2非饱和水流运动基本方程
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Darcy’s Law of Soil Water Flow in Unsaturated Zone
非饱和土壤水分运动和饱和土壤水分运动一样，水分从水势高 处向水势低处运动。一般认为，适用于饱和水流动的达西定律 在很多情况下也同样适用于非饱和土壤水分流动。 1931年，Richards最早将达西定律引入非饱和土壤水流动。非 饱和土壤水分流动的达西定律:
Guelph土壤入渗仪
3.2 容水度(或比水容量)
单位基膜势(负压值)变化所引起土壤含水率的变化，一 般称为容水度或比水容量（C)，可以下式表示：
Ch d
dh
表示在单位压力水头降低时自单位体积土壤中所释放 出来的水的体积，它与饱和土壤的给水度相似。 用测水分特征曲线的方法来测定
3.3 土壤水分扩散度D
q K ( m ) 或 q K ( )
饱和土壤水分流动的达西定律:
qKsH
水势组成： 流动准则：
ψg :
饱和流
非饱和流
ψ =ψg +ψp
总水头
高
低
ψ =ψg +之高度
ψp:
至地下水面的高度
ψp= 0
ψm :
ψm = 0
ψm 取决于土壤的干湿程度
在不同的平均负压(吸力)值下，通量与负压梯度成正比，两者 呈直线关系，但其斜率(即水力传导度)随平均负压而变。
k (h)
h=-30cm h=-50cm
h
负压梯度△h/△x
3.1.2 饱和水力传 导度及其测定
双环入渗仪
The assumption is that the soil layer immediately below the ponded area is fully saturated and thus the matric potential is essentially zero. Common Steady Flow Analysis (Unit Gradient): Accounts only for the flow component due to gravity.
vy vx
vz
Δx
Δz
x
同理：
y
my(i
nou )tvyxyzt
y
m z(in o)u t v zz x y z t
m in-m out v xx v yy v zz x y z t
设六面体土壤含水量为，则t内六面体内土壤水质量变 化量为：
3.1 非饱和/饱和水力传导度
非饱和水力传导度及其测定 饱和水力传导度及其测定
3.1.1 非饱和水力传导度及其测定
非饱和水力传导度的概念及特征
是反映土壤水分在压力水头差作用下流动的性能。一般在 饱和土壤中导水率称为渗透系数，为常量。
定义：在单位水头差作用下，单位断面面积上流过的水流
通量。
用含水量θ为变量的基本方程
剖面二维：
t x D () x z D () z k (z )
垂向一维：
t zD()zk(z)
以含水量θ为变量的基本方程常用于求解均质土层或非饱和流 问题，但不适宜层状土壤或求解饱和-非饱和问题。
壤水通量q可由l端补给量或2端
溢出量测得，两者相等时，水流 处于稳定状态。 非饱和土壤水力传导度可由达西 定律求得。
k(h)qHqHqH X X
△x 多孔板
2
1
H1
H2
△H
平水 装置
计算的k是哪点的k? 试样中各点的是否相同？
通量 q h=-10hc=m0,k=k s
k(h)qHqHqH X X
第二章 非饱和土壤水流的基本方程
Chapter.2 Basic Equations of Soil Water Dynamics
§1 非饱和土壤水流的达西定律 §2 土壤水分运动参数及其测定方法 §3 非饱和土壤水运动的基本方程 §4土壤水分运动基本方程的定解条件 §5 土壤水分通量法
§1 非饱和土壤水流的达西定律
上式中
h h x x
h h y y
h h 代入上式有
z z
t x k () h x y k () h y z k () h z k ( z )
K(θ)
k()ksecs
k()ksm
n
k()
ks
s
r r
Brooks and Corey (BC) model:
非饱和水力传导度的测定
非饱和达西实验
在水平土柱两端有多孔板，分别 由平水箱保持一定水位，使其负 压为h1和h2，在梯度作用下，土 柱中土壤水从l端向2端运移。土
令 Dkh 则有
t x D () x y D () y z D () z k ( z)
D（θ）为土壤水的扩散率， Dk hkc
mxyzt
t
根据质量守恒原理有
m in-m ou t v x x v y y v zz x y z t
xyzt
t
即
t vxx
vy y
vz z
