人教版数学九年级下册第29章《投影和视图》复习和训练和测试

人教版数学九年级下册《投影与视图》复习与训练与测试
提纲挈领
《投影与视图》这一章的重点是三视图和中心投影，平行投影，正投影．难点：根据某一视图画出其他的视图，确定构成几何体的小正方形的数目，及投影的形状的判定．虽然本章内容不是很多，但是以其灵活性，趣味性，与生活实际联系的多样性倍受命题人的青睐，所以在中考的舞台上可谓是一颗常考点，主要以选择题，填空题的形式出现，当然偶尔也会以简单的解答题形式现身中考．还经常与相似三角形联手组合进中考．因此同学们一定要抓住重点，突破难点，确实把握好本章的知识点．
知识要点全掌握
1. 的位置称为视点．由发出的射线称为视线，看不到的地方称为．
2.一般地，物体在的照射下，在在某个平面上得到的称为物体的投影．照射的光线称为，所在的平面称为投影面．
3.由（）发出的光线形成的投影就做中心投影．
4. 投影线，形成中心投影；投影线，形成平行投影．投影线投影面形成的投影叫做正投影．
5.当物体的某个面于投影面时，这个面的与这个面的，完全相同．
6. 物体正投影的，与它相对于投影面的有关．
7.我门用三个互相垂直的平面作投影面，其中我们的就正面，的叫水平面，的叫侧面．
8.一个物体在三个投影面内同时进行，在内得到的由向观察物体的视图，叫做主视图；在内得到的由向观察物体的视图，叫做俯视图；在内得到的由向观察物体的视图，叫做左视图．
9.画三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图的，主视图与左视图的，左视图与俯视图的．
10.正对着物体看，物体的水平距离，的水平距离，的距离，分别对应我们常说的长，宽，高．
11.为全面反映立体图形的形状，画图时规定，看得见部分的轮廓线画成，因被其他部分遮当而看不见部分的轮廓线画成．
提高警惕不犯错
易错点1、画视图时用线不当致错
例1 画出图1中几何体的主视图、左视图、俯视图．
错解：几何体的主视图、左视图、俯视图如图2所示．
剖析： 在画三视图时，看得见的轮廓线要用实线画，看不见的轮廓线必须要用虚线画．
正解：如图3所示．
易错点2、 对主视图理解偏失求面积时致错
例2 如图4所示，正方形ABCD 的边长为3cm ，以直线AB 为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的主视
图的面积是_____________．
错解：几何体的主视图的面积是92
cm ．
剖析：以AB 为轴旋转一周，得到的是一个圆柱，并且圆柱的高为3cm ，圆柱的直径是6cm ，
所以圆柱的主视图是一个长为6cm ，宽为3cm 的长方形，而不是原来的正方形．所以其面积应为6×
3=182cm ．正解：几何体的主视图的面积是182cm ．
易错点3、 对几何体的俯视图理解不准在画主视图时致错
例3 如图5是由若干个同样大小的立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该
位置立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
错解：选D ．
剖析：根据俯视图画几何体的主视图时，不妨按照如下法则去落实:
（1）按照自左到右的顺序，在俯视图的最下方依次标上1、2、3三个序号，注意顺序不能乱；
（2）三个序号就意味着几何体的主视图是有三列构成，因此按照自左到右的顺序先画出有三个小正方形
构成的长方形；
（3）数出每列中小正方形的最大个数，这样我们就知道，这几何体的主视图应该是3、2、1型；
（4）在对应的小正方形的上面依次画出最大数目个小正方形，得到主视图．
具体解题流程图如下：
正解：选A ．
问题拓展：你能画出出几何体的左视图吗？你画对了吗？
希望同学们能掌握这种方法，如果能熟练应用，相信一定让你的解题速度得到提高．
易错点4、 对灯光下投影原理把握不准致错
例4 如图6所示，晚上小亮在路灯下散步，他从A 处向着路灯灯柱方向径直走到B 处，这一过程中他
在该路灯灯光下的影子（ ）
A ．逐渐变短
B ．逐渐变长
C ．先变短后变长
D ．先变长后变短
错解：选D 或选C ．
剖析：如图7所示，当人在A 处时，设身高为a ，灯高为h ，人距灯的水平距离为x ，对应
的影子长为y ，因为AE ∥FD ，所以△AGE ∽△DGF ，所以GD
GA FD AE = ,所以x y y h a +=, 解得：y=x a h a -，即y 是x 的正比函数，且0φa
