济宁市曲阜师大附属实验学校2019-2020学年八年级下学期期中数学试卷(含解析)

济宁市曲阜师大附属实验学校2019-2020学年八年级下学期期中数学
试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 下列说法正确的是( ) A. 18的立方根是±12 B. −49的平方根是±7 C. 11的算术平方根是√11 D. (−1)2的立方根是−1
2. 如图，面积为12cm 2的△ABC 沿着BC 方向平移到△DEF 的位置，平移距
离是边BC 长的两倍，则图中四边形ABED 的面积为( )
A. 24 cm 2
B. 36 cm 2
C. 48 cm 2
D. 无法确
定 3. 下列解析式中，y 不是x 的函数的是( )
A. y =2x
B. y =x 2
C. y =±√x(x >0)
D. y =1
x 4. 如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，
已知DE =6，∠BAC +∠EAD =180°，则弦BC 的长等于( )
A. √41
B. √34
C. 8
D. 6
5. 已知直角三角形的两条直角边分别为3cm 和4cm ，则斜边上的中线等于( )
A. 2cm
B. 2.4cm
C. 2.5cm
D. 3cm 6. 如图，直线y =−34x +3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点P
是以C(−1,0)为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA ，PB ，则△PAB
面积的最小值是( )
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
7.下列各点中，在函数y=−图象上的是()．
A. (2,3)
B. (−2,−3)
C. (−2,3)
D. (−1,−6)
8.关于一次函数y=1−2x，下列说法正确的是()
A. 它的图象过点(1,−2)
B. 它的图象与直线y=2x平行
C. y随x的增大而增大
D. 当x>0时，总有y<1
9.AB=20，点P是斜边AB上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC(或边CB)于点Q，设
AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为()
A. B.
C. D.
10.如图，矩形ABCD中，CD=6，E为BC边上一点，且EC=2，将△DEC
沿DE折叠，点C落在点C′.若折叠后点A，C′，E恰好在同一直线上，
则AD的长为()
A. 8
B. 9
C. 48
5
D. 10
11.“既是轴对称图形，又是中心对称图形”，下列图形中不具备此特征的是()
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
12.一次函数y=−4x+2的图象不经过()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13.化简2√1
−√8=．
2
14.四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=√6，BC=
5−√3，CD=6，则AD=______．
15.如图所示，在△ABC中，CD为中线，在AC边上取点E，连接BE交CD于F，∠AEB=60°，
且BF−EF=AE.若CD=7√3，BF=10，则BC的长为______．
16.已知某一次函数满足下列两个条件，则该一次函数的表达式可以是______.(写出一个即可)
(1)图象过点(0,2)；(2)y的值随x值的增大而减小．
三、解答题（本大题共6小题，共68.0分）
17.化简
+√18
(1)√8−√1
2
(2)√27÷√3−√6×3√2．
18.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为5m，12m.现在要将绿地扩充成等腰三角形绿
地，且扩允部分是以12m为直角边的直角三角形，求扩充部分三角形绿地的面积．(如图备用)
19.如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，
点F落在AD上．
(1)求证：△ABF∽△DFE；
(2)若△BEF也与△ABF相似，请求出BC
的值．
CD
20.如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=3，OC=2，
过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作∠CPD=∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E．
(Ⅰ)若△APD为等腰直角三角形
①直接写出此时P点的坐标：______；直线AP的解析式为______．
②在x轴上另有一点G的坐标为(2,0)，请在直线AP和y轴上分别找一点M、N，使△GMN的
周长最小，并求出此时点N的坐标和△GMN周长的最小值；
(Ⅱ)如图2，过点E作EF//AP交x轴于点F，若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE的解析式．
21.新春佳节来临，某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要
求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：
苹果芦柑香梨
每辆汽车载货量(吨)765
每车水果获利(元)250030002000
(1)设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式，并直接写
出x的取值范围
(2)用w来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出w的最大值．
22.如图，P，Q分别是正方形ABCD边BC，DC上的两点，且∠PAQ=∠DAQ.
