基于马尔可夫模型的苹果树枝条生长仿真

基于马尔可夫模型的苹果树枝条生长仿真
熊瑛;张光年;郭新宇;陆声链
【摘要】以苹果树为研究对象,通过分析苹果树的生长规律和枝条的分枝模式,采用马尔可夫随机过程理论和隐式半马尔可夫模型建立了苹果树枝条分枝结构的随机模型.在此基础上,利用Visual C++平台结合OpenGL图形引擎实现了苹果树枝条生长过程的三维可视化仿真.模拟结果与观察结果相比较具有很好的一致性,说明提出的方法适用于描述苹果树枝条结构的发育过程,为果树数字化仿真研究提供了一种可行的技术手段.
【期刊名称】《农机化研究》
【年(卷),期】2009(031)007
【总页数】5页(P70-73,78)
【关键词】苹果树;马尔可夫模型;随机过程;三维可视化
【作者】熊瑛;张光年;郭新宇;陆声链
【作者单位】首都师范大学,信息工程学院,北京,100037;国家农业信息化工程技术研究中心,北京,100097;首都师范大学,信息工程学院,北京,100037;国家农业信息化工程技术研究中心,北京,100097;国家农业信息化工程技术研究中心,北京,100097【正文语种】中文
【中图分类】TP391.41
0 引言
果树的形态结构复杂，生长周期长，生长过程中还会受到人为管理措施的影响，因此虚拟果树的生长发育过程一直是植物生长建模研究的难点问题，而模拟果树枝条的分枝以及生长过程又是果树生长建模的基础。

果树和其它树木一样，其形态具有一定的分形特征。

因此，一些研究者用L系统来描述树木的形态特征。

例如，Gabriela Ochoa和Christian Jacob[1]利用L系统模拟树拓扑结构的演化过程；Mitch Allen[2]等人基于L系统模拟了桃树生长的过程；Julia Taylor-Hell[3]等人以季节为尺度，利用L系统构建了果树不同季节的生长模型。

利用L系统进行果树生长建模的优点是参数少，数学形式优美；但其缺点也很明显，如造型呆板，造型对参数变化很敏感，结果难以预测，不易控制等。

果树的分枝过程大多具有模式化的特点，如顶端优势现象，但同时也是多种因素(如营养状况、温度、光照、水分等等)共同作用的结果。

因此，分枝的发生与否可以看作一个随机事件，而随机过程模型，尤其是马尔可夫模型非常适合于这类分析[4]。

例如，M Jaeger和De Reffye[5]基于樱桃树发芽、生长、停止生长的生物周期，利用AMAP模型模拟了野黑樱桃树的生长过程；夏宁[6]等人利用马尔可夫模型建立了桃树修剪枝条分枝结构的随机模型。

本文正是在前人研究的基础上，通过分析苹果树枝条的分枝特点及生长规律，利用马尔可夫模型及其扩展形式来描述苹果树枝条的生长过程，结合OpenGL图形引擎实现苹果树枝条生长过程的可视化表达，系统参数简洁，生物意义明显。

1 苹果树的分枝特性
1.1 苹果树的枝条类型
苹果树枝条按长度的不同大致可分为3种：长枝(>15cm)、中枝(5～15cm)和短枝(<5cm)，如图1所示。

每个枝条上面又包括顶芽和腋芽[7]，顶芽和腋芽可以发育成长枝、中枝、短枝或者死亡。

按生长单元(Growth Unit，GU)分类，生长单元是指一个节上的芽在某一单位时间内产生的一系列节间和节的总称，枝条包括长生长
单元、中生长单元、短生长单元等[8]。

