高等有限元课后题答案

⾼等有限元课后题答案
2 弹性⼒学问题的有限单元法
思考题
2.1 有限元法离散结构时为什么要在应⼒变化复杂的地⽅采⽤较密⽹格，⽽在其他地⽅采⽤较稀疏⽹格？
答：在应⼒变化复杂的地⽅每⼀结点与相邻结点的应⼒都变化较⼤，若⽹格划分较稀疏，则在应⼒突变处没有设置结点，⽽使得所求解的误差很⼤，若⽹格划分较密时，则应⼒变化复杂的地⽅可以设置更多的结点，从⽽使得所求解的精度更⾼⼀些。

2.2 因为应⼒边界条件就是边界上的平衡⽅程，所以引⽤虚功原理必然满⾜应⼒边界条件，对吗？
答：对。

2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性⼒学中受内压和外压作⽤的圆环能⽤有限元⽅法求解吗？为什么？答：有限元法是⼀种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。

⽽应⼒边值问题没有确定的位移约束，不能⽤位移法求解，所以也不能⽤有限元法求解。

2.4 矩形单元旋转⼀个⾓度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？
答：能。

矩形单元的插值函数满⾜单元内部和单元边界上的连续性要求，是⼀个协调元。

矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转⼀个⾓度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。

因此矩形单元旋转⼀个⾓度后还能够保持在单元边界上的位移协调。

2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最⼤结点号与最⼩结点号的差有关。

计算：设半带宽为B ，每个结点的⾃由度为n ，各单元中结点整体码的最⼤差值为D ，则B=n(D+1)，在平⾯问题中n=2。

2.6为什么单元尺⼨不要相差太⼤，如果这样，会导致什么结果？答：由于实际⼯程是⼀个⼆维或三维的连续体，将其分为具有简单⽽规则的⼏何单元，这样便于⽹格计算，还可以通过增加结点数提⾼单元精度。

在⼏何形状上等于或近似与原来形状，减⼩由于形状差异过⼤带来的误差。

若形状相差过⼤，使结构应⼒分析困难加⼤，误差同时也加⼤。

2.7 剖分⽹格时，在边界出现突变和有集中⼒作⽤的地⽅要设置结点或单元边界，试说明理由。

答：有限元处于弹性⼒学问题的⽅法是离散法。

它将⼀个受外⼒作⽤的连续弹性体离散成⼀定数量的有限⼩的单元集合体，单元之间只在结点上相互联系，即只有结点才能传递⼒。

所以在边界出现突变和有集中⼒作⽤的地⽅要设置结点和单元边界。

2.8 为什么说三⾓形三结点单元是常应变单元，如果在每边中点增加⼀个结点，那么单元内应⼒如何分布？
答：(1)应变矩阵[B]中的参数m j i m j i c c c b b b 、、、、、由坐标变量x 、y 之差确定。

当单元的坐标差确定之后，这些参数与坐标变量x 、y ⽆关，因此[B]为常量阵。

当单元的结点位移{a}确定后，由[B]转换求得的单
元应变都是常量，也就是说在荷载作⽤下单元中各点具有统⼀的
xy y x γεε、
、
值。

因此三结点三⾓形单元称为常应变单元。

(2)如果在每边中点增加⼀个结点，单元内的应⼒为线性分布。

习题
2.1试证明x 、y 与⾯积坐标的关系证明:设P 点坐标为（x,y ）同理可求得：
由⾯积坐标定义得：
由此推出坐标y x 、与⾯积坐标的函数关系：
()()22j i i j j i i j i j j i m j j m m j m j m j j m A c L c L a c a c x b c b c A b L b L a b b a y b c b c ?-+-=
-
-+-?=?-?
式（2.1）
⾯积：
代⼊式（2.1）有：其中形状参数由下式确定：代⼊上式（2.1）可转化为：
再加上 m j i L L L ++=
1
所以⽤⾯积坐标表⽰直⾓坐标矩阵形式如下： 2.2 试证明两相似三⾓形的单元刚度矩阵相同。

