[小初高学习]内蒙古包头市第四中学2016-2017学年高二数学上学期期中试题

包四中2016-2017学年度第一学期期中考试
高二年级数学试题
时间：120分钟 满分：150分 命题人 审题人： 一、选择题（每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项） 1．cos()6π
-的值是（ ）
A
B
． C ．12 D ．12
- 2．设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ） A ．ac bc > B ．11a b <
C ．阿
D ．33a b > 3．若1
tan()47
π
α+
=
，则tan α=（ ）
A.34
B.4
3
C.34-
D.43-
4．已知4=→a ，→e 为单位向量，当→
→e a ,的夹角为3
2π
时，→a 在→e 上的投影为（ ）
A. 2
B. 2-
C. 32
D. 32- 5．若不等式022>+-a ax x ，对R x ∈恒成立, 则实数a 取值范围为（ ） A
C
6．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若c o s c o s s i n b C c B a A +=
，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定 8．等差数列{}n a 的前n 项和分别为n S ，若
）
A ．1-
B ．1
C ．2
D 9．已知等比数列前n 项和为n S ，若42=S ,164=S ，则=8S （ ） A.160 B.64 C.64- D.160- 10．当19
1,
0,0=+>>y
x y x 时，y x +的最小值为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16
11．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g
的图象，只要将()x f y =的图象（ ）
B D
12．函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则()4
f π
的值为
（ ）
A ．0 C ．1 D 二、填空题(每小题5分，共20分)
13．若2(2,3),(4,5),a b x x a =-=-若∥b ，则x ＝ ．
14．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝b a ab ++2 ，则不等式x ⊙
）（2-x 0< 的解集是 ．
15．已知,2tan -=α=+ααsin cos ．
16．在数列{}n a 中，5611=a ，且n a a n n +=+1，则=1a . 三、解答题(本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（本题满分10分）已知向量a →
(1=，2)，b →
(3=-，4)．
（1）求a b →
→
+与a b →
→
-的夹角；
（2）若a →
(⊥a b λ→
→
+)，求实数λ的值．
18. （本题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，已知
41cos ,2,1=
==C b a .
（Ⅰ）求△ABC 的周长； （Ⅱ）求)cos(C A -的值．
19．（本题满分12分）已
知函数2()22sin f x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[0,]2
π
上的最大值和最小值．
20．（本题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100,9105==S a . （I ）求通项n a ； （II ）记数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 的前n 项和为n
T ，求数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-++111n n T S 的前n 项和为n U .
21．（本题满分12分）已知A 、B 、C 为三角形ABC 的三内角，其对应边分别为c b a 、、，若有c b C a +=2cos 2成立. （1）求A 的大小；
（2）若32=a ，4=+c b ，求三角形ABC 的面积.
22．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n n S a =-，数列{}n b 满足11=b ，
1873=+b b ，且112n n n b b b -++=（n ≥2）.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n
n
n a b c =
，求数列{}n c 的前n 项和n T .
包四中2016-2017学年度第一学期期中考试
高二年级数学试题
时间：120分钟 满分：150分 命题人：谢丹 审题人：吕文娟
一、选择题（每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项） 1．cos()6π
-的值是（ ）
A B ．．12 D ．12
- 【答案】A 【解析】
试题分析：根据诱导公式2
36cos 6cos =
⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ.故选A 考点：三角函数值的计算
2．设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ） A ．ac bc > B ．
11
a b
< C ．2
2
a b > D ．3
3
a b > 【答案】D 【解析】
试题分析：A 项，不确定c 的正负，故A 项错误；B 项，当0>a 时，0<b 不成立，故B 项错误；C 项，当0>a ，0<b ，||||a b >时，不成立，故C 项错误；D 项，数的奇数次方维持原有符号，故D 项正确.故本题正确答案为D. 考点：不等式的恒等变换.
3．若1
tan()47
π
α+
=
，则tan α=（ ）
（A ）34 （B ）4
3
（C ）34- （D ）43-
【答案】（C ） 【解析】
试题分析：由1tan()4
7π
α+
=
所以
tan 113
,tan 1tan 74
ααα+=∴=--.故选（C ）. 考点：1.角的和差公式.2.解方程的思想.
