2023年新高考数学一轮复习6-3 平面向量的应用(知识点讲解)含详解

专题6.3 平面向量的应用（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】1.以平面图形为载体，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想
象的核心素养．
2．与三角函数、向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核
心素养．
3．与平面几何问题相结合，考查平面向量基本定理、数量积等的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想
象的核心素养．
【知识点展示】
（一）平面向量与平面几何
1.向量在平面几何中的应用主要有以下方面：
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：a∥b⇔a
＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否
垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 cos θ＝a ·b
|a ||b |
．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 2.向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解． （二）平面向量与解析几何 向量在解析几何中的作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题． (2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb(b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到． （三）平面向量与三角函数
解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解． （四）平面向量在物理中的应用
数学中对物理背景问题主要研究下面两类： (1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__． (2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__． （五）常用结论：
运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心
(1)|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →
2)⇔O 是△ABC 的内心； (2)OA →＋OB →＋OC →
＝0⇔O 是△ABC 的重心；
(3)OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →⇔O 是△ABC 的垂心；(4)OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →
·⎝ ⎛⎭⎪
⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|⇔O 是△ABC 的内心．
【常考题型剖析】
题型一：平面向量与平面几何
例1.（2022·全国·高三专题练习）若O 在ABC 所在的平面内，且满足以下条件
0||||||||||AC AB BC BA CA CB OA OB OC AC AB BC CA CB BA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅-=⋅-=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则O 是ABC 的（ ） A ．垂心 B ．重心 C ．内心 D ．外心
例2．（2019·江苏·高考真题）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则
AB
AC
的值是_____. 【总结提升】
1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直．
2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．
3.要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明存在实数λ≠0，使AB →＝λCD →
成立，且AB 与CD 无公共点． 4.要证明A 、B 、C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →
． 5.要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →
的夹角即可．
6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．
题型二：平面向量与平面解析几何
例3.【多选题】（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF > D ．180OAM OBM ∠+∠<︒
例4.（2017·天津·高考真题（文））设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=︒，则圆的方程为_______ .
例5.（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．
例6.（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 在x 轴是否存在一点P ，使得ADP △为直角三角形，求此时P 点的坐标 【总结提升】
主要有两种类型，一是在给定的坐标系中，应用向量研究曲线问题；二是需根据几何图形特点，建立合适的坐标系，利用向量表示集合元素，研究曲线问题. 题型三：平面向量与三角函数
例7.【多选题】（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，
()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312
OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123
OA OP OP OP ⋅=⋅ 例8．（2021·江苏苏州·高三阶段练习）如图，点A 是单位圆O 与x 轴正半轴的交点，点B 是圆O 上第一象限内的动点，将点B 绕原点O 逆时针旋转
3
π
至点C ，记AOB θ∠=. (1)若点B 的坐标为34,55⎛⎫
⎪⎝⎭
，求点C 的坐标；
(2)若()f BC OA θ=⋅，求()f θ的单调递增区间. 题型四：平面向量与物理学
例9.（2021·全国·高三专题练习）在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李
包所受重力均为G ，两个拉力分别为12F F ，
，若121,F F F =与2F 的夹角为θ，则以下结论正确的是（ ）
A ．1F 的最小值为
1
2
G B ．θ的范围为[0,]π
C ．当2
π
θ=
时，12
||2
F G =
D ．当23
π
θ=
时，1||F G = 例10．（2021·全国·高三专题练习）如图，重为10N 的匀质球，半径R 为6cm ，放在墙与均匀的AB 木板之间，A 端锁定并能转动，B 端用水平绳索BC 拉住，板长20AB cm =，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
【总结提升】
1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．
2．如果一个物体在力G 的作用下产生位移为s ，那么力F 所做的功W ＝|F ||s |cos θ，其中θ是F 与s 的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积． 题型五：平面向量中的最值(范围)问题
例11.（2018·天津·高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD 中，
,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（ ）
A ．
21
16 B ．32
C ．
25
16
D ．3例12．（2018·浙江·高考真题）已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3
π
，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是（ ）
A 1
B 1
C ．2
D ．2
例13.（上海·高考真题）已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .
例14.（2021·浙江·高考真题）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()
1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________.
例15. （2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD 中，
EF 是CD 边上长为6 的可移动的线段，
4=AD ，AB =12BC = ，则BE BF ⋅的取值范围为 ________________ .
例16.（广东·高考真题）已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)
（1）若c=5，求sin ∠A 的值；
（2） 若∠A 为钝角，求c 的取值范围； 【总结提升】
1.平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，
2.解题思路通常有两种：
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方
程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.
专题6.3 平面向量的应用（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】1.以平面图形为载体，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想
象的核心素养．
2．与三角函数、向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核
心素养．
3．与平面几何问题相结合，考查平面向量基本定理、数量积等的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想
象的核心素养．
【知识点展示】
（二）平面向量与平面几何
1.向量在平面几何中的应用主要有以下方面：
(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．
(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：a∥b⇔a
＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否
垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0(或x1x2＋y1y2＝0)．
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式 cos θ＝a ·b
|a ||b |
．
(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 2.向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解． （二）平面向量与解析几何 向量在解析几何中的作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题． (2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb(b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到． （三）平面向量与三角函数
解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解． （四）平面向量在物理中的应用
数学中对物理背景问题主要研究下面两类： (1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，__可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力__． (2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而__可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度__． （五）常用结论：
运用向量表示三角形的外心、重心、垂心及内心
(1)|OA →|＝|OB →|＝|OC →|(或OA →2＝OB →2＝OC →
2)⇔O 是△ABC 的内心； (2)OA →＋OB →＋OC →
＝0⇔O 是△ABC 的重心；
(3)OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →⇔O 是△ABC 的垂心；(4)OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|－AC →|AC →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BA →|BA →|－BC →|BC →|＝OC →
·⎝ ⎛⎭⎪
⎪⎫CA →|CA →|－CB →|CB →|⇔O 是△ABC 的内心．
【常考题型剖析】
题型一：平面向量与平面几何
例1.（2022·全国·高三专题练习）若O 在ABC 所在的平面内，且满足以下条件
0||||||||||AC AB BC BA CA CB OA OB OC AC AB BC CA CB BA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅-=⋅-=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则O 是ABC 的（ ） A ．垂心 B ．重心 C ．内心 D ．外心
【答案】C 【解析】 【分析】
||
AC
AC ，||AB AB 分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，可设为AC '和AB '， 则AC AB B C ''''-=，则当0AC AB OA AC AB ⎛⎫
⎪⋅-= ⎪⎝⎭时，即OA B C ''⊥， 点O 在BAC ∠的角平分线上，同理证明即可求解. 【详解】
||AC
AC ，||
AB AB 分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，可设为AC '和AB '， 则AC AB B C ''''-=，则当0AC AB OA AC AB ⎛⎫
⎪⋅-= ⎪⎝⎭
时，即OA B C ''⊥，点O 在BAC ∠的角平分线上； ||
BC
BC ，BA BA 分别表示在边BC 和BA 上的单位向量，可设为BC '和BA '， 则BC BA A C ''''-=，则当0BC BA OB BC BA ⎛⎫
⎪⋅-= ⎪⎝⎭时，即OB A C ''⊥， 点O 在ABC ∠的角平分线上；
||CA CA ，||
CB
CB 分别表示在边CA 和CB 上的单位向量，可设为CA '和CB '，则CA CB B A ''''-=，则当0CA CB OC CA CB ⎛⎫
⎪⋅-
= ⎪⎝⎭
时，即OC B A ''⊥， 点O 在ACB ∠的角平分线上，故O 是ABC 的内心. 故选：C.
例2．（2019·江苏·高考真题）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于
点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则
AB
AC
的值是_____. 【答案】3.
【解析】 【分析】
由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值. 【详解】
如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .
()
()()
3
632
AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=
+-()
223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫
=
+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
222232113
23322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭
，
得
2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC
= 【总结提升】
1.用平面向量解决几何问题，往往涉及平行、垂直．
2.处理几何问题有两个角度，一是注意选定基底，用相同的向量表示研究对象；二是通过建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．
3.要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只要证明存在实数λ≠0，使AB →＝λCD →
成立，且AB 与CD 无公共点． 4.要证明A 、B 、C 三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →
． 5.要求一个角，如∠ABC ，只要求向量BA →与向量BC →
的夹角即可．
6.在解决求长度的问题时，可利用向量的数量积及模的知识，解题过程中用到的整体代入使问题得到简捷、明了的解决．
题型二：平面向量与平面解析几何
例3.【多选题】（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线AB
的斜率为B ．||||OB OF =
C ．||4||AB OF >
D ．180OAM OBM ∠+∠<︒
【答案】ACD 【解析】 【分析】
由AF AM =
及抛物线方程求得3(
4p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB 的方程，联
立抛物线求得(,3p B ，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512p AB =
即可判断C 选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得AOB ∠，AMB ∠为钝角即可判断D 选项. 【详解】
对于A ，易得
(,0)2
p
F ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直
平分线上，则A 点横坐标为32
24
p p
p +=， 代入抛物线可得2
233242p y p p =⋅=，则3(4p A ，则直线AB 的斜率为2
342p p =-A 正确； 对于B ，由斜率为AB 的方程为2p x y =+，联立抛物线方程得2
20y py p -=， 设11(,)B x y 1p y p +=，则1y =，代入抛物线得2
12p x ⎛=⋅ ⎝⎭
，解得13p x =，则(,3p B ，
则2p OB OF =≠=，B 错误； 对于C ，由抛物线定义知：325244312
p p p
AB p p OF =
++=>=，C 正确；
对于D ，2
333((,043434p p p p p OA OB ⎛⋅=⋅=⋅=-< ⎝⎭，则AOB ∠为钝角，
又2
225((,043436p p p p p MA MB ⎛⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅-=-< ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，则AMB ∠为钝角， 又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.
例4.（2017·天津·高考真题（文））设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=︒，则圆的方程为_______ .
【答案】22(1)(1x y ++= 【解析】 【详解】
设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ， (1,0),(1,)AC AF m =-=-，
1
cos 21AC AF CAF AC AF
⋅-∠=
=
=-⋅，m =
由于圆C 与y 轴得正半轴相切，则取
m ，所求圆得圆心为(-，半径为1，
所求圆的方程为22(1)(1x y ++=.
例5.（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 【答案】3 【解析】 【详解】
分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫
⎪⎝⎭
易得()()():520C x x a y y a --+-=，与
2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫
=--=-- ⎪⎝⎭
，
由0AB CD ⋅=得()()()2
551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝
⎭或1a =-，
因为0a >，所以 3.a =
例6.（2022·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). 在x 轴是否存在一点P ，使得ADP △为直角三角形，求此时P 点的坐标
【答案】存在，7(,0)4
P -或5
(,0)2或或(
【解析】 【分析】
先利用AB DC =求出D 点坐标，再分A 为直角顶点，D 为直角顶点，P 为直角顶点三种情况求解. 【详解】
设(,)D a b ，()(1,2),3,4AB DC a b ==--，由AB DC =得31
42a b -=⎧⎨-=⎩，解得22
a b =⎧⎨=⎩，
假设存在，设(,0)P m ，当A 为直角顶点时，(4,1),(2,1)AD AP m ==+-，有4810AD AP m ⋅=+-=，解得7
4
m =-； 当D 为直角顶点时，(4,1),(2,2)AD DP m ==--，有4820AD DP m ⋅=--=，解得52
m =
；
当P 为直角顶点时，(2,1),(2,2)AP m DP m =+-=--，有2420AP DP m ⋅=-+=，解得m =故7
(,0)
4
P -
或5
(,0)2
或或(.