小亮认为利用旋转Rt△ADQ，可以推出PA=PB+DQ，他的想法正确吗？如果正确，请说明理由；如果不正确，请举出反例．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：解：A 、18的立方根是：12，故此选项错误；
B 、−49没有平方根，故此选项错误；
C 、11的算术平方根是√11，正确；
D 、(−1)2=1的立方根是1，故此选项错误；
故选：C ．
直接利用立方根以及平方根和算术平方根的定义判断得出答案．
此题主要考查了立方根以及平方根和算术平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键． 2.答案：C
解析：
本题考查了平移的性质，根据三角形的面积公式求出BC ·ℎ的值是解题的关键.设点A 到BC 的距离为h ，根据三角形的面积列出等式，再根据平移的性质判定出四边形ABED 是平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．
解：设点A 到BC 的距离为h ，
则S △ABC =12BC ×ℎ=12，
∴BC ×ℎ=24cm 2，
∵△DEF 是△ABC 平移得到，
∴四边形ABED 是平行四边形，
∵平移距离是BC 的2倍，
∴CF =2BC ，
又∵BC =EF ，
∴BE =CF ，
∴BE =2BC ，
∴四边形ABED 的面积=BE ×ℎ=2BC ×ℎ=2×24=48cm 2．
故选C ．
3.答案：C
解析：解：A选项符合函数的定义，不符合题意，故错误；
B选项符合函数的定义，不符合题意，故错误；
C选项不符合函数的定义，符合题意，故正确；
D选项符合函数的定义，不符合题意，故错误．
故选：C．
根据函数的定义可逐项判断求解．
本题主要考查函数的定义，一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们称y是x的函数，掌握函数的定义是解题的关键．4.答案：C
解析：
此题考查了圆周角定理、圆心角与弦的关系以及勾股定理．注意准确作出辅助线
是解此题的关键．首先延长CA，交⊙A于点F，易得∠BAF=∠DAE，由圆心角
与弦的关系，可得BF=DE，由圆周角定理可得：∠CBF=90°，然后由勾股定理
求得弦BC的长．
解：延长CA，交⊙A于点F，
∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，
∴∠BAF=∠DAE，
∴BF=DE=6，
∵CF是直径，
∴∠CBF=90°，CF=2×5=10，
∴BC=√CF2−BF2=8．
故选C．
5.答案：C
解析：
本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 解：由勾股定理得，斜边=√32+42=5(cm)，
所以，斜边上中线长=2.5cm ．
故选C ．
6.答案：A
解析：解：作CH ⊥AB 于H 交⊙O 于E 、F ．
∵C(−1,0)，直线AB 的解析式为y =−3
4x +3，
∴直线CH 的解析式为y =43x +43，
由{y =−34x +3y =43x +43解得{x =45y =125， ∴H(45,12
5)，
∴CH =√(45+1)2+(125)2=3， ∵A(4,0)，B(0,3)，
∴OA =4，OB =3，AB =5，
∴EH =3−1=2，
当点P 与E 重合时，△PAB 的面积最小，最小值=12×5×2=5，
故选：A ．
作CH ⊥AB 于H 交⊙O 于E 、F.当点P 与E 重合时，△PAB 的面积最小，求出EH 、AB 的长即可解决问题
本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．7.答案：C
解析：根据函数，得到xy=−6，只要将选项中的点的坐标代入上式验证即可．
∵函数中，xy=−6，
∴A.xy=2×3=6≠−6，则(2,3)不在函数的图象上，A错误；
B.xy=(−2)×(−3)=6≠−6，则(−2,−3)不在函数的图象上，B错误；
C.xy=(−2)×3=−6，则(−2,3)在函数的图象上，C正确；
D.xy=(−1)×(−6)=6≠−6，则(−1,−6)不在函数的图象上，D错误．
故选C．
8.答案：D
解析：解：A、当x=1时，y=−1.所以图象不过(1,−2)，故错误；
B、因为一次函数y=1−2x与直线y=2x的k不相等，所以它的图象不与直线y=2x平行，故错误；
C、因为k=−2，所以y随x的增大而减小，故错误；
D、因为y随x的增大而减小，当x=0时，y=1，所以当x>0时，y<1，故正确．