4．已知4=→a ，→e 为单位向量，当→
→e a ,的夹角为3
2π
时，→a 在→
e 上的投影为（ ）
A. 2
B. 2-
C. 32
D. 32- 【答案】Ｂ 【解析】
试题分析：，a 在e 上的投影为2cos ,41cos
23
a e a e a a e a
a e
e
π
⋅⋅〈〉==
=⨯⨯=-．
考点：向量的投影，向量的运算．
5．若不等式022>+
-a ax x ，对R x ∈恒成立, 则实数a 取值范围为（
） A
C 【答案】
D 【解析】
试题分析：由与不等式对应的二次函数图像可知需满足2044001a a a ∆<∴-<∴<< 考点：三个二次关系
6．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】C 【解析】
试题分析：作出可行域如图：
再作出目标函数线2y x =，并平移使之经过可行域，当目标函数线过点()2,1A -时纵截距最小但z 最大，此时()max 2215z =⨯--=.故C 正确. 考点：线性规划问题.
7．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若c o s c o s s i n b C c B a A +=
，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定 【答案】A 【解析】
试题分析：由于cos cos b C c B a +=，所以sin 1,2
A A π
==，所以是直角三角形.
考点：解三角形、正余弦定理．
8．等差数列{}n a 的前n 项和分别为n S ，若
）
A ．1-
B ．1
C ．2 D
【答案】B 【解析】
试题分析：据等差数列的前n 项和公式知()
()111611177411111172177711
2a a a S a a S a +===⨯=+，故本题选
B .
考点：等差数列前n 项和公式；等差数列的性质
9．已知等比数列前n 项和为n S ，若42=S ,164=S ，则=8S （ ） A.160 B.64 C.64- D.160- 【答案】A 【解析】
试题分析：由等比数列的性质可知2S 、42S S -、64S S -、86S S -成等比数列，因此
()
2
42S S -=
()()()2
2
4
226464
2
16436
4
S S S S S S S S ---⇒-==
=，同理可得
()2
2
6
486
42
3610812
S S S S S S --===-， 因此()()()8866442210836124160S S S S S S S S =-+-+-+=+++=，故选A. 考点：等比数列的性质
10．当19
1,
0,0=+>>y
x y x 时，y x +的最小值为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【答案】D 【解析】
试题分析：因为
19
1,
0,0=+>>y x y x 所以19
()()x y x y x y
+=++＝
910y x
x y
+
+10≥+=16. 考点：基本不等式的应用.
11．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g
的图象，只要将()x f y =的图象（ ）
B D
【答案】B 【解析】
试题分析：由于函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，所以2ω=.所以函数
()cos 2f x x = sin(2)2
x π
=+
.所以将函数()x f y =向右平移8π
即可得到
()sin(2)4
g x x π
=+
.故选B.
考点：1.函数的平移.2.函数的诱导公式.
12．函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则()4
f π
的值为
（ ）
A ．0 C ．1 【答案】C 【解析】
试题分析：由已知，4112,(),2,3126
A T ππ
πω==⨯-==，所以()2sin 2()f x x ϕ＝＋， 将(
),26π
代人得，()2,s 2si in(6)1n 23ππϕϕ==⨯＋＋，所以，,326
πππ
ϕϕ==＋，
()2sin 2()2sin 2(),()2co 64466
s f x x f πππππ
=⨯=＝＋＝＋C .
考点：正弦型函数，三角函数诱导公式. 二、填空题(每小题5分，共20分)
13．若2(2,3),(4,5),a b x x a =-=-若∥b ，则x ＝ ． 【答案】2或3 【解析】
试题分析：因为//a b ，所以222(5)34,560,x x x x x ⨯-=-⨯-+==2或3. 考点：向量平行坐标表示
14．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝b a ab ++2 ，则不等式x ⊙
）（2-x 0< 的解集是 ．
【答案】{}12<<-x 【解析】
试题分析：此题属于概念题，考查应变能力，难度不大.由定义可知，原不等式可化为
022)2(<-++-x x x x ，解之得12<<-x 。

考点：1.概念题；2.二次不等式.