根据达西定律有:
基本方程的不同形式 t x k () H x y k () H y z k () H z
用基质势h为变量的基本方程
对于非饱和土壤水，总水头H由负压水头h和重力水头z组成：
Hhz
K:
ks，渗透系数=const. k(θ ) 为土壤含水率的函数
ks ≥k(θ)
θ ↗⇒k(θ ) ↗
§2 土壤水分运动参数及其测定方法
Parameters of Soil Water Movement and its measurement methods
3.1 非饱和/饱和水力传导度 3.2 容水度 3.3 土壤水分扩散度
则 (x+x)面流速为
(vx
vx x
x)；
y
vy vx
vz
Δx
Δz x
同理(y+y) 、(z+z) 面流速为：
(vy
vy y
y)
(vz
vz z
z)
z
m xi n vxyzt
m xou t(vx v xx x) y z t m x(in o)u t v xx x y z t
扩散率 D
土壤水分扩散度为单位含水率梯度下，通过单位面积的 土壤水流量，其值为土壤含水率的函数，即
DkhC k
土壤水分扩散度与土壤的关 系可用以下经验公式表示
Dabe
土壤体积含水量θ
§3 非饱和土壤水运动的基本方程 Basic Equations of Soil Water Movement in
c（h）表示比水容量（也称容水度）
ch
h
用基质势h为变量的基本方程
剖面二维： c h h t x k (h ) h x z k (h ) h z k ( z h )
垂向一维：
ch h tzk(h) h zk(zh)
初始条件（t＝０）
以垂向一维流动为例： (z,0)i(z);
h(z,0)hi(z) 边界条件
一类边界（变量已知边界）：(z0,t) 0(t);
h(z0,t) h0(t)
在一维垂向土壤水分运动中，一类边界的情况发生在： 地表形成积水时； h(z0,t)h0(t) 地表含水率达到饱和含水率； (z0,t)s(t)
Unsaturated Zone
理论基础：
达西定律 qk(h)H
质量守恒定律（水流连续原理）
3.1 直角坐标非饱和水分基本方程 3.2 柱坐标系非饱和水分基本方程（自学）
3.1直角坐标非饱和水分基本方程
基本方程推导
z
取微分单元体，体积：
xyz
设沿x、y和z方向流速分别为：
vx，vy，vz，
vx
kx()
H x
vy
ky()
H y
vz
kz
()
H z
将上式代入
t vxx
vy y
vz z
t x k x() H x y k y() H y z k z() H z
——非饱和土壤水运动基本方程，可简写为：
k()H
t
假定土壤各向同性，则有： k x k y () k z() k ()
t x k () H x y k () H y z k () H z
对上式求偏导,则有 H h H h
x x y y
H h 1 z z
故 t x k ( h ) h x y k ( h ) h y z k ( h ) h z K z h
令 hc(h)h
t ht
t
则有
c h h t x k ( h ) h x y k ( h ) h y z k ( h ) h z k ( z h )
qk(h)H
k(h) q H
qk()H
k() q
H
在非饱和土壤中，导水率是负压或含水率的函数，随着含
水率降低而减小。
不同质地土壤的非饱和 水力传导度
具有大孔隙粗质土壤，在吸力 作用下孔隙中水分很快排除， 导水率迅速下降；
而粘质细颗粒土壤，在较高吸 力下，许多小孔隙仍充满水， 仍具有一定的导水性能，导水 率下降较缓慢。
所以，同一吸力条件下，粘性 土的导水率可以大于砂性土的 导水率。
土壤非饱和导水率 K
砂质土 粘质土
土壤吸力S
Parametric Models for K(θ) \K(h)
K(h)
k(h)ksech
k(h) ahn a
k(h) h n b
van Genuchten-Mualem model:
其他形式的方程
以参数v 为变量的方程 以位置坐标z 为变量的方程 以参数u 为变量的方程
3.2 柱坐标系非饱和水分基本方程（自学）
其推导过程同直角坐标系，同样可以用达西 定律与连续方程相结合的方法导出
§4 土壤水分运动方程的定解条件 The Initial and Boundary conditions of Soil Water Basic Moves Equation
以基质势h为变量的基本方程，最突出的优点是适用于饱和非饱和问题的求解，也可用于分层土壤的水分运动的计算，但 非饱和土壤的导水率和容水度受滞后影响较大，计算中参数选 取不当会造成较大误差。