为了描述方便，下文中统一将生长单元用GU来表示。

图1 苹果树枝条类型示意图
1.2 苹果树的分枝方式
苹果树的分枝模式属于合轴分枝。

合轴分枝类树木中，顶芽发育到一定时间后将死亡，由靠近顶芽的腋芽代替顶芽，发育成新枝，继续主干的生长，由此形成多个弯曲的主轴，没有明显的主干，整个树冠呈开张状。

2 基于随机过程的苹果树分枝模型的建立
2.1 马尔可夫和隐式半马尔可夫随机模型基本原理
马尔可夫模型的特点是当随机过程在时刻tn-1的状态已知的条件下，它在时刻tn 所处的状态仅与时刻tn-1的状态有关，而与过程在tn-1以前的状态无关。

设随
机过程{x(t)，t∈T}的状态空间为I，对时间T内的任意n个数值t1<t2<…<tn
(n≥3，ti∈T) 在x(ti)=ti时的条件分布函数恰等于x(tn)=tn时的条件分布函数，
称过程{x(t)，t∈T}有马尔可夫性。

隐式半马尔可夫模型是在马尔可夫过程基础上发展而来的。

由于实际问题比马尔可夫过程所描述的复杂，观测到的事件并不是与状态一一对应的，而是通过一组概率分布相联系的，这样的模型就称为隐式半马尔可夫模型。

其基本思想是：假设在两个连续的时间内，从状态i到状态j的转移概率是pij。

停留在状态j的时间u是由状态占据分布随机决定的，即
dj(u)=P(St+u+1≠j,St+u-v=j,v=0,…,u-2|St+1= j,St≠j),u=1,2,…)。

然后，状态按照转移概率转移到另一个状态(Pj0,…,Pjk,…,PjJ-1)。

隐式半马尔可夫
模型实际包括两个随机过程。

其中，一个过程是马尔可夫链，用来描述状态的转移；另一个随机过程描述状态和观察值之间的统计关系。

隐式半马尔可夫是属于离散时间、离散状态空间的随机过程，适合于描绘不同的随机时间序列。

2.2 基于马尔可夫和隐式半马尔可夫模型的苹果树分枝模式的模拟
果树枝条发育过程中具有显著的马尔可夫链性质，这是由于枝条营养状况等确定性关系和发育过程中很多非确定性随机关系迭加的结果。

在模拟苹果枝条发育过程中，把枝条上芽的各种发育形式设想为系统中的各种状态，因为母枝上不同芽发出一年生枝是一个随机事件，每个随机事件处于特定的状态，所以分枝过程可以用马尔可夫随机过程理论来模拟。

苹果树分枝模式的模拟主要是确定苹果树枝条上顶芽和腋芽的发育情况。

顶芽的分枝状态较为简单，可用马尔可夫模型来描述；腋芽的分枝过程包含的状态相比顶芽复杂而且多变，需利用隐式半马尔可夫模型理论描述。

本文构建模型所使用的数据是引用Costes等人[9-10]采集的苹果树生长数据。

苹果树顶芽发出一年生枝包含的状态大致有以下4种：长GU、短GU、中GU和死亡。

各GU之间的转换通过马尔可夫链的“状态转换图”(如图2所示)直观描述。

而除了主干以外各层树枝的初始GU的状态是由下面要描述的隐式半马尔可夫链确定。

基于Costes等人对苹果树生长数据的分析，本文将短GU和其它类型GU的死亡率分别设为0.3和0.1。

图2 顶芽的马尔可夫链状态转换图
苹果树腋芽的分枝过程包含了许多复杂的状态。

例如，某一GU (枝条类型大部分
为中枝) 分枝大部分为休眠芽的GU，随后的状态很有可能同时包含长GU和中
GU[11]，这样就需要用隐式半马尔可夫链来描述腋芽生长情况。

隐式半马尔可夫
链包含4个参数子集：初始概率(在某个GU中初始状态发生的概率)，状态转移矩阵(GU之间的状态转移概率)，占据分布(每个状态所包含个类型枝条节点的数量)，观察分布(各个GU中不同分枝枝条类型所占的比例)。

腋芽分枝模式的隐式半马尔可夫链如图3所示。

图3 腋芽的隐式半马尔可夫链
3 系统实现
3.1 枝条的几何建模
苹果枝条的几何形状采用圆台体表示，由枝条的起始结点空间位置、起始结点切线、起始结点处半径、结束结点空间位置、结束结点切线和结束结点处半径(设置为起
始结点处半径与半径缩减因子的乘积)6个参数控制。