h a -，所以影子y 随人距离灯的水平距离x 的减小而减小，所以他从A 处向着路灯灯柱方向径直走到B 处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子是逐渐变短的． 正解：选A ．
最新考题做一做
考点1：根据某一视图的形状确定几何体
考查形式：此类问题主要考查三视图，常常是知道某一视图的形状来确定几何体的形状．
例1）如图8下列几何体中，俯视图是三角形的几何体是（ ）．
解题思路：长方体的俯视图是矩形；圆柱的俯视图是圆；三棱柱的俯视图是三角形；球的俯视图是圆．
解：选C ．
点评：本体主要是考查同学们对常见几何体的俯视图的理解和应用．如能熟记常见几何体的三视图，将会
大大提高自己的解题效率．
考点2 根据几何体确定几何体的三视图
考查形式：考题经常是给出有多个小正方形构成的某一个几何体，后让你画出它的某一种视图．
例2 如图9是由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（）
解题思路：在解题时，要认真观察好几何体的构造，看准要你找的是三视图中的哪一种，确定好后选择看图方向，画出视图，对照选项定出答案．
解：选B．
点评：本题主要是考查同学们对三视图的画法掌握情况．在根据俯视图画几何体的主视图时，我们不妨按照如下法则去落实，
（1）按照自左到右的顺序，在几何体的前方依次标上1、2、3三个序号，注意顺序不能乱；
（2）三个序号就意味着几何体的主视图是有三列构成，因此按照自左到右的顺序先画出有三个小正方形构成的长方形；
（3）数出每列中小正方形的最大个数，这样我们就知道，这几何体的主视图应该是2、1、1型；
（4）在对应的小正方形的上面依次画出最大数目个小正方形，得到主视图．
具体解题流程图如下：
如果是让你画左视图时，我们可以这样去画：
（1）按照由里到外的顺序，在几何体的前方依次标上1、2两个个序号，注意顺序不能乱；
（2）两个序号就意味着几何体的左视图是有两列构成，因此按照自左到右的顺序先画出有两个小正方形构成的长方形，注意画的时候的自左到右一定要与开始的自里到外的顺序一致起来”；
（3）数出每行中小正方形的最大个数，这样我们就知道，这几何体的左视图应该是2、1型；
（4）在对应的小正方形的上面依次画出最大数目个小正方形，得到左视图．
具体解题流程图如下：
希望同学们能掌握这种方法，如果能熟练应用，相信一定让你的解题速度得到提高．
考点3 根据三种视图确定几何体的形状
考查形式：通常是给出几何体的主视图，左视图和俯视图，让你根据三视图来确定几何体的形状．
例3如图10，已知一个几何体的三种视图如右图所示，则这个几何体是
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．正方体
解题思路：俯视图是圆，说明几何体的底面图形应该是圆形的，这就说明可能是圆柱或圆锥或球；
再看主视图，是三角形，就排除了圆柱和球，这样答案就出来了．
解：选B．
点评：熟记常见几何体的三视图顺利解题的关键．
考点4 根据带有数字的某一视图确定几何体的其他视图
考查形式：常常是知道几何体的某一视图，且视图中标注了小正方形的数目，让画出几何体的其他视图．例4 如图11，是由若干个同样大小的立方体搭成的几何体的俯视图，小正方
形中的数字表示该位置立方体的个数，则这个几何体的主视图是（）
解题思路：俯视图有两列，说明几何体的主视图也有两列；第一列中最大数字为2，就意味着主视图中第一列应该有两个小正方形；第二列数字是3，就说明这一列应该有三个小正方形．具体过程如图所示．
解：选D．
点评：根据俯视图画几何体的主视图时，我们不妨按照如下顺序去落实，
（1）按照自左到右的顺序，在俯视图中依次标上1、2两个序号，注意，顺序不能乱；
（2）两个序号就意味着几何体的主视图是有两列构成，因此，按照自左到右的顺序先画出有两个小正方形构成的长方形；
（3）数出每列中小正方形的最大个数；
（4）将最大数目的正方形，依次画在对应列的后面．
考点5 根据视图求某一视图的面积
考查形式：利用某种视图给出几何体的长度，后计算其余视图的面积或几何体的体积．
例5长方体的主视图、俯视图，如图12所示（单位：m ），
则其左视图面积是（ ）
A ．42m
B ．122m
C ．12m
D ．32
m
解题思路：对于长方体来说，主视图揭示长方体的长和高，俯视图揭示长方体的长和宽，左视图揭示长方
体的宽和高．有主视图知道几何体的高1m ，有俯视图知道几何体的宽为3m ，所以左视图的面积为1×
3=3．
解：选D.
