高二数学基本概念——第9章-矩阵和行列式初步

第9章 矩阵和行列式初步
一、 矩阵
9.1 矩阵的概念
矩阵及其相关的概念
1、矩形数表叫做矩阵
矩阵中的每个数叫做矩阵的元素
由个数排成的行列的数表
n m ⨯m n ()n j m i a ij ,,2,1;,,2,1 ==mn
m m n
n a a a a a a a a a
21
2222111211称为矩阵.
n m ⨯记作⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A
2122221
11211n m ij a ⨯=)(
2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。

⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-1321它是2行2列的矩阵，记为
2
2⨯A ，矩阵
可简记为A
n m A ⨯注意: 矩阵的符号，是“（）”，不能是“| |”.
列元素。

行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。

等，或者必要时可记为n m ij n m n m a B A ⨯⨯⨯)(,
说明：
通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有
下列三种：
（1）互换矩阵的两行
（2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数
（3）某行乘以一个数加到另一行
通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

9.2 矩阵的运算
矩阵
列的矩形表，称为一个行排列成一个个数由n m n m n j m i a n m ij ⨯==⨯)
,,2,1;,2,1( 11
12121
2221
2
.....................n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
记为列元素。

行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。

,()m n m n ij A B a ⨯⨯必要时可记为等，或者A=。

0m n
O O ⨯所有元素均为的矩阵，称为零矩阵，记作或定义1一、复习
定义2若两个矩阵A ，B 有相同的行数与相同的列数，并且对
应的位置上的元素相等，则称矩阵A 与矩阵B 相等。

记为：A=B
n
m ij n m ij b B a A ⨯⨯==)(,)(即如果,(1,2,...,;1,2,...,)
ij ij a b i m j n ===且则A=B 。

...)3,2,1,...;3,2,1(===j i b a ij ij 二、矩阵的运算
（一）矩阵的加（减）法和数与矩阵的乘法
3(),()ij ij m n A a B b m n A B ==定义两个行列矩阵对应位置元素相加(或相减）得到的行列矩阵，称为矩阵与矩阵的和（差）。

A-B A B +记为或（）。

A B ±即
()()ij m n ij m n a b ⨯⨯=±()ij ij m n
a b ⨯=±
定义4以实数乘矩阵A
中的每一个元素所得到的矩阵，称为实数与矩阵A 的乘积矩阵．记做A
A α即
()ij m n a α⨯=()ij m n
a α⨯=的负矩阵的元素变号，称为的乘积使与A A A 1-A -记作n
m ij a A ⨯-=-)(即
α)(ij a =αα1A 1A A 2A B A B
αααααα=+=+注意：（）矩阵与实数相乘满足如下交换率和分配律：（）（）（）
（2）设A 、B 、C 、O 都是m ×n 矩阵，l 、k 是实数，则
A
B B A +=+)1()()()2(
C B A C B A ++=++A O A =+)3(O A A =-+)()4(kB kA B A k +=+)()5(lA kA A l k +=+)()6()()()()7(kA l lA k A kl ==(8)1A A
=
存在唯一解的条件。

组例、给出二元一次方程2
221
11c y b x a c y b x a {=+=+解：原方程组的系数矩阵为)
(
2
2
11b a b a A =……①
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111,b b b a 是矩阵A 的两个列向量，原方程组可以表示为：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212121c c b b y a a x ……②由平面向量的分解定理可知：
使、对实数不平行时，存在唯一一
与当向量y x b b a a )1(2121⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛②成立
1122111122221212a b (2)x y a b a b a b x y a b a b c c c c c c ααα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫
= ⎪⎝⎭⎛⎫
= ⎪⎝⎭
当向量与平行时，对任意实数、，
都与或平行，所以
若与平行，则原方程组有无穷多个解；
若与不平行，则原方程组无解。

唯一解的条件。

不平行是原方程组存在与⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴2121b b a a
二、行列式
9.3.二阶行列式
二、定义概念
（1）定义：1
12
2
a
b a b 称之为行列式，
因为它有两行两列，所以称之为二阶行列式，且规定
11
22
a b a b =1221
a b a b -其中1221a b a b -叫做行列式的展开式；
1212,,,a a b b 叫做行列式的元素
的两行两列，
排列成如图
将未知数的系数2121b ,b ,a ,a (2)
（2）行列式算式的特点，并口述它的运算规则
12,a b 21,a b 我们把（主对角线）和（副对角线）分别用两条对角线连接
用主对角线上的两个数的乘积减去副对角线上的两个数的乘积即为行列式的值。

利用对角线把二阶行列式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则。

由此我们得到：
（1）二阶行列式实质是表示四个数（或式）的特定算式的一种记号。

（2）由二阶行列式的计算法则，任何一个二阶行列式都可以表示成乘积差的形式，进而计算出它的值
（3）由二阶行列式的计算法则，任何两个乘积差的形式都可以表示成一个二阶行列式。

（ii)在D=0的情况下讨论转化的方
程组解的情况。

x
y D x D D y D •=⎧⎪⎨
•=⎪⎩
（1）如果中至少有一个不为
零，不妨设则无论x 取何值，方程都不成立，即x 无解从而方程组(A) 无解。

,x y D D 0x D ≠x D x D •=（2）如果显然在方程中，由于从而x 可取任意实数再由x 的值代入方程求出相应的y 值，所以方程组有无穷解。

0x y D D ==x D x D •=0x D D ==
9.4.三阶行列式
(二) 三阶行列式
1、定义
1112
223
3
3
933(1)
a b c a b c a b c 设有个数排成行列的数表
记
111
2223
3
3
......(2)a b c a b c a b c （2）式称为数表（1）所确定的三阶行列式.
4、三阶行列式展开方法：（1）按对角线展开
按对角线展开三阶行列式，共有6项，3项取正，3项取负。

正负号的取得可以按
奇偶排列决定，也可以按书上第95页图记忆。

这种展开方法叫三阶行列展开的对角线法则。

33
32
31
232221131211a a a a a a a a a 332211a a a =.
322311a a a -对角线法则
注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明：
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
322113a a a +312312a a a +312213a a a -332112a a a -
一个元素的代数余子式的正负号如何确定？
一个元素的代数余子式的正负号与这个元素所在行列式中的位置有关。

一般地，第i 行、第j 列的元素的代数余子式的正负号是由决定。

()j i +-1
三元一次方程组的行列式解法
二元一次和三元一次方程组的解的比较。