基本方程的不同形式
用含水量θ为变量的基本方程
t x k () h x y k () h y z k () h z K z
非饱和土壤水分运动和饱和土壤水分运动一样，水分从水势高 处向水势低处运动。一般认为，适用于饱和水流动的达西定律 在很多情况下也同样适用于非饱和土壤水分流动。 1931年，Richards最早将达西定律引入非饱和土壤水流动。非 饱和土壤水分流动的达西定律:
Guelph土壤入渗仪
3.2 容水度(或比水容量)
单位基膜势(负压值)变化所引起土壤含水率的变化，一 般称为容水度或比水容量（C)，可以下式表示：
Ch d
dh
表示在单位压力水头降低时自单位体积土壤中所释放 出来的水的体积，它与饱和土壤的给水度相似。 用测水分特征曲线的方法来测定
3.3 土壤水分扩散度D
q K ( m ) 或 q K ( )
饱和土壤水分流动的达西定律:
qKsH
水势组成： 流动准则：
ψg :
饱和流
非饱和流
ψ =ψg +ψp
总水头
高
低
ψ =ψg +之高度
ψp:
至地下水面的高度
ψp= 0
ψm :
ψm = 0
ψm 取决于土壤的干湿程度
在不同的平均负压(吸力)值下，通量与负压梯度成正比，两者 呈直线关系，但其斜率(即水力传导度)随平均负压而变。
k (h)
h=-30cm h=-50cm
h
负压梯度△h/△x
3.1.2 饱和水力传 导度及其测定
双环入渗仪
The assumption is that the soil layer immediately below the ponded area is fully saturated and thus the matric potential is essentially zero. Common Steady Flow Analysis (Unit Gradient): Accounts only for the flow component due to gravity.
vy vx
vz
Δx
Δz
x
同理：
y
my(i
nou )tvyxyzt
y
m z(in o)u t v zz x y z t
m in-m out v xx v yy v zz x y z t
设六面体土壤含水量为，则t内六面体内土壤水质量变 化量为：
3.1 非饱和/饱和水力传导度
非饱和水力传导度及其测定 饱和水力传导度及其测定
3.1.1 非饱和水力传导度及其测定
非饱和水力传导度的概念及特征
是反映土壤水分在压力水头差作用下流动的性能。一般在 饱和土壤中导水率称为渗透系数，为常量。
定义：在单位水头差作用下，单位断面面积上流过的水流
通量。
用含水量θ为变量的基本方程
剖面二维：
t x D () x z D () z k (z )
垂向一维：
t zD()zk(z)
以含水量θ为变量的基本方程常用于求解均质土层或非饱和流 问题，但不适宜层状土壤或求解饱和-非饱和问题。
壤水通量q可由l端补给量或2端
溢出量测得，两者相等时，水流 处于稳定状态。 非饱和土壤水力传导度可由达西 定律求得。
k(h)qHqHqH X X
△x 多孔板
2
1
H1
H2
△H
平水 装置
计算的k是哪点的k? 试样中各点的是否相同？
通量 q h=-10hc=m0,k=k s
k(h)qHqHqH X X
第二章 非饱和土壤水流的基本方程
Chapter.2 Basic Equations of Soil Water Dynamics
§1 非饱和土壤水流的达西定律 §2 土壤水分运动参数及其测定方法 §3 非饱和土壤水运动的基本方程 §4土壤水分运动基本方程的定解条件 §5 土壤水分通量法
§1 非饱和土壤水流的达西定律
上式中
h h x x
h h y y
h h 代入上式有
z z
t x k () h x y k () h y z k () h z k ( z )
K(θ)
k()ksecs
k()ksm
n
k()
ks
s
r r
Brooks and Corey (BC) model:
非饱和水力传导度的测定
非饱和达西实验
在水平土柱两端有多孔板，分别 由平水箱保持一定水位，使其负 压为h1和h2，在梯度作用下，土 柱中土壤水从l端向2端运移。土
令 Dkh 则有
t x D () x y D () y z D () z k ( z)
D（θ）为土壤水的扩散率， Dk hkc
mxyzt
t
根据质量守恒原理有
m in-m ou t v x x v y y v zz x y z t
xyzt
t
即
t vxx
vy y
vz z
根据达西定律有:
基本方程的不同形式 t x k () H x y k () H y z k () H z
