高中数学人教B版必修五课件2.1.2 数列的递推公式(选学)ppt版本

2.1.2 数列的递推公式(选学)
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再见
2019/11/21
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跟踪演练 1
a1＝1n＝1， 设数列{an}满足an＝1＋an1－1n≥2.
列的前 5 项.
解 由题意可知 a1＝1，a2＝1＋a11＝1＋11＝2，
a3＝1＋a12＝1＋12＝32，a4＝1＋a13＝1＋23＝53，
a5＝1＋a14＝1＋35＝85.
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解 ∵f(x)＝log2x－lo2g2x，又∵f( 2an )＝2nm， ∴log22an－log222an＝2n，即 an－a2n＝2n. 整理得 an 2－2nan－2＝0，∴an＝n± n2＋2. 又0<x<1，故0< 2an <1，于是an<0， ∴an＝n－ n2＋2(n∈N＋).
2.数列的表示方法 数列的表示方法有列举法 、通项公式法 、图象法 、列表法 、 递推公式法 .
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预习导学
挑战自我，点点落实
要点一 由递推公式写出数列的项 例1 已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并 归纳出数列的一个通项公式. (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)；
故它的一个通项公式为an＝n＋2 1. 规律方法 (1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各 部分的关系，依次代入计算即可. (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后 面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后 面的项表示前面的项的形式.
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课堂小结 1.递推公式的理解与应用 (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有 的数列都有递推公式. (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和 通项公式一样都是关于项数n的恒等式，如果用符合要 求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.
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3.用火柴棒按下图的方法搭三角形：
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按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之 间的关系式可以是_a_n_＝__2_n_＋__1_.
解析 a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝ 9，…，∴an＝2n＋1.
＝(n－1 1－1n)＋(n－1 2－n－1 1)＋…＋(21－13)＋(1－12)＋1 ＝－1n＋1＋1＝2－1n＝2n－ n 1(n∈N＋).
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要点三 数列与函数的综合应用
例3 f(x)＝log2x－lo2g(20x<x<1)，且数列{an}满足f( 2)an ＝2n(n∈N＋). (1)求数列{an}的通项公式；
an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa32·aa21·a1
来求
an.
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跟踪演练2 已知数列{an}，a1＝1，以后各项由an＝an－1＋ nn1－(1n≥2)给出. (1)写出数列{an}的前5项； 解 a1＝1；a2＝a1＋2×1 1＝32；a3＝a2＋3×1 2＝53； a4＝a3＋4×1 3＝74；a5＝a4＋5×1 4＝59.
n－1n ∴当n≤4时， 2 ≤6，an＝
n－1n 当n≥5时， 2 ≥10，an＝
(n 1)n

1 2
≥ 2
，
1 64
(n 1)n

1 2
≤ 2
1 1. 024
∴从第5项开始各项均小于
1
1 00. 0
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规律方法 由递推公式求通项公式的技巧
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(2)判断数列{an}的增减性.
解
aan＋n 1＝n＋1n－－
n＋12＋2 n2＋2
n＋ n2＋2
＝
<1.
n＋1＋ n＋12＋2
∵an<0，∴an＋1>an， ∴数列{an}是递增数列.
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规律方法 数列是一类特殊的函数，用函数与方程的 思想处理数列问题.在判断数列{an}的单调性时，可以 用作差法或作商法.
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(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列 的任何一项和所需的项. (4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算 也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者 得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列.
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4.已知：数列{an}中，a1＝1，an＋1＝n＋n 1an (1)写出数列的前5项；
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(2)猜想数列{an}的通项公式. 解 (1)a1＝1，a2＝1＋1 1×1＝12，a3＝1＋2 2×12＝13，a4＝1＋3 3×13＝14，
a5＝1＋4 4×14＝15. (2)猜想：an＝1n .
写出这个数
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要点二 由递推公式求通项 例2 已知数列{an}满足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N， n≥2). (1)求数列{an}的通项公式；
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解 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa32·aa21·a1
＝(12)n－1·(12)n－2·…·(12)2·(12)1·1
解 ∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1； a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4； a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9； a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16. 故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.
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想一想数列有哪些表示方法？
答案 数列的项与对应的序号能构成函数关系.数列的一般形式可
以写成：a1，a2，a3，…，an，….除了列举法外，数列还可以用公 式法、列表法、图象法来表示.
[预习导引]
1.递推公式 如果已知数列的第1项 (或前几项)，且从第二项(或某一项)开始 的任一项an与它的 前一项an－1 (或前几项)间的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
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(2)求数列{an}的通项公式. 解 由 an＝an－1＋nn－1 1得 an－an－1＝nn1－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝nn－1 1＋n－11n－2＋…＋3×1 2＋2×1 1＋1
2.1 数 列
2.1.2 数列的递推公式(选学)
[学习目标]
1.理解递推公式是数列的一种表示方法. 2.能根据递推公式写出数列的前n项. 3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
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1.数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( B ) A.an＋1＝an＋n，n∈N＋ B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2 C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2 D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
[知识链接]
1.数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有的性质有
(_1_)_确__定__性__；__(2_)_可__重__复__性__；__(_3_)有__序__性__；__(_4_)_数__列__中__的__每__一__项__都__是__数__.
2.数列的项与对应的序号能否构成函数关系？类比函数的表示方法，
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(2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2. 解 ∵a1＝1，an＋1＝22＋anan， ∴a2＝22＋a1a1＝23，a3＝22＋a2a2＝12， a4＝22＋a3a3＝25，a5＝22＋a4a4＝13， ∴它的前 5 项依次是 1，23，12，25，13.
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它的前 5 项又可写成 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 1＋1 2＋1 3＋1 4＋1 5＋1
a2＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4) ＝f(1)＋f(3)＋f(1)＋f(2)
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＝1＋3＋a1＝6. a4＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(16)＝86. (2)写出an与an－1的一个递推关系式(注：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝4n－1). 解 an－1＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2n－1)， an＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2n)， ＝f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(2n－1)＋f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(2n) ＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2n－1)， ∴an＝an－1＋4n－1(n≥2).
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n n∈N＋，n为奇数，
跟踪演练 3
函数 f(n)＝ n f2
n∈N＋，n为偶数.
数列{an}的通项an＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2n)(n∈N＋). (1)求a1，a2，a4的值； 解 a1＝f(1)＋f(2) ＝f(1)＋f(1)＝2.
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2.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此
数列的通项an等于( D )
A.n2＋1
B.n＋1
C.1－n
D.3－n
解析 ∵an＋1－an＝－1.∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋… ＋(an－an－1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n.
2.数列的通项公式与递推公式的作用和联系
通项公式
递推公式
通项公式是给出数列的主要形式， 数列的递推公式是给出数 作 由通项公式可求出数列的各项及指 列的另一重要形式.由递
用 定项，也可以解决数列的性质问题 推公式可以依次求出数列
(如增减性，最值等).
的各项.
联 系
数列的通项公式与递推公式有时可以相互转化，如数列1,3,5， …，2n－1，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)，用递推 公式表示为a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋).
(n 1)n
＝(12)1＋2＋…＋(n－1)＝
1 2

2
，
(n 1)n
∴an＝
1 2

2
.
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(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于1 0100？ 解 ∵bn＝n－21n＝12(n－12)2－18，
∴n∈N＋时，bn递增，即{an}为递减数列，
(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考
查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧.
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(2)当an－an－1＝f(n)且满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1
－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1来求an.
(3)当 an ＝f(n)且满足一定条件时，常用 an－1