其中，起始结点位置和其切线、结束结点位置和其切线确定了圆台体的形状，起始结点半径和结束结点半径确定了圆台体的起始半径和结束半径。

每段枝条的起始和结束节点的空间位置如何获得是整体模拟的关键。

本文采用如下方法(如图4所示)：苹果树树干的方向为Y轴方向，α表示当前枝绕母枝方向和垂直母枝方向所确定的法线方向的角度，即侧枝角度，β表示当前枝绕母枝旋转的角度，枝条方向就是由α和β联合决定的。

其中，已生成枝条的方向角度值存放于树型数据结构中，分枝后的角度可由上述角度决定的旋转变换获得，旋转矩阵可由式(1)计算。

则有
(1)
图4 苹果树枝条方向
3.2 枝条的生长模拟
苹果树枝条生长模拟的关键是确定枝条上顶芽和腋芽在一年分枝时发育成什么类型的GU状态。

本系统通过马尔可夫和隐式半马尔可夫随机过程来描述苹果树分枝结构，通过先前确定的马尔可夫和隐式半马尔可夫模型中的各GU之间的转移概率来确定苹果树芽每年生长的结果，总体结构流程如图5所示。

首先设置苹果树枝条
的初始参数，包括6个几何参数和枝条的分枝级次，主干设置为0次，如图6所示。

其次数越大，枝条生长速度设置的越慢，这样能够达到苹果树的真实生长模拟效果。

接着通过循环判断枝条上芽的类型，针对顶芽和腋芽的状态分别结合马尔可
夫链和隐式半马尔可夫链来计算芽生长所得的GU状态，然后根据特定状态生成的分枝各种参数值，并用树型数据结构保存；最后绘制树型数据结构里的数据生成动态苹果树枝条形态结构。

图5 枝条生长模拟流程图
图6 苹果树枝条层级表示
在枝条生长过程中，枝条的长度和半径都会发生变化。

本系统中通过在每次生长间隔设置枝条长度的动态增长值来实现枝条的增长，而半径的增长是根据其子枝的半径来动态改变的[12]，如图7所示，并使用Da Vinci[12]提出的普遍适用树木的方程式，即
(2)
因此，随着各个枝条长度和半径的连续变化就能实现枝条形状连续生长的过程。

基于以上描述的方法，在Visual C++平台上采用OpenGL图形引擎，开发了苹果树枝条生长仿真系统，利用该系统实现了苹果树枝条生长过程的仿真。

图8模拟
的是苹果树枝条动态生长过程，图9显示苹果树包含叶片的形态。

仿真结果与图1相比较说明本文提出的模型能够真实再现苹果树枝条的形态结构，并能反映苹果树枝条生长变化的规律，为苹果树枝条生长的数字化和可视化表达提供了一种有效的途径。

图7 子枝半径r1和r2决定母枝半径r0
图8 苹果树枝条动态生长过程
图9 包含树叶的苹果树造型
4 结论
马尔可夫和隐式半马尔可夫模型是描述性的模型，对其所描述的生物现象进行解释，通过与观察结果比较有好的一致性，是模拟植物分枝过程的一种有效办法。

本文利
用马尔可夫随机过程理论建立的果树分枝数学模型能够综合考虑影响果树结构发育的各种随机因素，建立较为准确、客观、具有普适性的数学模型，远较简单的分枝概率指标全面，并且通用性
强，可灵活地扩展到其它果树树种、品种的分枝结构模拟研究。

研究者可借助该模拟系统了解苹果树枝条生长规律，辅助进行果树初期形状的管理修剪措施的制定等。

此外，系统仿真结果在一定程度上反映了苹果树枝条的生长机理，因此本文的方法对于虚拟育种、虚拟施肥、虚拟农林实验等也具有一定的理论参考价值。

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