用基质势h为变量的基本方程
对于非饱和土壤水，总水头H由负压水头h和重力水头z组成：
Hhz
K:
ks，渗透系数=const. k(θ ) 为土壤含水率的函数
ks ≥k(θ)
θ ↗⇒k(θ ) ↗
§2 土壤水分运动参数及其测定方法
Parameters of Soil Water Movement and its measurement methods
3.1 非饱和/饱和水力传导度 3.2 容水度 3.3 土壤水分扩散度
则 (x+x)面流速为
(vx
vx x
x)；
y
vy vx
vz
Δx
Δz x
同理(y+y) 、(z+z) 面流速为：
(vy
vy y
y)
(vz
vz z
z)
z
m xi n vxyzt
m xou t(vx v xx x) y z t m x(in o)u t v xx x y z t
扩散率 D
土壤水分扩散度为单位含水率梯度下，通过单位面积的 土壤水流量，其值为土壤含水率的函数，即
DkhC k
土壤水分扩散度与土壤的关 系可用以下经验公式表示
Dabe
土壤体积含水量θ
§3 非饱和土壤水运动的基本方程 Basic Equations of Soil Water Movement in
c（h）表示比水容量（也称容水度）
ch
h
用基质势h为变量的基本方程
剖面二维： c h h t x k (h ) h x z k (h ) h z k ( z h )
垂向一维：
ch h tzk(h) h zk(zh)
初始条件（t＝０）
以垂向一维流动为例： (z,0)i(z);
h(z,0)hi(z) 边界条件
一类边界（变量已知边界）：(z0,t) 0(t);
h(z0,t) h0(t)
在一维垂向土壤水分运动中，一类边界的情况发生在： 地表形成积水时； h(z0,t)h0(t) 地表含水率达到饱和含水率； (z0,t)s(t)
Unsaturated Zone
理论基础：
达西定律 qk(h)H
质量守恒定律（水流连续原理）
3.1 直角坐标非饱和水分基本方程 3.2 柱坐标系非饱和水分基本方程（自学）
3.1直角坐标非饱和水分基本方程
基本方程推导
z
取微分单元体，体积：
xyz
设沿x、y和z方向流速分别为：
vx，vy，vz，
vx
kx()
H x
vy
ky()
H y
vz
kz
()
H z
将上式代入
t vxx
vy y
vz z
t x k x() H x y k y() H y z k z() H z
——非饱和土壤水运动基本方程，可简写为：
k()H
t
假定土壤各向同性，则有： k x k y () k z() k ()
t x k () H x y k () H y z k () H z
对上式求偏导,则有 H h H h
x x y y
H h 1 z z
故 t x k ( h ) h x y k ( h ) h y z k ( h ) h z K z h
令 hc(h)h
t ht
t
则有
c h h t x k ( h ) h x y k ( h ) h y z k ( h ) h z k ( z h )
qk(h)H
k(h) q H
qk()H
k() q
H
在非饱和土壤中，导水率是负压或含水率的函数，随着含
水率降低而减小。
不同质地土壤的非饱和 水力传导度
具有大孔隙粗质土壤，在吸力 作用下孔隙中水分很快排除， 导水率迅速下降；
而粘质细颗粒土壤，在较高吸 力下，许多小孔隙仍充满水， 仍具有一定的导水性能，导水 率下降较缓慢。
所以，同一吸力条件下，粘性 土的导水率可以大于砂性土的 导水率。
土壤非饱和导水率 K
砂质土 粘质土
土壤吸力S
Parametric Models for K(θ) \K(h)
K(h)
k(h)ksech
k(h) ahn a
k(h) h n b
van Genuchten-Mualem model:
其他形式的方程
以参数v 为变量的方程 以位置坐标z 为变量的方程 以参数u 为变量的方程
3.2 柱坐标系非饱和水分基本方程（自学）
其推导过程同直角坐标系，同样可以用达西 定律与连续方程相结合的方法导出
§4 土壤水分运动方程的定解条件 The Initial and Boundary conditions of Soil Water Basic Moves Equation
以基质势h为变量的基本方程，最突出的优点是适用于饱和非饱和问题的求解，也可用于分层土壤的水分运动的计算，但 非饱和土壤的导水率和容水度受滞后影响较大，计算中参数选 取不当会造成较大误差。
基本方程的不同形式
用含水量θ为变量的基本方程
t x k () h x y k () h y z k () h z K z