【总结提升】
主要有两种类型，一是在给定的坐标系中，应用向量研究曲线问题；二是需根据几何图形特点，建立合适的坐标系，利用向量表示集合元素，研究曲线问题. 题型三：平面向量与三角函数
例7.【多选题】（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，
()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅
【答案】AC 【分析】
A 、
B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；
C 、
D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】
A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP
==，故12||||OP OP =，正确；
B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1
,sin )AP ββ=--，所以
1||(cos 2|sin
|2
AP α
=
==，同理
2||(cos 2|sin
|2
AP β
=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；
C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，
12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；
D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+
()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；
故选：AC
例8．（2021·江苏苏州·高三阶段练习）如图，点A 是单位圆O 与x 轴正半轴的交点，点B 是圆O 上第一象限内的动点，将点B 绕原点O 逆时针旋转
3
π
至点C ，记AOB θ∠=. (1)若点B 的坐标为34,55⎛⎫
⎪⎝⎭
，求点C 的坐标；
(2)若()f BC OA θ=⋅，求()f θ的单调递增区间.
【答案】(1)⎝⎭
(2),32ππ
⎛⎫
⎪⎝
⎭
【解析】 【分析】
（1）利用两角和的正弦和余弦公式可求得点C 的坐标；
（2）利用平面向量数量积以及三角恒等变换可得出()sin 6f πθθ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，利用02πθ<<以及正弦型函数的
单调性可求得结果. (1)
解：由三角函数的定义可得4
sin 5θ=，3cos 5θ=，且点C 的坐标为cos ,sin 33ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
所以，1cos cos 32πθθθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
1sin sin 32πθθθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
故点C 的坐标为⎝⎭
.
(2)
解：()()
f BC OA OC OB OA OC OA OB OA
θ=⋅=-⋅=⋅-⋅
1cos cos cos cos cos cos 332OC OA OB OA ππθθθθθθθ⎛⎫⎛
⎫=⋅+-⋅=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
1cos sin 26πθθθ⎫⎛
⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 02
π
θ<<
，则
26
6
3π
π
πθ<+
<
，由2263
πππθ<+<，解得32ππ
θ<<， 故函数()f θ的单调递增区间为,32
ππ
⎛⎫
⎪⎝
⎭
.
题型四：平面向量与物理学
例9.（2021·全国·高三专题练习）在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情境（如图）假设行李
包所受重力均为G ，两个拉力分别为12F F ，
，若121,F F F =与2F 的夹角为θ，则以下结论正确的是（ ）
A ．1F 的最小值为
1
2
G B ．θ的范围为[0,]π C ．当2
π
θ=
时，12
||2
F G =
D ．当23
π
θ=
时，1||F G = 【答案】ACD 【解析】 【分析】
根据121,F F F =与2F 的夹角为θ，结合受力分析图象，逐一检验答案，得出选项． 【详解】
根据受力分析，如图所示：
对于A ，当行李包处于平衡状态时，121
2
F F
G ==，正确； 对于B ，当θπ=时，没有向上的分力，错误； 对于C ，当2
π
θ=时，12
||2
F G =
，正确； 对于D ，当23
π
θ=时，1||F G =，正确； 故选：ACD
例10．（2021·全国·高三专题练习）如图，重为10N 的匀质球，半径R 为6cm ，放在墙与均匀的AB 木板之间，A 端锁定并能转动，B 端用水平绳索BC 拉住，板长20AB cm =，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？
【答案】60α=︒时，f 有最小值12N ．
【解析】 【分析】
设木板对球的支持力为N ，得到10
sin N α
=，绳子的拉力为f ，化简得
60
20cos sin tan 2f ααα⨯=，利用三角函数的基本性质和基本不等式，即可求解. 【详解】
如图所示，设木板对球的支持力为N ，则10
sin N α
=，设绳子的拉力为f ，又由20cos AC α=，6
tan 2
AD α=， 由动力矩等于阻力矩得
66020cos tan
sin tan
2
2
f N αα
αα⨯=⨯
=
，
所以
260
333
12
cos 1cos 1
cos (1cos )20cos sin tan
()2
24
f α
αααααα=
=
≥==+--， 当且仅当cos 1coa αα=-即1
cos 2
α=
，即60α=︒时，f 有最小值12N ． 【总结提升】
1.求几个力的合力，可以用几何法，通过解三角形求解，也可用向量法求解．
2．如果一个物体在力G 的作用下产生位移为s ，那么力F 所做的功W ＝|F ||s |cos θ，其中θ是F 与s 的夹角．由
于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积． 题型五：平面向量中的最值(范围)问题
例11.（2018·天津·高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD 中，
,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（ ）
A ．
21
16 B ．32
C ．
25
16
D ．3 【答案】A 【解析】 【详解】
分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD △为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设(01)DE tDC t =≤≤，
数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三
角形，BD =(01)DE tDC t =≤≤
AE BE ⋅2
23()()()2AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+=233
322
t t -+(01)t ≤≤
所以当14t =
时，上式取最小值21
16
，选A. 例12．（2018·浙江·高考真题）已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3
π
，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是（ ）
A 1
B 1
C ．2
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
先确定向量a 、b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【详解】
设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===，
则由π,3a e =
得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=
=， 由2
430b e b -⋅+=得()2
222430,21,m n m m n +-+=-+=
因此，a b -的最小值为圆心()2,0到直线y =1 1.选A.