故选：D．
根据一次函数y=kx+b(k≠0)的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降进行分析即可．
此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b(k≠0)的性质．
9.答案：D
解析：解：根据题意，△APQ的面积变化趋势改变是点Q到达C点之后，故A、B排除当点Q在CB边上时，QP=tan∠B⋅(20−x)
则△APQ的面积为y=1
2tan∠B⋅x(20−x)=−1
2
tan∠B⋅x2+10tan∠B⋅x
由解析式可知，y时x的二次函数，且开口向下．故C排除．
故选：D．
根据图形和图象，点Q在AC上用时较长，排除A、B.利用∠B作为已知条件，求出y与x之间的函数关系排除C．
本题是动点问题的函数图象问题，解答时注意动点到达临界时图象变化趋势．
10.答案：D
解析：解：如图，连接AC′，
∵将△DEC沿DE折叠，
∴CE=C′E，∠C=∠DC′E=90°，
∵点A，C′，E恰好在同一直线上，
∴∠AC′D=90°
设AD=x，则BE=x−2，AB=DC=C′D=6，
∵AD//BE，
∴∠DAE=∠AEB，
又∵∠B=∠AC′D=90°，
∴Rt△AC′D≌Rt△EBA(AAS)，
∴BE=AC′=x−2，
在Rt△AC′D中，AD2=AC′2+C′D2，
即x2=(x−2)2+62，
解得x=10，
∴AD=10，
故选：D．
由勾股定理求得DE，再根据矩形的性质和折叠图形的性质证明Rt△AC′D≌△EBA，得出BE=AC′，然后在△AC′D中，用勾股定理列关系式，即可求出AD的长度．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明AC′=BE是本题的关键．
11.答案：A
解析：解：A.平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析得出答案．
此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．
12.答案：C
解析：解：∵一次函数y=−4x+2中，k=−4<0，b=2>0，
∴此函数的图象经过第一、二、四象限，
∴此函数的图象不经过第三象限．
故选：C．
先根据一次函数y=−4x+2判断出k、b的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，k<0时函数图象经过第二、四象限，b>0时函数图象与y轴相交于正半轴．
13.答案：−√2
解析：试题分析：先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
−2√2
原式=2×√2
2
=√2−2√2
=−√2．
故答案为：−√2．
14.答案：2√19
解析：
本题考查了矩形的判定和矩形对边相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中构造矩形AEFG是解题的关键．
作AE⊥BC，DF⊥BC，AG⊥DF，则四边形AEFG为矩形，AE=FG.EF=AG，因为△ADG为直角三角形，所以AD=√AG2+DG2，根据直角△AEB和直角△CDF即可求AE，BE，CF，FD．
解：作AE⊥BC，DF⊥BC，AG⊥DF，
则四边形AEFG四个内角均为直角，
∴四边形AEFG为矩形，AE=FG.EF=AG，
∠ABE=180°−135°=45°，∠DCF=180°−120°=60°，
∴AE=EB=√6×√2
=√3，
2
×CD=3，FD=√3CF=3√3，
CF=1
2
∴AG=EF=8，DG=DF−AE=2√3，
∴AD=√AG2+DG2=2√19，
故答案为2√19．
15.答案：2√67
解析：解：如图，延长BE至P，连接AP，过B作BQ⊥AC
于Q，过E作EM⊥AP于M，
∵BF−EF=AE，∴BF=EF+AE=EF+EP=FP
∴点F是BP的中点，
∵点D是AB的中点，
AP
∴DF//AP，DF=1
2
设AE=EP=m，则EF=10−m，
∵∠AEB=60°，∴∠P=∠EAP=30°
∵AP//CF
∴∠ACD=∠EAP=30°，∠CFP=∠P=30°
∴∠ACD=∠CFP ∴EF=CE=10−m，
∵EM⊥AP，∴EM=1
2m，AM=√3
2
m=MP，
∴AP=√3m，DF=√3
2
m，
∴CF=CD−DF=7√3−√3
2
m，∵△AEP∽△CEF
∴AP
CF =AE
CE
，即
√3m
7√3−√3
2
m
=m
10−m
，解得：m=6
