人教A版高中数学必修三试卷成都龙泉第一中学高级高二下期4月月考试题.docx

高中数学学习材料
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成都龙泉第一中学高2015级高二下期4月月考试题
数 学
第I 卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1.已知两个力1F 、2F 的夹角为90°，它们的合力F 的大小为10 N ，合力F 与1F 的夹角为60°，则1F 的大小为( B ) A.35 N B.5 N C.10N D.25 N
2.设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且，则点P 的坐标为（ C ）
A.(3,1)
B.(1,1)-
C.(3,1)或(1,1)-
D.无数多个
3.在△ABC 中,D 是BC 的中点,AB=4,AC=3,则=⋅BC AD ( C )
A. 7-
B. 2
C. 27-
D. 72
4．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( A )
A ．54
B ．62
C ．32
D ．1＋23
5．已知sin(π4－x )＝35
，则sin2x 的值为( D ) A ．1925 B ．1625 C ．1425 D ．725
6．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是( B ) A ． 2 B ．2 C ．4 D ．
22
7.已知a 、b 、c 是△ABC 中A 、B 、C 的对边，且1,5,25a b c ===，则△ABC 的面积S =（ B ） A.32
B.2
C.3
D.4 8． sin47°－sin17°cos30°cos17°
＝( C ) A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．32
9.若tan α＝2tan π5，则 cos (α－3π10)sin (α－π5
)＝( C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2(π4－B 2
)＋cos2B ，若f (B )－m <2恒成立，则实数m 的取值范围是( D )
A ．m <1
B ．m >－3
C ．m <3
D ．m >1
11．某人在C 点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10米到D,测得塔
顶A 的仰角为30°,则塔高为( C )
(A)15米 (B)5米 (C)10米 (D)12米
12.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量,其中,. 若
，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ A ）
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡上)
13．在ABC ∆中，已知 45,1,2===B c b ，则角C ＝ 300
14.若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 1200
15．函数f (x )＝sin x cos x ＋32
cos2x 的最小正周期和振幅分别是 π，1 16．设α、 β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β的值为__－1665
_． 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2α1－tan α
的值．
[解析] 因为cos α－sin α＝325，所以1－2sin αcos α＝1825，所以2sin αcos α＝725
. 又α∈(π，3π2)，故sin α＋cos α＝－1＋2sin αcos α＝－425
， ————5分 所以sin2α＋2sin 2α1－tan α＝(2sin αcos α＋2sin 2
α)cos αcos α－sin α＝2sin αcos α(cos α＋sin α)cos α－sin α
＝725×(－425)32
5
＝－2875. 10分 18．(本题满分12分)已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(cosA+1，3)，n ＝(sin A ，1)，且m //n ；
(1)求角A ； (2)若1＋sin2B cos 2B －sin 2B ＝－3，求tan C ． [解析] (1)∵m //n ∴3sin A －cos A ＝1, ————1分
2(sin A ·32－cos A ·12)＝1， sin(A －π6)＝12， ————4分 ∵0<A <π，－π6<A －π6<5π6， ∴A －π6＝π6.∴A ＝π3. ————6分 (2)由题知1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B ＝－3， ∴(cos B ＋sin B )2
(cos B ＋sin B )(cos B －sin B )
＝－3 ∴cos B ＋sin B cos B －sin B ＝－3 ∴1＋tan B 1－tan B
＝－3，∴tan B ＝2. ————9分 ∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝8＋5311
. ————12分 19．(本题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79
. (1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．
解析 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2
－2ac (1＋cos B )． 所以ac ＝9， ————3分
解得a ＝3，c ＝3. ————6分 (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429. 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223
. 因为a ＝c ，所以A 为锐角．所以cos A ＝1－sin 2A ＝13
. ————9分 因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos
A sin
B ＝
10227
. ————
12分 20.（理科）（本题满分12分） 已知向量
与向量的夹角为，其中A 、B 、C 是
ABC 的内角
（1）求角B 的大小； （2）求的取值范围．
解∵①…………………………………………1分
………………3分
∴2 化简得：
∴（舍去）或 ………………………5分
∴ ………………………6分
②…………8分
∵ ∴ ∴ ………12分
20．（文科）(12分)已知△ABC 的面积是30，其内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，且cos A ＝1213
. (1)求AB →·AC →
； (2)若c －b ＝1，求a 的值．
解析 由cos A ＝1213，得sin A ＝1－(1213)2＝513
. 又∵12
bc sin A ＝30，∴bc ＝156. ————3分 (1)AB →·AC →
＝bc cos A ＝156×1213
＝144————6分. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×(1－1213
)＝25. 又∵a >0，∴a ＝5. ————12分 21.（理科）（本题满分12分） 在四边形ABCD 中，12=AD ,5=CD ,10=AB ,AC DC DA =+,AB
在AC 方向上的投影为8；
（1）求BAD ∠的正弦值； （2）求BCD ∆的面积.
解：（1），， ———2分 在中，，，13 AC ，，， ——4分
在方向上的投影为8，，，———6分
， ——8分
（2），———9分
，————10分
———11分
———13分
21．（文科）(本题满分12分)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos2x .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间[0，π2
]上的最大值和最小值． [解析] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos2x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4
)＋1， ————5分
所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π. ————6分 (2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4
)＋1. 当x ∈[0，π2]时，2x ＋π4∈[π4，5π4
]，————8分 由正弦函数y ＝sin x 在[π4，5π4
]上的图象知， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8
时，f (x )取最大值2＋1；
当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2
时，f (x )取最小值0. 综上，f (x )在[0，π2
]上的最大值为2＋1，最小值为0. ————12分
22. （理科）（本题满分12分） 如图，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上， ，
，四边形的面积为S.
（1）求的最大值及此时θ的值0θ；
（2）设点的坐标为，，在（1）的条件下，求的值.
解：（1）由已知，、的坐标分别为（1，0）、，
，，又，
………… 3分
＝， ……………………… 4分
故时取最大值，所以. ……………………… 6分
（2），，∴ ……………………… 8分
∴＝＝－. ………………………………… 12分
22．（文科）(本题满分12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；
(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α、 β的值．
[解析] (1)由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2
＝2. ………………… 1分 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， ………………… 3分
所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0， …………………5分
故a ⊥b ． … ………………6分
(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，
所以⎩⎨⎧ cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，
…………………8分 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π， 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得， sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6. ………………12分。