数论综合测试

数论综合测试
1.求所有的正整数k,n使得
k!=
n
∏
i=1
(2n−2i−1).
2.设n为合数.证明:对任意正整数b,b n−1
b−1
不为某个素数的幂.
3.给定两两不同的正整数a1,a2,...,a k.记
A={x|存在正整数i=j,使得x=(a i,a j)或x=[a i,a j]}.
求|A|的最小值.
4.证明:对于任意素数p和不全相等的正整数b1,b2,...b p,存在正整数k,使得
(b1+k)(b2+k)···(b p+k)
不是正整数的方幂(即形如a b的数,其中b≥2).
5.定义rad(n)如下:rad(1)=1,若n>1,则rad(n)表示n所有素因子的乘积.已知数列{a n}满足:a1为正整数,且对任意正整数n,
a n+1=a n+rad(a n).
证明:无论a1如何取值,该数列中都存在连续2020项构成等差数列.
6.给定大于1的正整数n,k.设P(x)为n次整系数多项式,定义
Q(x)=P(P(···P(P(x))···)),
即P(x)迭代k次所得的多项式.考虑方程Q(x)=x,设其整数根个数的最大可能值为f(n,k).
(1)证明:若u为该方程的一个整数根,则P(P(u))=u.
(2)证明:若u,v为该方程的两个整数根,且P(u)=u,则P(u)+u=P(v)+v.
(3)证明:f(n,k)=n.
1。