【高考四元聚焦】 高三一轮数学(理)复习 第18讲 任意角的三角函数

所以 a＜0，
根据三角函数的定义知
a 16＋a2·
1－6＋4 a2＝
43，
解得 a＝－4
3或
a＝－4
3 3.
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【拓展演练 2】 (1)(2012·山东省泰安市上期模拟)点 P 从(2,0)点出发，沿
圆 x2＋y2＝4 按逆时针方向运动43π弧长到达 Q 点，则点 Q 的坐
标为(
)
A．(－1， 3)
则 tan a6π的值为( D )
A．0
3 B. 3
C．1
D. 3
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解析：因为点(a,9)在函数 y＝3x 的图象上， 所以 3a＝9，所以 a＝2. 所以 tana6π＝tanπ3＝ 3，故选 D.
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2.(2011·全国新课标卷)已知角 θ 的顶点与原点重合，始边
与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝( B )
1
第18讲 任意角的三角函数
2
3
1．设集合 E＝{x|x 是小于 90°的角}，F＝{x|x 是锐
角}，G＝{x|x 是第一象限角}，M＝{x|x 是小于 90°，但
不小于 0°的角}，则下列关系成立的是( D )
A．F⊆G⊆E
B．F⊆E⊆G
C．M⊆(E∩G)
D．G∩M＝F
4
2．将－885°化为 α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式
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二 三角函数的定义应用及象限符号
【例 2】(1)(2013·衡水调研卷)已知锐角 α 终边上一点 P
的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则 α 等于( )
A．2
B．－2
C．2－π2
D.π2－2
(2)若角 α 的终边上有一点 P(－4，a)，且 sin α·cos α＝34，
则 a 的值为________________．
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【拓展演练 1】
若 θ 是第二象限的角，则π2－θ 是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
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解析：因为 θ 是第二象限角，且－θ 与 θ 的终边关于 x 轴 对称，所以－θ 为第三象限的角．又π2－θ 可以看成角－θ 的终 边按逆时针方向旋转π2所得的角，故π2－θ 是第四象限角，故选 D.
A．－45
B．－35
3
4
C.5
D.5
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解析：由题意知 tan θ＝2， 所以 cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝csions22θθ＋－csoins22θθ＝t1a－n2tθa＋n21θ ＝－35.
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3.(2010·全国卷)如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时 针运动，其初始位置为 P0( 2，－ 2)，角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )
是( B )
A．－165°＋(－2)×360°
B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360°
D．165°＋(－3)×360°
5
3．若 α＝5 rad，则角 α 的终边所在的象限为( D )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第
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(C )
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解析：据点 P0 坐标可得∠xOP0＝π4，故∠xOP＝t－π4， 设点 P(x，y)，则由三角函数的定义， 可得 sin∠xOP＝yr，即 sin(t－π4)＝2y， 则 y＝2sin(t－π4)． 因此点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数为 d＝|y|＝2|sin(t－π4)|，其对应的图象为 C.
B．(－ 3，－1)
C．(－1，－ 3)
D．(－ 3，1)
(2)角 α 的终边过点 P(－8m，－6cos 60°)，且 cos α＝－45，
则 m 的值是
.
20
4 解析：(1)由题设知旋转的角大小为32π＝23π， 则 Q 点的坐标为(2cos23π，2sin23π)，即(－1， 3)． (2)由 P(－8m，－3)和 cos α＝－45<0 可知，m>0， r＝|OP|＝ 64m2＋9，cos α＝ 6－4m82m＋9＝－45， 所以 m2＝14，所以 m＝12，故填12.
.
10
解析：由条件知 x＝－1，y＝ 3，则 r＝2， 所以 cos α＝xr＝－12.
11
12
一 角的相关概念
【例 1】确定下列各角的终边所在的位置： (1)－1875°；
126π (2) 5 .
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解析：(1)因为－1875°＝－6×360°＋285°， 所以－1875°与 285°的终边相同，而 285°是第四象限角， 故－1875°的终边在第四象限． (2)因为1256π＝12×2π＋65π，所以1256π与65π的终边相同， 故1256π的终边在第三象限．
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三 扇形的弧长、面积和圆心角
【例 3】已知扇形的周长为 30，当它的半径 R 和圆心角 α 各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．
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解析：设扇形的弧长为 l，面积为 S，由题意， l＋2R＝30， 所以 S＝12lR＝12(30－2R)R＝R(15－R) ≤(R＋125－R)2＝56.25. 当且仅当 R＝15－R，即 R＝7.5 时，面积最大， 且 Smax＝56.25，此时，圆心角 α＝Rl ＝71.55＝2.
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【拓展演练 3】 已知一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形边长 a，求其 圆心角的弧度数及面积．
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解析：设圆弧长为 l，半径为 R，圆心角的弧度数为 α.
由题意，R＝23·23a＝ 33a，
所以 S＝12lR＝12a·33a＝ 63a2，
圆心角 α＝Rl ＝
a＝ 3
3.
3a
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1.(2011·山东卷)若点(a,9)在函数 y＝3x 的图象上，
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解析：(1)因为锐角 α 终边上一点 P 的坐标为 (2sin 2，－2cos 2)， 所以 tan α＝－22sicnos22＝－sicnos22＝csoins－－π2π2＋＋22＝tan(2－π2)， 故选 C.
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(2)因为 sin α·cos α＝34＞0，所以 sin α，cos α 同号， 所以角 α 在第三象限，即 P(－4，a)在第三象限，
4．(改编)扇形的中心角为 120°，半径为 6，则此扇形的
面积为( C )
A．π
5π B. 4
C．2π
7π D. 4
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解析：120°＝23π，S 扇形＝12×23π×( 6)2＝2π，故选 C.
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5．(2012·浙江省金华十校 3 月模拟)已知角 α 的终边经过
点 P(－1， 3)，则 cos α＝