点评：在解题时，一定要充分理解好主视图，俯视图，左视图所要揭示的几何体的哪一个量，这是解题的
关键所在．
考点6 联系生活，根据三视图确定构成几何体的小正方形个数
考查形式：通常是给出几何体的三种视图，让你根据视图的情况确定出构成视图的小正方形的数目．
例6在抗震救灾某仓库里放着若干个相同的正方体货箱，某摄影记者将这堆货箱
的三视图照了出来,如图13-1，则这堆正方体货箱共有（ ）．
A. 2箱
B. 3箱
C. 4箱
D. 5箱
解题思路：根据主视图知道这个几何体三列，且中间一列由两个正方形；根据俯视图知道几何体的三列
的小正方形数目是相等的，且为一行；根据左视图知道几何体最高有两层．这样就可画出几何体如图13-2
所示．
解：选C ．
点评：根据视图的意义画出每行，每列上的小正方形数目，是正确解题的关键．
考点7 阳光下根据物高求影长
考查形式：经常是在同一时刻，已知一个物体的高与影，求另一个物体的高或影
例7 如图14，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影
子里边，已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是 米.
解题思路：在同一时刻物高与影长是成正比例的，因此可以布列出如下的两种常用的计算比例式：
B A B A 影长影长物高物高=或B
B A A 影长物高影长物高=． 解：根据题意，得：1
-x x 5.18.1=，解得x=6，即甲的影长是6米． 点评：解答时除了利用上面所说的两个公式外，还可以直接利用我们所学相似三角形知识解答．
小试身手有把握
练习1：
1. 下图15所示几何体的主视图是（ ）
2. 一个几何体的主视图、左视图、俯视图的图形完全相同，它可能是 ．
A ．三棱锥
B ．长方体
C ．球体
D ．三棱柱
3. 如图16，是有几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图， 则搭成这个几何体的小正方体的个数是
（ ）A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
4.下列命题正确的是（ ）
A 三视图是中心投影
B 小华观察牡丹话，牡丹花就是视点
C 球的三视图均是半径相等的圆
D 阳光从矩形窗子里照射到地面上得到的光区仍是矩形
练习2：
1. 如图17是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为（ ）
2.若一个所有棱长相等的三棱柱，它的主视图和俯视图分别是正方形和正三角形，则左视图是．
A. 矩形
B. 正方形
C. 菱形
D. 正三角形
3.．如图18是由棱长为1的正方体搭成的积木三视图，则图中棱长为1的正方体的个数是______.
4. 如图19，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋直
至到达地面时，影子的长度发生变化．设垂直于地面时的影长为AC（假定AC＞AB），影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m＞AC；②m＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．其中正确结
论的序号是．
参考答案：
练习1 1. A 2. C 3. B 4. C
练习2 1. B 2. A 3. 6个4. ①③④
实战训练版
“投影与视图”综合测试题
一、选择题（每题3分，满分30分）
1.平行投影中的光线是（）
A 平行的
B 聚成一点的
C 不平行的
D 向四面八方发散的
2.如图1所示的几何体的左视图是（）
3.如图2，观察下列几何体，主视图、左视图和俯视图都是
．．矩形的是（）
4.小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子（ ）
A. 相交
B. 平行
C. 垂直
D. 无法确定
5.小亮在上午8时、9时30分、10时、12时四次到室外的阳光下观察向日葵的头茎随太阳转动的情况，
无意之中，他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同，那么影子最长的时刻为 （ ）A. 上午12时 B. 上午10时 C. 上午9时30分 D. 上午8时
6. 在同一时刻，身高1.6m 的小强的影长是1.2m ，旗杆的影长是15m ，则旗杆高为 （ ）
A 、 16m
B 、 18m
C 、 20m
D 、 22m
7. 当你乘车沿一条平坦的大道向前行驶时，你会发现，前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它
们前面那些矮一些的建筑物后面去了．这是因为 （ ）
A 汽车开的很快
B 盲区减小
C 盲区增大
D 无法确定 8. 如图3是一个几何体的实物图，则其主视图是（ ）
9. 如图4，小军将一个直角三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将这个几何体
的侧面展开得到的大致图形是（ ）
10. 如图5是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是( )
（A ）πab 21 （B ）πac 2
1 （C ）πab （D ）πac 二、填空题（每题3分，满分24分）
11. 一个几何体的三视图完全相同，该几何体可以是 ．（写出一个即可）
A 12. 若一个所有棱长相等的三棱柱，它的主视图和俯视图分别是正方形和正三角形，则左视图是 ．
13. 如图6是某个几何体的三视图，则该几何体是( )
14.如图7，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.