∴BE=BF+EF=10+10−m=14
∵BQ⊥AC
∴∠BQC=90°
在Rt△BEQ中，∠AEB=60°，∴∠EBQ=30°
∴QE=1
2
BE=7
∴BQ=7√3
在Rt△BQC中，CQ=CE+EQ=4+7=11
∴BC=√BQ2+CQ2=√(7√3)2+112=2√67．
故答案为：2√67．
延长BE至P，连接AP，构造线段FP=AE+EF，过B作BQ⊥AC于Q，过E作EM⊥AP于M，构
造直角三角形，由三角形中位线性质可得：DF//AP，DF=1
2
AP，设AE=EP=m，证明△AEP∽△CEF，利用相似三角形性质建立关于m的方程求解，再利用含30°直角三角形性质和勾股定理即可求得BC．本题考查了全等三角形判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等知识点，解题关键正确添加辅助线构造直角三角形和相似三角形．
16.答案：y=−x+2(答案不唯一)
解析：解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵y随着x的增大而减小，
∴k<0，
∵图象过点(0,2)，
∴b=2，
∴符合条件的解析式可以为：y=−x+2．
故答案为：y=−x+2(答案不唯一)．
设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，再根据y随着x的增大而减小得出k的取值范围，把点(0,2)代入函数解析式得出b的值，写出符合条件的解析式即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k<0时，y随x的增大而减小是解答此题的关键．
17.答案：解：(1)原式=2√2−1
2√2+3√2=9
2
√2；
(2)原式=√9−3√12=3−6√3．
解析：(1)原式各项化为最简二次根式，合并即可得到结果；
(2)原式先计算乘除运算，合并即可得到结果．
18.答案：解：
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=12m，BC=5m，
∴AB=13m，
(1)如图1，当AB=AD时，CD=5m，
则△ABD的面积为：1
2BD⋅AC=1
2
×(5+5)×12=60(m2)；
(2)①图2，当AB=BD时，CD=8m，则△ABD的面积为：1
2BD⋅AC=1
2
×(5+8)×12=78(m2)；
78−30=48(m2)；
②若延长AC到D，使CD=AC=12m，则△ABD的面积为=1
2
AD×BC=60(m2)，60−30=30(m2)；
(3)如图3，当DA=DB时，设AD=x，则CD=x−5，
则x2=(x−5)2+122，
∴x=16.9，
则△ABD的面积为：1
2BD⋅AC=1
2
×16.9×12=101.4(m2)，
101.4−30=71.4(m2)；
答：扩充部分三角形绿地的面积是30m2或48m2或71.4m2．
解析：本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．
根据勾股定理求出斜边AB，(1)当AB=AD时求出CD即可；(2)当AB=BD时，分两种情况讨论求出CD、AD即可；(3)当DA=DB时，设AD=x，则CD=x−5，利用勾股定理求出即可．
19.答案：(1)证明：在矩形ABCD中，∠A=∠C=∠D=90°，
又由折叠的性质知△BCE≌△BFE，
∴∠BFE=∠C=90°，
∵∠2+∠3=∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠1，
∴△ABF∽△DFE；
(2)解：①当△ABF∽△FBE时，∠2=∠4．
∵∠4=∠5，∠2+∠4+∠5=90°，
∴∠2=∠4=∠5=30°，
∴设CE=EF=x，则BC=√3x，DE=1
2
x，
∴DC=3
2
x，
∴BC
CD =√3x3x
2
=2√3
3
；
②当△ABF∽△FEB时，∠2=∠6，∵∠4+∠6=90°，
∴∠2+∠4=90°，
这与∠2+∠4+∠5=90°相矛盾，∴△ABF∽△FEB不成立．
综上所述，BC
CD 的值是2√3
3
．
解析：(1)在△ABF与△DFE中的对应角∠A=∠D=90°，∠2=∠1，易证△ABF∽△DFE；
(2)需要分类讨论：①△ABF∽△FBE；②△ABF∽△FEB时求出BC
CD
的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质．解答(2)题时，要分类讨论，以防漏解．另外，解答(2)题时，充分利用了“相似三角形的对应角相等”的性质．