15．已知,2tan -=α
=+ααsin cos ．
【解析】
试题分析：根据题意可得：22sin tan 2cos sin cos 1ααααα⎧
==-⎪
⎨⎪+=⎩，又2παπ<<可得，sin 0cos 0αα>⎧⎨<⎩
，解得：sin cos αα⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
sin cos αα+=． 考点：三角运算
16．在数列{}n a 中，5611=a ，且n a a n n +=+1，则=1a . 【答案】1
【解析】解：因为数列{}n a 中，5611=a ，且n a a n n +=+1，利用累加法得到数列
n 1(n 11)(n 1)
a a 2
-+-=
+，根据1111a 55a a 1=+∴=，因此选A
三、解答题(本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．（本题满分10分）已知向量a (1=，2)，b (3=-，4)． （1）求+a b 与-a b 的夹角；
（2）若a (⊥a λ+b )，求实数λ的值． 【答案】（1）+a b 与-a b 的夹角为4
3π
；（2）1λ=-. 【解析】
试题分析：（1）由条件中(1,2)a =，(3,4)b =-可求得(2,6)a b +=-与(4,2)a b -=-，从而可求得()()246(2)20a b a b +-=-⋅+⋅-=-，||40a b +=，||20a b -=，再由平面向量数量积的定义()()||||cos ,a b a b a b a b a b a b +-=+⋅-⋅<+->可求得
2
cos ,2
a b a b <+->=-
43π；（2）由()a a b λ⊥+可知()0a a b λ⋅+=，
再由已知条件(1,2)a =，(3,4)b =-可求得(13,24)a b λλλ+=-+，从而可以得到关于λ的方程13480λλ-++=即可解得1λ=-. 试题解析：（1）∵(1=a ，2)，(3=-b ，4)， ∴(2+=-a b ，6)，(4-=a b ，2)-， 2分
∴cos
<+->=
=
=a b a b ，； 5分 又∵(0,)π<+->∈，a b a b ，∴34
π
<+->=
a b a b ，； 6分 （2）当()λ⊥+a a b 时，()0λ⋅+=a a b ， 8分
∴(12)(1324)0λλ⋅-+=，
，，则13480λλ-++=，∴1λ=-． 12分 考点：平面向量的数量积.
18. （本题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，已知
41
cos ,2,1=
==C b a .
（Ⅰ）求△ABC 的周长； （Ⅱ）求)cos(C A -的值． 【答案】（Ⅰ）5（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（I ）利用余弦定理表示出c 的平方，把a ，b 及cosC 的值代入求出c 的值，从而求出三角形ABC 的周长；
（II ）根据cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，然后由a ，c 及sinC 的值，利用正弦定理即可求出sinA 的值，根据大边对大角，由a 小于c 得到A 小于C ，即A 为锐角，则根据sinA 的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA 的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值． 解：（I ）∵c 2
=a 2
+b 2
﹣2abcosC=1+4﹣4×=4， ∴c=2，
∴△ABC 的周长为a+b+c=1+2+2=5．
（II ）∵cosC=，∴sinC===．
∴sinA===．
∵a ＜c ，∴A ＜C ，故A 为锐角．则cosA==，
∴cos （A ﹣C ）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．
点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．
19．（本题满分12分）已知函数2()22sin f x x x =+．
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间[0,]2π
上的最大值和最小值．
【答案】（1）π；（2）3,0
【解析】
试题分析：（1）利用二倍角公式对原函数进行降幂，再利用辅助角公式进行化简，化简成
()2sin(2)16f x x π=-+，则周期22T ππ==；（2）利用换元法，将26
x π-当成一个整体，根据02x π≤≤，则52666x πππ-≤-≤，从而得出02sin(2)136
x π≤-+≤.
试题解析：（1）()21cos2f x x x +- 2分
2sin(2)16
x π=-+ 5分 ∴()f x 的最小正周期 22
T ππ==. 7分 （2）02x π≤≤，52666
x πππ∴-≤-≤ 1sin(2)126
x π∴-≤-≤ 4分 02sin(2)136
x π∴≤-+≤ ∴()f x 在区间[0,]2π
上的最大值是3，最小值是0. 6分
考点：1.二倍角公式；2.三角函数图像、性质与最值.
