甘肃省定西市2019-2020学年高考数学一模试卷含解析

甘肃省定西市2019-2020学年高考数学一模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（ ）
A ．5
-
B C ． D 【答案】D 【解析】 【分析】
倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果. 【详解】
解：因为直线l 与直线230x y +-=垂直，所以1tan 12θ⎛⎫
⋅-
=- ⎪⎝⎭
，tan 2θ=.
又θ为直线倾斜角，解得sin =5
θ. 故选：D. 【点睛】
本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题. 2．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ） A ．0.02sin 360000y t = B ．0.03sin180000y t = C ．0.02sin181800y t
=
D ．0.05sin 540000y t =
【答案】C 【解析】 【分析】
由基本音的谐波的定义可得12()f nf n *
=∈N ,利用12f T ωπ
=
=可得12()n n ωω*
=∈N ,即可判断选项. 【详解】
由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波, 由12f T ωπ
=
=,可知若12()f nf n *=∈N ,则必有12()n n ωω*
=∈N ,
故选:C 【点睛】
本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.
3．已知12,F F 分别为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、
右两支分别交于,A B 两点，若2224
0,
5
BF AB BF AF ⋅==u
u u r u u u u r ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．13 B ．4
C ．2
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知得2AB BF ⊥，24BF x =，由已知比值得25,3AF x AB x ==，再利用双曲线的定义可用a 表示
出1AF ，2AF ，用勾股定理得出
,a c 的等式，从而得离心率． 【详解】
2220,0,0,90AB BF AB BF ABF ⋅=≠≠∴∠=︒u u u r u u u u r u u u r u u u u r Q .又224
5
BF AF =Q
，∴可令24BF x =，则25,3AF x AB x ==.设1AF t =，得21122AF AF BF BF a -=-=，即()5342x t x t x a -=+-=，
解得3,t a x a ==，∴24BF a =,116BF AB AF a =+=, 由2
2
2
1212BF BF F F +=得222(6)(4)(2)a a c +=，2213c a =，13c a =，∴该双曲线的离心率
13c
e a
=
=. 故选：A.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点,A B 到焦点的距离都用a 表示出来，从而再由勾股定理建立,a c 的关系．
4．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞
内单调递减，
(
a f =，sin 5
b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
2
314c f ⎛⎫⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则a ，b ，c 满足（ ） A ．a b c << B ．c a b <<
C ．b c a <<
D ．c b a <<
【答案】D 【解析】 【分析】
首先由函数为偶函数，可得函数()f x 在[)0,+∞
内单调递增，再由sin 5π⎛⎫
>- ⎪⎝⎭23
14⎛⎫> ⎪⎝⎭
，即
可判定大小 【详解】
因为偶函数()f x 在(],0-∞减，所以()f x 在[)0,+∞上增，
1>，1sin ,152π⎛⎫
⎛⎫
-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2
3110,42⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∴c b a <<.
故选：D 【点睛】
本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递，属于中档题.
5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S
，且()2
2a b c =+-，则sin 4C π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
（ ） A ．1 B
．
2
C
．
4
D
．
4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】
解：由()2
2a b c =+-，
得222
1sin 22ab C a b c ab =+-+，
∵ 2222cos a b c ab C +-=，
∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，
cos 1C C -=
即2sin 16C π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
则1sin 62
C π⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭， ∵ 0C π<<， ∴ 56
6
6
C π
π
π-
<-
<
， ∴ 6
6
C π
π
-
=
，即3
C π
=
，
则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12 故选D ． 【点睛】
本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．
6．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从
1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时
装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为
(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．
A ．(1)k n k -+
B ．(1)k n k --
C ．()n n k -
D ．()k n k -
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，分析该邮车到第k 站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，该邮车到第k 站时，一共装上了(21)(1)(2)()2
n k k
n n n k --⨯-+-+⋯⋯-=件邮件，
需要卸下(1)
123(1)2
k k k ⨯-+++⋯⋯-=件邮件， 则(21)(1)
()22
k n k k k k a k n k --⨯⨯-=
-=-，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题．
7．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i - B ．i
C ．1-
D ．1
【答案】D 【解析】 【分析】
由已知等式求出z ，再由共轭复数的概念求得z ，即可得z 的虚部. 【详解】
由zi ＝1﹣i ，∴z ＝
()()
111·i i i i i i i ---==--- ，所以共轭复数z =-1+i ，虚部为1 故选D ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．
8．设双曲线22
1x y a b
+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲
线的方程为（ ） A ．
2
25514
x y -= B ．2
2
5514
y x -
= C ．
2
25514
y x -= D ．2
2
5514
x y -
= 【答案】C 【解析】 【分析】
求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程22
1y x b a
-=-的渐近线方程为y =，由题意可得4b a =-，又21c =，即1b a -=，解得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程. 【详解】
解：抛物线2
4x y =的焦点为()
0,1
可得双曲线()22
10,0x y b a a b
+=><
即为22
1y x b a
-=-的渐近线方程为y =
2=，即4b a =- 又21c =，即1b a -=
解得15a =-
，45
b =. 即双曲线的方程为2
25514
y x -=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.
