函数定义域值域以及解析式的复习

函数复习语录天下：One needs 3 things to be truly happy living in the world: some thing to do, some one to love, some thing to hope for.知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(3)函数的三要素 、 和2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: 问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域2.求值域的几种常用方法（1）用非负数的性质，如y=-3x 2+2变式：y=5+21+x (x ≥-1).（2）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如函数4cos 2sin 2+--=x x y变式:12)(2--=x x x f（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

如求函数22122+-+=x x x y 的值域变式：22221x x y x x -+=++；（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域， 如求函数y=12++x x 的值域。

（5）利用函数的单调性求求值域：如求函数Y=053223=+-X X (X [0，5]的值域（6）换元法求值域 求函数y=x+x 14-的值.（7）图像法（主要适用于有绝对值的）如y= |x-1|+|x+3|（8）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y考点一：判断两函数是否为同一个函数[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2)(x x f =，33)(x x g =； （2）xx x f =)(，⎩⎨⎧<-≥=;01,01)(x x x g（3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；（4）xx f =)(1+x ，x x x g +=2)(；（5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g[新题导练]1． 下列函数中与函数x y =相同的是( ) A .y = (x )2; B. y =33t ; C. y =2x; D. y =xx 2考点二：求函数的定义域、值域 题型1：求有解析式的函数的定义域 [例2].求下列函数的定义域 （1）2134y x x =++- （2）121y x =+-题型2：求抽象函数的定义域 [例3]设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ）A . ()()4,00,4 -；B . ()()4,11,4 --；C . ()()2,11,2 --；D . ()()4,22,4 --[新题导练] 1.函数221()log (1)x f x x --=-的定义域为 ．2．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[,]a b ，则函数(1)y f x =-的值域为( )A ．[1,1]a b --；B ．[,]a b ；C ．[1,1]a b ++；D ．无法确定3． 若函数()y f x =的定义域是]3,1[，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是考点三：映射的概念[例5] （陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ） A ．7,6,1,4；B ．6,4,1,7；C ．4,6,1,7；D ．1,6,4,7 基础巩固训练1、设X=｛x|0≤x ≤2｝，Y=｛y|0≤y ≤1｝，则从X 到Y 可建立映射的对应法则是 （ ）（A ）x y 32=（B ）2)2(-=x y （C ）241x y = （D ）1-=x y 2、设),(y x 在映射f 下的象是)2,2(yx y x -+，则)14,6(--在f 下的象是 （ ）（A ）)4,10(- （B ）)7,3(-- （C ）)4,6(-- （D ）)27,23(--3、下列各组函数中表示同一函数的是 （ ）（A ）x x f =)(与2)()(x x g = （B ）||)(x x x f =与⎪⎩⎪⎨⎧-=22)(xxx g )0()0(<>x x（C ）||)(x x f =与33)(x x g = （D ）11)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t x g4、求函数)23(log 31-=x y 的定义域5、当k 为 时，函数34772+++=kx kx x y 的定义域为R ．6、函数)(x f 的定义域为R *，若对于定义域内任意的y x ,均有)()()(y f x f xy f +=，又已知a f =)2(，b )3(=f ，用b a ,表示)72(f 的值，)72(f =函数的表示方法知识梳理一、函数的三种表示法： 、 、1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法方法二：配凑法方法三：待定系数法变式：（1）设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .（2）设221)1(xx x x f +=+，求)(x f .（3）已知()f x 是一次函数，且满足３ｆ（ｘ）＝２ｘ＋９求()f x 。

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f热点考点题型探析 考点1：用图像法表示函数[新题导练] 1．函数|1|||ln --=x ey x 的图象大致是( )考点2：用列表法表示函数[例2] 已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为[新题导练]1、设f 、g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）： 映射f 的对应法则是表1原象 1 2 3 4 象3421映射g 的对应法则是表2则与)]1([g f 相同的是（ ）A ．)]1([f g ；B ．)]2([f g ；C ．)]3([f g ；D ．)]4([f gx1 2 3 ()f x131x1 2 3 ()g x321原象 1 2 3 4 象43122、二次函数c bx ax y ++=2（x ∈R ）的部分对应值如下表：x －3 －2 －10 1 2 3 4 y6－4 －6 －6 －46则不等式02<++c bx ax 的解集是考点3：用解析法表示函数题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式[例3] 设32)(+=x x f ，54)(-=x x g ，若)()]([x g x h f =，则=)(x h题型2：求二次函数的解析式[例4] 二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f ；求)(x f 的解析式。

题型3：由分段函数的解析式画出它的图象例6] 设函数54)(2--=x x x f ，在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像。

[新题导练]1．已知函数223(0)() 1 (0)x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()1f f =⎡⎤⎣⎦2．函数()x f y =的图象如图2所示.观察图象可知 函数()x f y =的定义域、值域分别是（ ） A.[][)6,20,5⋃-,[]5,0；B.[)[)+∞-,0,6,5 C.[][)6,20,5⋃-,[)+∞,0；D.[)[]5,2,,5+∞-3.(江西)已知函数bax xx f +=2)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.求函数f (x )的解析式基础巩固训练 1.函数y=x111+的定义域是（ ）。

（A ）{x| x ∈R, x ≠0} （B ）{x| x ∈R, x ≠1} （C ）{x| x ∈R, x ≠0,x ≠1} （D ）{x| x ∈R, x ≠0,x ≠－1}O-52 625xy图22.对于函数f(x)=ax 2+bx+c,(a )0≠ 若它的顶点的横坐标为1，则方程ax 2+bx+c ＝0的两根之和为（ ） A 0.5 B 1 C 2 D 4 6.已知函数x x x f 3)(2+-=，⎩⎨⎧-=212)(x x g )0()0(≤>x x 则=+-)]1([)1(f g g ______.7. 函数111)(++-+-=x x xxx f 的定义域是_____________ . 8.1)(2++=x x x f ，则)2(f = _________；=)1(af ；=-)(b a f ；=))2((f f9. 已知()x x x f 2122-=+，则()=2f。

10. 画出下列函数图象并有图象观察起定义域和值域。

（1）3+=x y （2）32-=x y考点4：分段函数题型1：根据分段函数的图象写解析式[例5] 为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒。

已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为ay -⎪⎭⎫ ⎝⎛=1161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。