例13.（上海·高考真题）已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 . 【答案】[2,3] 【解析】【详解】
故答案为[2,3].
例14.（2021·浙江·高考真题）已知平面向量,,,(0)a b c c ≠满足()
1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅=.记向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，d a -在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________. 【答案】25
【解析】 【分析】
设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，
，由平面向量的知识可得22x y +=，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】
由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===，
， 则()
20a b c m n -⋅=-=，即2m n =，
又向量d 在,a b 方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y =，
所以d a -在c 方向上的投影(
1()||m x ny d a c z c -+-⋅=
==， 即252x y z +=,
所以((
)
(
)
22
222
2222211
2
21251010
5
x y z x y z x y
z
⎡⎤++=
++++≥+=
⎢⎥⎣⎦， 当且仅当215252x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+=⎩即251555x y z ⎧=⎪⎪
⎪
=⎨⎪⎪=
⎪⎩
时，等号成立，
所以222x y z ++的最小值为25.故答案为：2
5
.
例15. （2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6 的可移动的线段，4=AD ，AB =12BC = ，则BE BF ⋅的取值范围为 ________________ .
【答案】[]99,148
【解析】 【分析】
首先在BC 上取一点G ，使得4BG =，取EF 的中点P ，连接DG ，BP ，根据题意得到()(
)
2
22
194
BE BF BE BF BE BF BP ⎡
⎤⋅=
+--=-⎢⎥⎣⎦
，再根据BP 的最值求解即可.
【详解】
在BC 上取一点G ，使得4BG =，取EF 的中点P ，连接DG ，
BP ， 如图所示：
则83DG =，8GC =，()
2
2883
16CD =+=，
tan BCD ∠==60BCD ∠=. ()(
)()
2
222211
2944BE BF BE BF BE BF BP FE BP ⎡
⎤⎡⎤⋅=
+--=-=-⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
当BP CD ⊥时，BP 取得最小值，此时12sin 6063BP =⨯=
所以()(2min 999BE BF ⋅=-=.
当F 与D 重合时，13CP =，12BC =，则22211213212131572
BP =+-⨯⨯⨯=， 当E 与C 重合时，3CP =，12BC =，
则222112*********
BP =+-⨯⨯⨯=， 所以()max 1579148BE BF ⋅=-=，即BE BF ⋅的取值范围为[]99,148.
故答案为：[]99,148
例16.（广东·高考真题）已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)
（1）若c=5，求sin ∠A 的值；
（2） 若∠A 为钝角，求c 的取值范围；
【答案】（1）
（2）c 的取值范围为（
，+）
【解析】
【分析】
【详解】 (1) (3,4)AB =--, (3,4)AC c =-- 当c=5时，(2,4)AC =- 6161cos cos ,5255A AC AB -+∠===⨯进而
(2)若A 为钝角，则AB AC ⋅= -3(c -3)+( -4)2<0
解得c>
显然此时有AB 和AC 不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为（
，+）
【总结提升】 1.平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，
2.解题思路通常有两种：
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决.。