9．设2,(10)
()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩
,则(5)f =( )
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值． 【详解】
∵f （x ）()()()210610x x f f x x ⎧-≥⎪=⎨⎡⎤+⎪⎣⎦⎩
＜， ∴f （5）＝f[f （1）] ＝f （9）＝f[f （15）] ＝f （13）＝1． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．
10．集合{}
2,A x x x R =>∈，{
}
2
230B x x x =-->，则A B =I （ ） A ．(3,)+∞ B ．(,1)(3,)-∞-+∞U
C ．(2,)+∞
D ．(2,3)
【答案】A 【解析】 【分析】
计算()(),13,B =-∞-+∞U ，再计算交集得到答案. 【详解】
{}
()()2230,13,B x x x =-->=-∞-⋃+∞，{}2,A x x x R =>∈，故(3,)A B =+∞I .
故选：A . 【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题.
11．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6
x x f x x x ⎧+∈-⎪
=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值
范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．[)1,2
C ．[)1,+∞
D ．()0,1
【答案】C 【解析】 【分析】
先解不等式()2f x ≤，可得出89
x ≥-，求出函数()y f x =的值域，由题意可知，不等式
()()8
19
m f x -≥-
在定义域上恒成立，可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围. 【详解】
()()()[)3log 1,1,84,8,6
x x f x x x ⎧+∈-⎪
=⎨∈+∞⎪-⎩Q ，先解不等式()2f x ≤.
①当18x -<<时，由()()3log 12f x x =+≤，得()32log 12x -≤+≤，解得8
89
x -
≤≤，此时8
89
x -≤<； ②当8x ≥时，由()4
26
f x x =
≤-，得8x ≥. 所以，不等式()2f x ≤的解集为89x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭
.
下面来求函数()y f x =的值域.
当18x -<<时，019x <+<，则()3log 12x +<，此时()()3log 10f x x =+≥； 当8x ≥时，62x -≥，此时()(]4
0,26
f x x =
∈-. 综上所述，函数()y f x =的值域为[)0,+∞， 由于()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，
则不等式()()8
19
m f x -≥-在定义域上恒成立，所以，10m -≥，解得m 1≥. 因此，实数m 的取值范围是[
)1,+∞. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用函数不等式恒成立求参数，同时也考查了分段函数基本性质的应用，考查分类讨论思想的应
用，属于中等题.
12．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π
个单位长度 B ．向右平移3
π
个单位长度
C ．向左平移6
π
个单位长度 D ．向右平移6
π
个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】
先将2sin 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
化为2cos 26π⎡⎤
⎛⎫=-
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
y x ，根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【详解】
因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ⎡⎤⎛
⎫
⎛
⎫⎛⎫=+
=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦， 所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6
π
个单位. 【点睛】
本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-在区间(2,)-+∞上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围有___________.
【答案】0a =或1
2
a ≥ 【解析】 【分析】 函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-的零点⇔方程224x a x a -+=的根，求出方程的两根为14x a =-，20x =，从而
可得40a -=或42a -≤-，即0a =或12
a ≥. 【详解】 函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-在区间(2,)-+∞的零点⇔方程224x a x a -+=在区间(2,)-+∞的根，所以
|2|2||x a x a -=+，解得：14x a =-，20x =，
因为函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-在区间(2,)-+∞上有且仅有一个零点，
所以40a -=或42a -≤-，即0a =或12
a ≥. 【点睛】
本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论. 14．安排4名男生和4名女生参与完成3项工作，每人参与一项，每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则不同的安排方式共有________种（用数字作答）. 【答案】1296 【解析】 【分析】
先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，然后从4个女生选2个一组，将4人分成三组，然后全排列即可. 【详解】
由于每项工作至少由1名男生和1名女生完成，则先从4个男生选2个一组，将4人分成三组，所以男生
的排法共有234336C A =，同理女生的排法共有23
4336C A =，故不同的安排共有232343431296C A C A ⋅=种.
