法三
)知平面EFG 的法向量为()
1,0
,1=.2
2
2
22=
∴结合图知二面角的平面角为D
EF G --.
450
20．（1）由题意得即，
0,f '=1133[(1)]0n n n a t t a a -+-+-=，
11(),(2)n n n n a a t a a n +-∴-=-≥当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴1t ≠1{}n n a a +-2t t -t （2）即2
1
1(),n n n a a t t t
-+∴-=-11,n n n n a t a t ++-=-10,
n n a t a t ∴-=-=，此式对也成立．
()n n a t n N *∴=∈1t =21．解：（1）方法1：设，抛物线方程为，求导得，所以，过抛),(),,(2211y x B y x A 241x y =
x y 2
1
='物线上A 、B 两点的切线方程分别为：，，即
111)(21y x x x y +-=222)(2
1
y x x x y +-=，解得。

又，得
2
222114121,4121x x x y x x x y -=-=4
,2(2121x x x x M +)0(>=λλPB AP ，即)8,()8,(2211-=--y x y x λ⎩⎨⎧-=-=-)2()
8(8)1(212
1
y y x x λλ
将式（1）两边平方并代入得，再代入（2）得，解得2
222114
1,41x y x y ==
221y y λ=82=y λ且有，所以，点M 的纵坐标为-8。

λ
λ8
,821=
=y y 32422
221-=-=-=y x x x λλ方法2：（II ） ,AB x 直线与轴不垂直:8.AB y kx =+设1122(,),(,).
A x y
B x y ， ，2
8,
1.4
y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩由可得24320x kx --=124x x k +=1232
x x =-抛物线方程为211
,.42
y x y x '=
=求导得所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是， ，1112k x =
221
2
k x =221112221111
:();:()
4242
MA y x x x x MB y x x x x ∴-=--=-解得：221212
1221111448
4
M x x x x y x x x x -+===--即点M 的纵坐标为定值8
-（2）考虑到AB//x 轴时，显然要使，则点Q 必定在y 轴上，BQP AQP ∠=∠设点，此时，(0,)Q t 12
12
,AQ BQ y t y t
k k x x --=
=结合（1）中12124,32
x x k x x ∴+==-故对一切k 恒成立22
121212121212
()4()
4404AQ BQ x x t t
x x x x t x x k k x x x x --+-++=+==即：(8)0
k t +=故当，即时，使得无论AB 怎样运动，都有8t =-(0,8)Q -BQP
AQP ∠=∠22．解：(1)求导可得,
()2
311'33()(422
f x x x x =-=-+,当时取等号．
111max{|(1)|,|(|,|()|,|(1)|}224M f f f f =--=2
1
,1±±=x (2)，()()11414188,882822f f b f f b ⎛⎫
⎛⎫
--=---=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11
|(1)|;|(1)|;|()|;|(|
88M f M f M f M f ≥≥-≥≥- ()()11244|1|4|1|8||8|
|22M f f f f ⎛⎫
⎛⎫∴≥+-++- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
()()11|414188|622f f f f
⎛⎫
⎛⎫≥---+-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
因此， 。

14
M ≥
()'
11x -≤≤由（1）可知，当时，。

30,4a b ==,0c =1
4
M =。

()min 1
4
f x ∴=。