证明：由于两个三⾓形相似，故设h A A =2
1
， h 为⼀常数。

三⾓形：()111121
i j ji i c b c b A -=
参数Λj i j i c c b b 、、、，只与坐标差有关，所以
单元刚度矩阵通式为：故[][]21rs rs K K =
所以
因此两相似三⾓形的单元刚度矩阵相同。

2.3 直⾓三⾓形固定在刚性基础上，受齐顶的⽔压⼒和⾃重作⽤，如图2.14所⽰。

若按⼀个单元计算，⽔的容重g γ，三⾓形平⾯构件容重g ρ,取泊松⽐v =1/6，试求顶点位移和固定⾯上的反⼒。

解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3建⽴坐标())0,0(3)3,0(20,21:a a xoy
（1）求形函数矩阵：图（2.14）形函数: 所以：形函数的矩阵为：
（2）刚度矩阵可得：
（3）位移列向量和右端项由边界条件可确定：{}
{}
T
e
u a 000022υ=
⽔压⼒和构件厚分别为：⾃重为
W 与⽀座反⼒：
所以：
{}T
y x y x e
W R h q R W h q W R R R ?
-+
=33
363
303011
由[]{}
{}
e
e
e
R a K =得到下列矩阵⽅程组：
化简得：
可得：
将?
22υu 代⼊下式：固定⾯上的反⼒：a h ga gh q 330===γγ
从⽽可得⽀座反⼒为：
2.4 试从式（2.69）说明对⾓线元素改1法只能⽤于给定零位移的情形，⽽对⾓元素充⼤数法可以适⽤任意指定位移的情形。

解：（1）在式（2.69）中，采⽤对⾓线元素改⼀法，则：
所以在式（2.69a ）中可改为：
需满⾜：
{}{}a b a a ''=
因为：ab K ]'[为⾮零矩阵所以：{}b a '应需为向量
则这种⽅法只能⽤于给定零位移。

（2）同上在式（2.69a ）中{}{}a K R aa a
''='α（其中α可取20
10
左右甚⾄更⼤的量级）
根据主元充⼤数：
{}a aa a K ']'[α》》{}b ab a K ']'[
由于所以右边近似等于{}a aa a K ']'[α所以左边等于右边
即主元充⼤数法满⾜任何给定位移（零值和⾮零值）
2.5 仿照例2.3，试证明矩形单元是完备协调元。

.
.
证明：在平⾯问题中，场函数为位移场函数，4结点矩形单元的位移插值函数为：
平⾯问题的泛函数中所包含的物理量的最⾼导数为
2阶，⽽位移
插值函数中包含的位移场函数（考虑到对称性，位移插值函数中只取了xy 项）及其直⾄2阶的完全多项式，所以是完备的。

要证明协调性，只需考虑单元边界上的连续性。

为此，参考上图，对于j-m 边的公共结点j ，m 的位移j u ，m u 完全确定，所以在边界上是
协调的。

2.6 仿照例2.3，试证明图2.15所⽰任意四边形单元在选取位移模式是完备的但不是协调的。

证明：完备性证明同2.5；
协调性：对于边i-j ，直线⽅程为Bx A y +=
所以代⼊上式，得:
公共边
i-j ，i ，j 两点的位移不能完全确定A '，B '，C '三个为未知量
故任意四边形单元是完备的但不是协调的。

2.7上端受均布荷载作⽤的墙体视为平⾯构件，如图2.16(a)所⽰，划分成为8个单元如图2.16(b)，试在图2.16(b)上画出边界条件和等效结点荷载；倘若利⽤对称性取⼀半，如图2.16(c)，试在图2.16(c)上画出边界条件和等效结点荷载。

设E=30Gpa ，v =1/6，均布荷载q=20KN/m ，试按图2.16(c)求构件的结点位移。

3单元和插值函数
思考题
3.1
什么是⾯积坐标？如何计算三⾓形内某点的⾯积坐标？
答：(1)如（a ）图所⽰，三⾓形内任⼀点P （x ，y ），将P 与三⾓形三个顶点i ，j ，m 连成3个三⾓形。

令i A 为i 点所对应三⾓形pjm 的⾯积，j A 为j 点所对应的三⾓形pmi 的⾯积，m A 为m 点所对应的三⾓形pij 的⾯积，⾯积坐标定义为：r L =r A /A （i ，j ，m ），其中A 为三⾓形ijm 的⾯积，点p （x ，y ）⽤⾯积坐标可以写为P （i L ，j L ，
m L ），且i L +j L +m L =1。