故答案为：1296 【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，考查了学生应用数学解决实际问题的能力.
15．如图所示，在直角梯形BCDF 中，90CBF BCE ∠=∠=o ，A 、D 分别是BF 、CE 上的点，//AD BC ，且22AB DE BC AF ===（如图①）.将四边形ADEF 沿AD 折起，连接BE 、BF 、CE （如图②）.在折起的过程中，则下列表述：
①//AC 平面BEF ；
②四点B 、C 、E 、F 可能共面；
③若EF CF ⊥，则平面ADEF ⊥平面ABCD ；
④平面BCE 与平面BEF 可能垂直.其中正确的是__________. 【答案】①③
【解析】 【分析】
连接AC 、BD 交于点M ，取BE 的中点N ，证明四边形AFNM 为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接DF ，证明出DF EF ^，结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误；假设平面BCE 与平面BEF 垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于命题①，连接AC 、BD 交于点M ，取BE 的中点M 、N ，连接MN 、FN ，如下图所示：
则1
2
AF DE =
且//AF DE ，四边形ABCD 是矩形，且AC BD M =I ，M ∴为BD 的中点， N Q 为BE 的中点，//MN DE ∴且1
2
MN DE =，//MN AF ∴且MN AF =，
∴四边形AFNM 为平行四边形，//AM FN ∴，即//AC FN ，
AC ⊄Q 平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AC ∴平面BEF ，命题①正确；
对于命题②，//BC AD Q ，BC ⊄平面ADEF ，AD ⊂平面ADEF ，//BC ∴平面ADEF ，
若四点B 、C 、E 、F 共面，则这四点可确定平面α，则BC α⊂，平面αI 平面ADEF EF =，由线面平行的性质定理可得//BC EF ，
则//EF AD ，但四边形ADEF 为梯形且AD 、EF 为两腰，AD 与EF 相交，矛盾. 所以，命题②错误；
对于命题③，连接DF 、CF ，设AD AF a ==，则2DE a =，
在Rt ADF ∆中，AD AF a ==，2
DAF π
∠=，则ADF ∆为等腰直角三角形，
且4
AFD ADF π
∠=∠=
，2DF a =
，4
EDF π
∴∠=
，且2DE a =，
由余弦定理得22222cos 2EF DE DF DE DF EDF a =+-⋅∠=，222DF EF DE ∴+=，
DF EF ∴⊥，又EF CF ⊥Q ，DF CF F =I ，EF ∴⊥平面CDF ，
CD ⊂Q 平面CDF ，CD EF ∴⊥，
CD AD ⊥Q ，AD 、EF 为平面ADEF 内的两条相交直线，所以，CD ⊥平面ADEF ， CD ⊂Q 平面ABCD ，∴平面ADEF ⊥平面ABCD ，命题③正确；
对于命题④，假设平面BCE 与平面BEF 垂直，过点F 在平面BEF 内作FG BE ⊥，
Q 平面BCE ⊥平面BEF ，平面BCE I 平面BEF BE =，FG BE ⊥，FG ⊂平面BEF ，
FG ∴⊥平面BCE ，
BC ⊂Q 平面BCE ，BC FG ∴⊥，
AD AB ⊥Q ，AD AF ⊥，//BC AD ，BC AB ∴⊥，BC AF ⊥，
又AB AF A =Q I ，BC ∴⊥平面ABF ，BF ⊂Q 平面ABF ，BC BF ∴⊥.
FG BF F =Q I ，BC ∴⊥平面BEF ，EF ⊂Q 平面BEF ，BC EF ∴⊥.
//AD BC Q ，EF AD ∴⊥，显然EF 与AD 不垂直，命题④错误.
故答案为：①③.
【点睛】
本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于中等题.
16．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________． 【答案】丙 【解析】
若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙． 考点：反证法在推理中的应用.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数()f x x p =-．
（1）当2p =时，解不等式()41f x x ≥--； （2）若()1f x ≥的解集为(][),02,-∞+∞U ，
()120,01
p m n m n +=>>-，求证：211m n +≥． 【答案】（1）17,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
；（2）见解析.
