广东省梅州市兴宁第一中学高三数学理联考试题含解析

广东省梅州市兴宁第一中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 己知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是
（）
A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）
参考答案：
B
【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的图象．
【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由极值点可得φ=﹣，解2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得函数f（x）的单调递减区间，结合选项可得．
【解答】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）的一个极大值点，
∴sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，
不妨取φ=﹣，此时f（x）=sin（2x﹣）
令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+可得kπ+＜x＜kπ+，
∴函数f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+）k∈Z，
结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，），
故选：B．
【点评】本题考查正弦函数的图象和单调性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．
2. 命题“存在，为假命题”是命题“”的（）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：
A
3. 设x,y满足( )
A. 有最小值2，最大值3
B. 有最小值2，无最大值
C. 有最大值3，无最小值
D. 既无最小值，也无最大值
参考答案：
B
试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,目标函数在点处取得最小值为,无最大值.
考点：线性规划.
4. 下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（）
A．
B． C． D．
参考答案：
C
略
5. 已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，得到z的坐标得答案．
【解答】解：∵，
∴z=，
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），在第三象限．
故选：C．
6. 函数的定义域为( )
A. [－1,2)∪(2,+∞)
B. (－1,+∞)
C. [－1,2)
D. [－1,+∞)
参考答案：
A
7. 若实数x，y满足不等式组，则z=（x﹣1）2+（y+1）2的最小值为（）
A．B．10 C．D．17
参考答案：
C
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用x2+y2的几何意义：动点P（x，y）到（1，﹣1）距离的平方，即可求最小值．
【解答】解：设z=（x﹣1）2+（y+1）2，则z的几何意义为动点P（x，y）到（1，﹣1）距离的平方．
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知点P到A点的距离最小，即A点到直线x+2y﹣5=0的距离最小．
由点到直线的距离公式得d==，所以z=（x﹣1）2+（y+1）2的最小值为d2=．
故选：C
8. 如图，A，F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是( )
A． B． C． D．
参考答案：
9. 展开式中的常数项为（）
A.-1320
B.1320
C.-220
D.220
参考答案：
C
10. 一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是
（）
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为 .
参考答案：
12. 已知函数,有下列五个命题
①不论为什么值,函数的图象关于原点对称;
②若,函数的极小值是,极大值是;
③若,则函数的图象上任意一点的切线都不可能经过原点;
④当时,对函数图象上任意一点,都存在唯一的点,使得(其中点是坐标原点)
⑤当时,函数图象上任意一点的切线与直线及轴所围成的三角形的面积是定值. 其中正确的命题是(填上你认为正确的所有命题的序号)
参考答案：
①③⑤
略
13. 如图，已知过原点O的直线与函数的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数图象交于C，D两点，若轴，则四边形ABCD的面积为_____. 参考答案：
分析：设出A、B的坐标，求出OA、OB的斜率相等利用三点共线得出A、B的坐标之间的关系．再根据BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出A、B的坐标之间的关系即可求出A的坐标，从而解出B、C、D的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可．
详解：设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1＞1，x2＞1．
则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2．
因为A、B在过点O的直线上，所以
点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．
由于BC平行于x轴知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2，∴x2=x13．
代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1．
由于x1＞1知log8x1≠0，∴x13=3x1．考虑x1＞1解得x1=．
于是点A的坐标为（，log8）即A（，log23）
∴B（3，log23），C（，log23），D（3，log23）．
∴梯形ABCD的面积为S=（AC+BD）×BC=（log23+log23）×2=log23．
故答案为：log23
点睛：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力．
14. 设集合，，则_________．
参考答案：
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.
【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，补集，并集.
【试题分析】，
，所以.故答案为.
15. 已知z、y满足，则的最大值是________．
参考答案：
略
16. 设直线，圆，若在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是__________．
参考答案：
圆，圆心为：，半径为，
∵在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，
∴在直线上存在一点，使得到的距离等于2，
∴只需到直线的距离小于或等于2，
故，解得，故选答案为.
17.
函数的单调增区间是__________
参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在ΔABC中,a,b,c分别是角A，B，C的对边，若，b=4，且ΔABC的面积
(I)求sinB的值；
(II)设函数f(x)=2sinAcos2x－cosAsin2x,x∈R，求f(x)的单调递增区间.
参考答案：
略
19. 设关于x的函数的定义域为集合A，
函数的值域为集合B.
（1）求集合A，B；（2）若集合A，B满足,求实数a的取值范围.
参考答案：
解：（Ⅰ）A=,
==，
B.
（Ⅱ）∵，∴．
∴或，
∴实数a的取值范围是{a|或}．
略
20. 已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（）.（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围。

参考答案：21. 在中,角所对边分别为且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值．
参考答案：
（Ⅰ）由已知平方得
即，即------ 3
故
又，
所以
故------ 7 （Ⅱ）由余弦定理得
即
所以
------11
故----14
22. （本小题满分12分）设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝，n∈N*
.
(1)求数列{a n}的通项；
(2)设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n.
参考答案：
解(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝，①∴当n≥2时，
a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2a n－1＝，
②
①－②得3n－1a n＝，∴a n＝.
在①中，令n＝1，得a1＝，适合a n＝，
∴a n＝.
(2)∵b n＝，∴b n＝n·3n.
∴S n＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③
∴3S n＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1. ④
④－③得2S n＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)，即2S n＝n·3n＋1－，
∴S n＝＋.。