15. 将一个三角形放在太阳光下，它所形成的投影是 ．
16.如图8，小明希望测量出电线杆AB 的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D 处立一标杆CD ，使标杆的影子DE 与电线杆的影子BE 部分重叠（即点E 、C 、A 在一直线上），量得ED ＝2米， DB ＝4米，CD ＝1.5米，则电线杆AB 长＝ ．
17. 皮影戏”作为我国一种民间艺术，对它的如下四种叙述：① 它是用兽皮或纸板做成人物剪影，以此来表演故事的戏曲； ② 表演时，要用灯光把剪影照在银幕上； ③ 灯光下，作不同的手势可以形成不同的手影 ；④表演时，也可用阳光把剪影照在银幕上． 其中叙述正确的是
．（只填序号）
18. 某盏路灯照射的空间可以看成如图9所示的圆锥，它的高AO = 8米，母线AB 与底面半径OB 的夹
角
为α，34tan =
α，则圆锥的底面积是 平方米（结果保留π）．
三、解答题（满分46分）
19．（8分）如图10，由3个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，请画出它的主视图,左视图和俯视图．
20．（8分）如图11，请确定图中路灯灯泡的位置，并画出丽丽在灯光下的影子．
21．（10分）如图12是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，求其最高点与地面的距离是多少米．
22．（10分）图13是某几何体的展开图．
（1）这个几何体的名称是；
（2）画出这个几何体的三视图；
（3）求这个几何体的体积．（π取3.14）
23．（10分）为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两幢楼房间的距离至少为40米，中午12时不能挡光.如图14，某旧楼的一楼窗台高1米，要在此楼正南方40米处再建一幢新楼.已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为30°，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高多少米（结果精确到1米.732.13≈，414.12≈）？
四、拓展创新题（满分20分）
24.（10分）
阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种．．
测量方案． （1）所需的测量工具是： ；
（2）请在下图15中画出测量示意图；
（3）设树高AB 的长度为x ，请用所测数据（用小写字母表示）求出x.
25.（10分）已知，如图16，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.（1）请你在图8中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长.
测试题参考答案：
选择题
1.A
2.B
3.B
4.B
5.D
6.C
7.C
8.C
9.D 10.B
填空题：
11. 球、正方体等（写一个即可），12. 矩形 13. 长方体 14. 4米 15. 三角形或一条线段；16. 4.5米；
17.①②③ 18.36π平方米．
解答题：
19.解：作图如下
20.解：作图如下：
21.解：如图所示管子的顶部到地面的距离实际上是DF 的长度，而DF=CD+CE+EF ．CD 为圆的半径，EF 的长也为圆的半径．CE 是等边三角形ABC 的高，且得不能改变三角形的边长是1，所以CE=
23，所以DF=（1+2
3）米．
22. 解：（1）圆柱； （2）三视图为：
（3）体积为:20514.322⨯⨯=h r π=1570．
23.解：过点C 作CE ⊥BD 于E ，因为 AB = 40米，所以CE = 40米．
因为阳光入射角为︒30，所以∠DCE =︒30．
在Rt ⊿DCE 中，CE
DE DCE =∠tan ，所以3340=DE ，所以233340≈⨯=DE ，而AC = BE = 1米 所以DB = BE + ED =24231=+米．答：新建楼房最
高约24米．
24. 解：
（1）皮尺、标杆．
（2）测量示意图如图所示．
（3）如图，测得标杆DE＝a，树和标杆的影长分别为AC＝b，EF＝c ，因为△DEF∽△BAC，所以
DE FE
BA CA
=，所以
a c
x b
=，所以
ab
x
c
=．
25. 解：（1）
（连接AC，过点D作DF//AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影）
（2）因为AC//DF，所以∠ACB=∠DFE.因为∠ABC=∠DEF=90°所以△ABC∽△DEF.
所以
EF
BC
DE
AB
=，所以
6
3
5
=
DE
，所以DE=10（m）.
A
E
D
C
B F。