【解析】 【分析】
（1）当2p =时，将所求不等式变形为214x x -+-≥，然后分1x ≤、12x <<、2x ≥三段解不等式214x x -+-≥，综合可得出原不等式的解集； （2）先由不等式()1f x ≥的解集求得实数1p =，可得出
1211
m n +=-，将代数式2m n +变形为()212m n +-+，将()21m n +-与
121
m n +-相乘，展开后利用基本不等式可求得()21m n +-的最小值，进而可证得结论. 【详解】
（1）当2p =时，不等式为214x x -+-≥，且23,2211,1232,1x x x x x x x -≥⎧⎪
-+-=<<⎨⎪-≤⎩
.
当1x ≤时，由214x x -+-≥得324x -≥，解得12x ≤-
，此时12
x ≤-； 当12x <<时，由214x x -+-≥得14≥，该不等式不成立，此时x ∈∅； 当2x ≥时，由214x x -+-≥得234x -≥，解得72x ≥
，此时72
x ≥. 综上所述，不等式()41f x x ≥--的解集为17,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
； （2）由()1f x ≥，得1x p -≥，即1x p ≤-或1x p ≥+，
Q 不等式()1f x ≥的解集为(][),02,-∞+∞U ，故1012
p p -=⎧⎨
+=⎩，解得1p =，12
11m n ∴+
=-， 0m >Q ，0n > ，
()()()
211
22212155911n m m n m n m n n m -⎛⎫∴+-=+-+=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭
， 当且仅当3m =，4m =时取等号，()22129211m n m n ∴+=+-+≥+=． 【点睛】
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：2
2t t t t
e e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
（其中t 为参数），直线l
的参数方程为2x y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（其中m 为参数） （1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，求PA PB ⋅的值. 【答案】（1）2
cos 21((,))44
ππ
ρθθ=∈-（2）5
【解析】 【分析】
（1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据cos x ρθ=，sin y ρθ=，得到曲线的极坐标方程； （2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解； 【详解】
解：（1）曲线C ：22t t t t e e x e e y --⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
消去参数t 得到：221(1)x y x -=≥， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=， 得2
2
2
2
cos sin 1((,))44
ππ
ρθρθθ-=∈-
所以2cos 21((,))44
ππ
ρθθ=∈-
（2
）2x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22
1x y -=，
23305m m ∴-= 设1PA m =，2PB m =，由直线的参数方程参数的几何意义得：
215PA PB m m ∴⋅==
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题．
19．已知曲线M 的参数方程为1cos 2
1sin 2x y αα⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线N 的极坐标方程为2
2sin 2ρθ
=-．
（1）写出曲线M 的极坐标方程；
（2）点A 是曲线N 上的一点，试判断点A 与曲线M 的位置关系． 【答案】（1）1
2
ρ=（2）点A 在曲线M 外． 【解析】 【分析】
（1）先消参化曲线M 的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程；
（2）由点A 是曲线N 上的一点,利用sin 2θ的范围判断ρ的范围,即可判断位置关系. 【详解】
（1）由曲线M 的参数方程为1cos 21sin 2x y αα
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
可得曲线M 的普通方程为22
14x y +=,则曲线M 的极坐标方
程为2
14
ρ=
,即1
2ρ=
（2）由题,点A 是曲线N 上的一点,
因为[]sin 21,1θ∈-,所以2,23ρ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,即12ρ>,
所以点A 在曲线M 外. 【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系. 20．已知函数()3
2
f x ax bx =+，当1x =时，有极大值3；
（1）求a ，b 的值；
（2）求函数()f x 的极小值及单调区间. 【答案】（1）6,9a b =-=；
（2）极小值为0，递减区间为：()(),0,1,-∞+∞，递增区间为()0,1. 【解析】 【分析】
（1）由题意得到关于实数,a b 的方程组，求解方程组，即可求得,a b 的值；
（2）结合（1）中,a b 的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值. 【详解】
（1）由题意，函数()3
2
f x ax bx =+，则()2
32f x ax bx '=+，
由当1x =时，有极大值3，则(1)320(1)3f a b f a b =+=⎧⎨=+='⎩
，解得6,9a b =-=.
（2）由（1）可得函数的解析式为()3
2
69f x x x =-+，
则()2
181818(1)f x x x x x '=-+=--，
令()0f x '>，即18(1)0x x -->，解得01x <<， 令()0f x '<，即18(1)0x x --<，解得0x <或1x >， 所以函数的单调减区间为(,0),(1,)-∞+∞，递增区间为(0,1)，
当0x =时，函数取得极小值，极小值为(0)0f =.当1x =时，有极大值3. 【点睛】
本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21．设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B ；
（2）若ABC V 为锐角三角形，求c
a
的取值范围. 【答案】（1）3
B π
=（2）1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理化简已知条件，由此求得cos B 的值，进而求得B 的大小.