（2）求某点⾯积坐标除⽤定义外，还可⽤如图（b ）所⽰的⽅法，即三⾓形内某点的⾯积坐标可通过同底三⾓形的⾼度⽐来计算。

如图（b ）中的i L =h i /i H 。

（a ） (b) 图3.3 ⾯积坐标
3.2 什么是划线法？如何⽤划线法形成单元的插值函数？
答：（1）划线法是根据形函数的0-1特性，将需要等于零的各结点⽤直线连接起来（划线）；
（2）在该直线上为零，则在该直线上的各结点的值也为零，为此形函数⼀定包含了该直线⽅程的因⼦，将需要等于零的各个
3.3 下列平⾯单元的位移具有连续性吗？（1）平⾯三⾓形⼆次单元；
连续
（2）平⾯三⾓形三次单元；连续
（3）8结点矩形单元；连续
（4）8结点任意四边形单元。

连续
3.4 下列单元满⾜收敛的充分必要条件∑Ni=1吗？（1）平⾯三⾓形三次单元；满⾜（2）变结点单元；满⾜
（3）长⽅体20结点单元。

满⾜
3.5 对于⾮协调的薄板单元如何进⾏分⽚检验？
答：当赋予单元⽚各个结点以与常应变状态相应的位移值和载
荷值时，校验0)(m
1=-∑=e
i j
e e ij P a K 是否满⾜，如能满⾜则认为通过分⽚检验。

3.6
在平⾯壳单元中如何判别共⾯点？可⽤什么⽅法进⾏处理？
答：（1）在平⾯壳体单元中，如果某⼀点的各个单元⾯法向不同，经局部坐标转化到整体坐标后，该点的总体位移有6 个，若⽅向相同，常称此点为共⾯点。

（2）处理⽅法有两种：
i 、在局部坐标系内建⽴结点平衡⽅程，并删去zi θ⽅向的平衡⽅程，于是剩下的⽅程满⾜唯⼀解的条件。

ii 、在此结点上，给⼀任意的的刚度系数z k θ，这时在局部坐标系中，此结点在zi θ⽅向的平衡⽅程
经变换后，总体坐标中的系统⽅程满⾜唯⼀条件，它不影响单元应⼒。

习题
3.1
试利⽤⾯积坐标构造10结点三⾓形单元（图3.22）的9、10结点的插值函数。

解：利⽤划线法可得：)3
1
(1
3199-=L L L N α即 )3
1
32(323219-=α
所以 )13(2
9
)31(2271311319-=-=
L L L L L L N 所以 3211027L L L N = 3.2
利⽤构造变结点数单元插值函数的⽅法，构造图3.22所⽰三次三⾓形单元的插值函数，并和式（3.5）的结果进⾏⽐较。

解：由划线法可得
2
)4(1=
L 所以 13
2
04
'+=α 324-='α
0)5(1=N ，15=N ，其余点在5结点的形函数均为0，3
1
)
5(1=L 1(8)0N =，81N =，其余结点在8点的形函数为0，1(8)1
3
L =
1(9)0N =，91N =，其余点在9结点的形函数均为0，1(9)23
L =
∴923α'=- 同理 1013
α'=- 故 109854113
132313132N N N N N L N -----= 以此类推
经与式（3. 5）⽐较，所得结果相同。

3.3
利⽤构造变结点数单元插值函数的⽅法，构造图3.23中8、9结点单元的插值函数。

解：原8结点标准母单元的形函数为：
修
正8N
所以
图3.22 习题
图3.23 习题3.3图
3.4
（b ）所⽰五⾯ )1)(1(2
)1)(1)(1(288ξηηξηα+-=
++-=N
上三⾓形边内结点：下三⾓形边内结点：
1N 为没有7、8、9三点的1结点形函数
所以 )1(2
1)1)(12(212
1111ξξ--+-=L L L N
同理可求得经验证 115
1
=∑=i i
N
满⾜插值函数的性质。