20．（本题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100,9105==S a 。

（I ）求通项n a ；
（II ）记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和为n T ，数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-++111n n T S 的前n 项和为n U ，求证：2<n U 。

【答案】解：（1）9415=+=d a a 100291010110=⨯+
=d a S ，（2分） 解得11=a ，2=d ，（4分）
()1211-=-+=n d n a a n ；
（6分） （2）()212n a a n S n n =+=，()21,+==n n T n n S n n ，（8分） ()()()()2
12211211+=++-+=-++n n n n n T S n n 。

()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+=-++111212111n n n n T S n n ，（10分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=111...413131212112n n U n 21112<⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=n （13分） 【解析】略
21．（本题满分12分）已知A 、B 、C 为三角形ABC 的三内角，其对应边分别为a ，b ，c ，若有2acosC=2b+c 成立.
（1）求A 的大小；（2）若32=a ，4=+c b ，求三角形ABC 的面积.
【答案】（1）32π=
A ，（2
）ABC S ∆. 【解析】
试题分析：（1）利用正弦定理边化角的功能，化2cos 2a C b c =+为2sin cos 2sin sin A C B C =+，结合sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+可得关于
角A 的余弦值，从而求出角A ；（2）由条件32=a ，4=+c b ，结合余弦定理，求得bc 的值，再结合上题中求得的角A ，利用1sin 2
ABC S bc A ∆=公式求得面积.要注意此小题中常考查b c +与bc 的关系：222()2b c b bc c +=++.
试题解析：（1）∵2cos 2a C b c =+，由正弦定理可知2sin cos 2sin sin A C B C =+①，而在三角形中有：sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+②，由①、②可化简得：2cos sin sin 0A C C +=，在三角形中sin 0C ≠，故得2
1cos -
=A ，又π<<A 0，所以32π=A . （2）由余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+=，得3
2cos 22)()32(22π⋅--+=bc bc c b ，即：)21(221612-⋅--=bc bc ，∴4=bc .故得：32
3421sin 21=⨯⨯==∆A bc S ABC . 考点：正弦定理，余弦定理，三角形两边一夹角的面积公式，化归与转化的数学思想.
22．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n n S a =-，数列{}n b 满足11=b ，
1873=+b b ，
且112n n n b b b -++=（n ≥2）.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .
【答案】（1）12211-==
-n b a n n n ，，（2）32)32(+⋅-=n n n T . 【解析】
试题分析：（1）由2n n S a =-及112n n S a --=-进行相减求得n a 与1n a -的关系，由等比数列定义可得数列｛n a ｝的通项公式，又由112n n n b b b -++=可知数列{b n }是等差数列，进而可求得其通项公式；（2）易得12)12(-⋅-==
n n n n n a b c ，其通项为等差乘等比型，可用错位相乘法求其前n 项和T n.
试题解析：（1）由题意知2n n S a =-①，当n ≥2时，112n n S a --=-②，①-②得11n n n n n a S S a a --=-=-，即12
1-=n n a a ，又1112a S a ==-，∴11a =，故数列{a n }是以1
为首项，
21为公比的等比数列，所以12
1-=n n a ，由112n n n b b b -++=（n ≥2）知，数列{b n }是等差数列，设其公差为d ，则9)(2
1735=+=b b b ，故12)1(24
115-=-+==-=n d n b b b b d n ，，综上，数列{a n }和{b n }的通项公式分别为12211-==-n b a n n n ，. （2）∵1
2)12(-⋅-==n n n n n a b c ，∴
12n n T c c c =+++12102)12(252321-⨯-++⨯+⨯+⨯=n n ③ n n n n n T 2)12(2)32(23212121⨯-+⨯-++⨯+⨯=- ④ ③-④得n n n n T 2)12()222(21121⋅--++++=-- ， 即32)32(2)12()22(21---=---+=-n n n n n n T ， ∴32)32(+⋅-=n n n T
考点：n a 与n S 的关系：11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，等差与等比数列的定义和通项公式，数列求和
方法：错位相减法.。