2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第四章 导数应用

1.2 函数的极值
[学习目标] 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
知识点一 函数的极值
(1)极大值：在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都不大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值.
(2)极小值：在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都不小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值. (3)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 思考 极大值一定大于极小值吗？ 答案 不一定.
知识点二 求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：
(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值. (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值.
题型一 求函数的极值
例1 求函数f (x )＝2x
x 2＋1－2的极值.
解 函数的定义域为R .
f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)
(x 2＋1)2.
令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
由上表可以看出：
当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. 反思与感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.
跟踪训练1 已知a 是函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A.－4 B.－2
C.4
D.2
答案 D
解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增；
当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2. 题型二 利用函数极值确定参数的值
例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；
(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，
∴x ＝±1是方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，
由根与系数的关系，得⎩⎨⎧
－2b
3a ＝0， ①c
3a ＝－1 ②
又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－3
2.
(2)f (x )＝12x 3－3
2
x ，
∴f ′(x )＝32x 2－32＝3
2(x －1)(x ＋1)，
当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，
∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1,1)上是减函数，
∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.
反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.
跟踪训练2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝x 0处取得极大值5，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求： (1)x 0的值； (2)a ，b ，c 的值.
解 (1)由图像可知，在(－∞，1)上f ′(x )＞0，在(1,2)上f ′(x )＜0，在(2，＋∞)上f ′(x )＞0.
故f (x )在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f (x )在x ＝1处取得极大值，所以x 0＝1.
(2)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5， 得⎩⎪⎨⎪
⎧
3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，
解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12.
题型三 函数极值的综合应用 例3 设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .
(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；
(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围.
(1)解 由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，切线斜率k ＝f ′(0)＝b . 又f (0)＝c ，所以切点坐标为(0，c ).
所以所求切线方程为y －c ＝b (x －0)，即bx －y ＋c ＝0. (2)解 由a ＝b ＝4得f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ∴f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4＝(3x ＋2)(x ＋2) 令f ′(x )＝0，得(3x ＋2)(x ＋2)＝0，
解得x ＝－2或x ＝－2
3，
f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：
所以，当c ＞0且c －32
27＜0时，存在x 1∈(－∞，－2)，
x 2∈⎝⎛⎭⎫－2，－23，x 3∈⎝⎛⎭
⎫－2
3，＋∞， 使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝⎛⎭⎫0，32
27时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.
反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图像与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数. 跟踪训练3 已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1). (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围.
解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1
x －3，f ′(1)
＝－2，f (1)＝0，曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0.
(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a （x －1）x ＋1>0，设g (x )＝ln x －a （x －1）
x ＋1，则
g ′(x )＝1x －2a
（x ＋1）2
＝x 2＋2（1－a ）x ＋1x （x ＋1）2
，g (1)＝0.
(ⅰ)当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增， 因此g (x )>0；
(ⅱ)当a >2时，令g ′(x )＝0得，
x 1＝a －1－（a －1）2－1，x 2＝a －1＋（a －1）2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0，综上，a 的取值范围是(－∞，2].
等价转化思想的应用
例4 已知函数f (x )＝1
3ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，
且0＜x 1＜1＜x 2＜2. (1)证明：a ＞0；
(2)求z ＝a ＋2b 的取值范围.
分析 (1)对原函数求导，将导函数问题转化为由二次函数的根的分布探求开口方向的问题，从而证得a ＞0；
(2)利用x 1，x 2为导函数的两个根，将0＜x 1＜1＜x 2＜2等价转化为不等式组，利用线性规划求a ＋2b 的最大值与最小值.
(1)证明 由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根.
由题意，得f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b ， 所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2).
由题意，知在x ＝x 1的左侧有f ′(x )＞0. 由x －x 1＜0，x －x 2＜0，得a ＞0.
(2)解 由题意，得0＜x 1＜1＜x 2＜2等价于 ⎩⎪⎨⎪
⎧
f ′(0)＞0，f ′(1)＜0，f ′(2)＞0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
2－b ＞0，a －2b ＋2－b ＜0，4a －4b ＋2－b ＞0，
整理，得⎩⎪⎨⎪
⎧
2－b ＞0，a －3b ＋2＜0，
4a －5b ＋2＞0.
此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，如图所示.△ABC 的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫
47，67，B (2,2)，C (4,2).由(1)知a ＞0，则z ＝a ＋2b 分别在A ⎝⎛⎭⎫47，67，C (4,2)处取得最小值16
7
和最大值8.即z ＝a ＋2b 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫167，8.
1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图像如图所示，则函数f (x )( )
A.无极大值点，有四个极小值点
B.有三个极大值点，两个极小值点
C.有两个极大值点，两个极小值点
D.有四个极大值点，无极小值点 答案 C
解析 f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值，f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图像易知有两个极大值点，两个极小值点.
2.已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极值情况为( ) A.极大值为4
27，极小值为0
B.极大值为0，极小值为4
27
C.极大值为0，极小值为－4
27
D.极大值为－4
27，极小值为0
答案 A
解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ，根据题意，知x ＝1是函数的一个极值点，则
⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3－2p －q ＝0，f (1)＝1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
p ＝2，q ＝－1，
所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.
令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，易判断当x ＝13时，f (x )有极大值为4
27，当x ＝1时，f (x )有极小
值为0，故选A.
3.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A.－1<a <2 B.－3<a <6
C.a <－1或a >2
D.a <－3或a >6 答案 D
解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0，
解得a >6或a <－3.
4.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________. 答案 9
解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .
由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a
18＝1，
所以a ＝9.
5.已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，若函数f (x )在x ＝1处取得极值－4
3，则b ＝
________，c ＝________. 答案 －1 3
解析 f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取得极值－4
3
，得⎩⎪⎨⎪⎧
f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝－1或⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝－1，
c ＝3.
若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，
则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 当－3＜x ＜1时，f ′(x )＞0， 当x ＞1时，f ′(x )＜0.
所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43.
故b ＝－1，c ＝3.
1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.
2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反.
3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题.。