20.答案：(1,2)y=−x+3
解析：解：(Ⅰ)①∵矩形OABC，OA=3，OC=2
∴A(3,0)，C(0,2)，B(3,2)，
AO//BC，AO=BC=3，∠B=90°，CO=AB=2
∵△APD为等腰直角三角形
∴∠PAD=45°
∵AO//BC
∴∠BPA=∠PAD=45°
∵∠B=90°
∴∠BAP=∠BPA=45°
∴BP=AB=2
∴P(1,2)
设直线AP解析式y=kx+b，过点A，点P
∴{k+b=2
3k+b=0，
∴{k=−1
b=3，
∴直线AP解析式y=−x+3．
故答案为(1,2)，y=−x+3．
②作G点关于y轴对称点G′(−2,0)，作点G关于直线AP对称点G′′(3,1)
连接G′G′′交y轴于N，交直线AP于M，此时△GMN周长的最小．
∵G′(−2,0)，G′′(3,1)
∴直线G′G′′解析式y=1
5x+2
5
，当x=0时，y=2
5
，
∴N(0,
2
5
)
∵G′G′′=√26，
∴△GMN 周长的最小值为√26．
(Ⅱ)如图：作PM ⊥AD 于M
∵BC//OA
∴∠CPD =∠PDA 且∠CPD =∠APB
∴PD =PA ，且PM ⊥AD
∴DM =AM
∵四边形PAEF 是平行四边形
∴PD =DE
又∵∠PMD =∠DOE ，∠ODE =∠PDM
∴△PMD≌△ODE(AAS)，
∴OD =DM ，OE =PM
∴OD =DM =MA
∵PM =2，OA =3
∴OE =2，OM =2
∴E(0,−2)，P(2,2)
设直线PE 的解析式y =mx +n ，
则有{2m +n =2n =−2
， ∴{m =2n =−2
， ∴直线PE 解析式y =2x −2
(Ⅰ)①根据题意可求P(1,2)，用待定系数法可求直线AP 解析式
②作点G关于y轴的对称点G′(−2,0)，作点G关于直线AP的对称点G′′(3,1)，连接G′G′′交y轴于点N，交AP于M，根据两点之间线段最短，可得此时△GMN的周长最小，求出G′G′′解析式，可求N 点坐标和△GMN周长的最小值．
(Ⅱ)作PM⊥AD于M，可证AM=DM，由题意可证△DOE≌△DOM，可求EO=DM=2，OD=DM= AM=1，即可得E点，P点坐标，即可求直线EP解析式．
本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
21.答案：解：(1)设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，则运香梨的车辆(10−x−y)辆．7x+6y+5(10−x−y)=60，
∴y=−2x+10(2≤x≤4)；
(2)w=2500x+3000(−2x+10)+2000【10−x−(−2x+10)】，
即w=−1500x+30000，
当x=2时，w有最大值27000，
∴装运苹果的车辆2辆，装运芦柑的车辆6辆，运香梨的车辆2辆时，此次销售获利最大，最大利润为27000元．
解析：(1)设装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，则运香梨的车辆(10−x−y)辆．根据表格可列出等量关系式7x+6y+5(10−x−y)=60，化简得y=−2x+10(2≤x≤4)；
(2)由利润=车辆数×每车水果获利可得w=−1500x+30000，因为2≤x≤4，所以当x=2时，w 有最大值27000，然后作答即可．
本题考查了函数关系式以及函数最大值，根据题意找出对应变量之间的关系式解题的关键．
22.答案：解：想法正确，
理由如下：将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=90°，
∵将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
∴△ABE≌△ADQ，
∴∠DAQ=∠BAE，∠D=∠ABE=90°，∠E=∠DQA，
∴∠ABE+∠ABC=180°，
∴点E，点B，点C三点共线，
∵AB//CD，
∵∠E=∠AQD=∠BAP+∠PAQ，
又∵∠PAQ=∠DAQ，
∴∠PAQ=∠BAE，
∴∠PAE=∠BAE+∠BAP，
∴∠PAE=∠E，
∴PA=PE=PB+BE=PB+DQ．
解析：将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，由旋转的性质可得∠DAQ=∠BAE，∠D=∠ABE= 90°，∠E=∠DQA，由角的数量关系可证∠PAE=∠E，可得PA=PE=PB+BE=PB+DQ．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．。