3.4
试分析六结点三⾓形单元的协调性。

解：如下图所⽰，6结点三⾓形单元的位移插值函数为：设公共边2i j --的直线⽅程为： y=Ax+B 代⼊上式得：
由于1β'，2β'，3β'可由边界公共点2i j --的位移 i u ，2u ，j u 完全确定，所以在边界上是协调的。

3.5
如果三⾓形板单元的位移函数是
()2
2
3
2
2
3
123456789u x y x xy y x x y xy y
βββββββββ=+++++++++验证当单元的两边分别平⾏于坐标轴且长度相等时，决定参数β1，β2，……β9的代数⽅程组的系数矩阵是奇异的。

证明：
因为u ，v 与129,,...,βββ⽆关，故可写出129,,...,βββ的系数矩阵⽅程为：显然决定参数β2，……β9的代数⽅程组的系数矩阵是奇异的。

3.6
利⽤单元位移函数的完全性确定式（3.21）的常数C 的数值（提
⽰：常应变项可表⽰为112223331L L L L L L βββ++）。

3.7
图3.24所⽰圆柱⾯，⽤三⾓形平板薄壳单元剖分，是判断共⾯点与⾮共⾯点。

图3.24 ⽤三⾓形平板薄壳单元剖分的圆柱⾯
4 等参单元
思考题
4.9 为什么[]J 的⾏列式必须⼤于零？⼏何形状上应该如何？答：参数变换是⼀个对有限元⽹格的数学变换过程，只要数学上成⽴即可。

从数学只是可知，两个直⾓坐标之间⼀⼀变换成⽴的充要条件是
J >，因此等参变换也必须服从此条件。

如果
J =，则[]1
J -不存
在，产⽣导数和微元转换都不存在，变换不成⽴。

欲使0J >，应该保证单元形状是外凸的，不能出现内凹的现象。

⼀般说来，0J ≈会导致刚度矩阵奇异，要求单元的内⾓⼩于135o。

习题
4.1
4.5 证明：若在[-1,1]区间内的任意⼆次、三次曲线在±
线相交，则曲线下的⾯积和直线下的⾯积相等。

证明：（1）设任意⼆次曲线为12()()()P ξξξξξ=--，
则ξ=时，1
12121()()3P P ξξξξξ==+++，
ξ=
时，21212
1())3P P ξξξξξ==++
所以直线⽅程为：
在区间[-1,1]内的任意⼆次曲线下的⾯积为：直线下的⾯积为：
所以12A A =，即在[-1,1]区间内任意⼆次曲线下的⾯积和直线下的⾯积
（2）设任意三次曲线为123()()()()F ξξξξξξξ=---，
则
ξ=时，
111231223311231()(())3F F ξξξξξξξξξξξξξ==-++-++-，
ξ=
时，
所以直线⽅程为：
在区间[-1,1]内的任意三次曲线下的⾯积为：直线下的⾯积为：
所以12A A =，即在[-1,1]区间内任意三次曲线下的⾯积和直线下的⾯积相等；
4.6 试推导出⼀维3阶⾼斯积分点的位置及权系数。

解：对于n=3有：
三次多项式123()()()()P ξξξξξξξ=---，n=3, 积分点位置应该满⾜11
()0
i P d ξξξ-=?，有
i=0，11231
()()()0
d ξξξξξξξ----=?
i=1，11231()()()0
d ξξξξξξξξ----=? i=2，1
21231
()()()0
d ξξξξξξξξ----=?
得到联⽴⽅程：
求联⽴⽅程的解为1230.774596669241483
0ξξξ?=-==??
=??
积分权系数为，
1
11()n i
i
H l d ξξ
--=?
5 材料⾮线性有限元法
思考题
5.1 固体⼒学中有哪⼏类⾮线性问题？各有什么特点？
答：⼀类是不依赖于时间的弹塑性问题，其特点是当荷载作⽤后，材料⽴即发⽣变形，并且不再随时间⽽变化。

5.2 什么是⾮线性弹性？什么是塑性？什么是蠕变？他们之间的共同点和不同点是什么？
答：⾮线性弹性：材料的应⼒应变关系是⾮线性的，但卸载后所有的变形和位移都能恢复到原状态。