（2）利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得c a 的表达式，进而求得c
a
的取值范围. 【详解】
（1）由题设知，2sin cos sin cos sin cos B B A C
C A
=+， 即2sin cos sin()B B A C =+， 所以2sin cos sin B B B =， 即1
cos 2
B =，又0B Q π<< 所以3
B π
=
.
（2）由题设知，()31cos sin sin 120sin 2
2sin sin sin A A A c C a A A A
︒
+-===，
即
311
2tan 2
c a A =⋅+， 又ABC V 为锐角三角形，所以3090A ︒<<︒，即3
tan 3
>
A 所以103tan A <
<，即1311
22tan 2
A <⋅+<， 所以c a 的取值范围是1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
.
【点睛】
本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范围，求边的比值的取值范围，属于中档题. 22．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。

中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金（单位：元）如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.
（1）根据上述样本数据，将22⨯列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关？ （2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为ξ，求随机变量ξ的期望和方差；
（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为
1
2
，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算？ 附：
20()P K k ≥ 0.050
0.010 0.001
0k
3.841 6.635 10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
【答案】（1）列联表见解析，99%；（2）95，18
25
；（3）第二种优惠方案更划算. 【解析】 【分析】
（1）根据已知数据得出列联表，再根据独立性检验得出结论； （2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为35
P =，知ξ服从二项分布，即3
(3,)5B :ξ，可求得其期
望和方差；
（3）若选方案一，则需付款12001001100-=元，若选方案二，设实际付款X 元，，则X 的取值为1200，1080，1020，求出实际付款的期望，再比较两个方案中的付款的金额的大小，可得出选择的方案. 【详解】
（1）由已知得出联列表：
，所以2
2
60(1081230)7.033 6.63522384020
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
∴ 有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；
（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为123205
P =
=，3
()5B ξ∴:3, ，
()()393318
=3,31555525
E D ξξ⎛⎫∴⨯==⨯⨯-= ⎪⎝⎭；
（3）若选方案一，则需付款12001001100-=元
若选方案二，设实际付款X 元，，则X 的取值为1200，1080，1020，
()020********=224P X C ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11
121111080==222P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，()2
22
111
1020=224
P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()111
1200108010201095424
E X ∴=⨯+⨯+⨯=
11001095>∴Q ，选择第二种优惠方案更划算
【点睛】
本题考查独立性检验，二项分布的期望和方差，以及由期望值确定决策方案，属于中档题.
23．已知椭圆E ：22
221x y a b
+=的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，过左焦点的直线l 交椭圆E 于C 、
D 两点（异于A 、B 两点），当直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为1． （1）求椭圆的方程；
（2）设直线AC 、BD 的交点为Q ；试问Q 的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）22
143
x y +=
（2）是为定值，Q 的横坐标为定值4- 【解析】 【分析】
（1）根据“直线l 垂直于x 轴时，四边形ABCD 的面积为1”列方程，由此求得b ，结合椭圆离心率以及
222a b c =+，求得,a c ，由此求得椭圆方程.
（2）设出直线l 的方程1x my =-，联立直线l 的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系.求得直线
,AC BD 的方程，并求得两直线交点Q 的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得Q 的横坐标为定值4-.
【详解】
（1）依题意可知2
12262b a a
⨯⋅=，解得23b =，即b =12e =，即2a c =，结合222a b c =+解
得2a =，1c =，因此椭圆方程为22
143
x y +=
（2）由题意得，左焦点()1,0F -，设直线l 的方程为：1x my =-，()11,C x y ，()22,D x y ．
由221,3412,x my x y =-⎧⎨+=⎩
消去x 并整理得()22
34690m y my +--=，∴122634m y y m +=+，122
934y y m -=+． 直线AC 的方程为：()1122
y y x x =
++，直线BD 的方程为：()2222y
y x x =--．
联系方程，解得1221
12
4263my y y y x y y +-=
+，又因为()121223my y y y -=+．
所以()122112
1212
626124433y y y y y y x y y y y -++---=
==-++．所以Q 的横坐标为定值4-．
【点睛】
本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题.。