塑性：材料的应⼒应变关系是⾮线性的，他们之间也不再是单值对应的，⽽与变形历史有关，卸载后存在不可恢复的永久变形。

蠕变：荷载保持不变的条件下，材料变形随时间增长⽽增加称之为蠕变。

共同点：应⼒应变关系是⾮线性的。

不同点：⾮线性弹性的变形和位移能恢复到原状态，塑性变形和位移却不能；塑性变形不随时间⽽改变，⽽蠕变变形则随时间⽽改变。

5.3 什么是塑性⼒学的基本法则？它包括哪些内容？
答：塑性增量理论是塑性⼒学的基本法则；
它包括以下内容：①初始屈服条件，它是判断材料是否进⼊塑性阶段的标准；②加、卸载准则，它是判断材料处于塑性加载或弹性加、卸
载的条件；③流动法则，建⽴塑性应变增量⽅向（或塑性流动⽅向）与屈服函数或塑性势函数梯度⽅向之间关系的理论就成为塑性流动理论或塑性位势理论；④硬化法则：对于强化材料，硬化规律说明屈服⾯以何种运动规律产⽣硬化。

此外，塑性增量理论还要求材料在受⼒过程中符合能量守恒定律或热⼒学第⼀定律。

5.4 什么是塑性屈服准则？常⽤的有哪⼏种？适⽤于什么情况？答：根据不同的应⼒路径进⾏试验，确定出从弹性阶段进⼊塑性阶段的各个界限，在应⼒空间中，将这些屈服应⼒点连接起来，形成⼀个划分弹性阶段和塑性阶段的界⾯，成为屈服曲⾯。

描述这个屈服⾯的数学表达式称之为屈服函数或屈服准则。

常⽤的有⼀下⼏种：
①、Tresca 准则，只考虑了三个主应⼒中的两个主应⼒，材料⼒学中通常称为第三强度理论或最⼤切应⼒理论。

只适⽤于剪切屈服极限s τ为拉伸屈服极限s σ的⼀半的材料，即2s s B στ==；
②、Mises 准则，考虑了三个主应⼒的影响，也叫第四强度理论，只适⽤于s τ=0.577s σ的材料，即 1.733s s B στ==；
以上两个屈服准则都只适⽤于拉压强度相等的⾦属类材料。

③、Drucker-Prager 准则，对于Tresca 准则和Mises 准则都没有考虑静⽔压⼒对材料屈服强度的影响，⽽Drucker-Prager 准则考虑了静⽔压⼒的影响，该准则适⽤于混凝⼟和岩⼟累材料；
④、Mohr-Coulomb 准则，主要适⽤于剪切强度极限s τ与拉伸强度极
限tσ和压缩强度极限cσ的关系为
()()
s t c c t
τσσσσ
=+的材料。

⑤、统⼀强度理论，考虑了中间主应⼒及拉压异性对材料强度的影响，可以适⽤于包括岩⼟类、⾦属类等各种材料。

5.5 什么是塑性硬化法则？它有哪⼏种常⽤形式？各适⽤于什么情况？
答：塑性硬化法则是⽤来规定材料进⼊塑性变形后的后继屈服函数（⼜称为加载函数或加载曲线）在应⼒空间中变化的规则。

常⽤的形式为：
①、等向硬化法则（各向同性硬化法则）：假定后继屈服⾯的形状、中⼼和⽅位，与初始屈服⾯相同，其⼤⼩随着加⼯硬化过程，围绕其中⼼产⽣均匀的膨胀。

它适⽤于单调加载情形，如果⽤于卸载情形，它只适⽤于反向屈服应⼒数值上等于应⼒反转点的材料，⽽且这个模型便于数学处理；
②、运动硬化法则（随动硬化法则）：假定后继屈服⾯的⼤⼩、形状与初始屈服⾯相同，后继屈服⾯是由初始屈服⾯在塑性变形⽅向上形成。

它适⽤于随着塑性变形的发展，屈服⾯的⼤⼩和形状都不变，只是整体地在应⼒空间中作平移的情形；
③、混合硬化法则，适⽤于后继屈服⾯的形状、⼤⼩和位置⼀起随塑性变形的发展⽽变化的情形。