2022成才之路·人教B版数学·选修2-1练习：第2章 圆锥曲线与方程2.3.1

其次章 2.3 2.3.1
一、选择题
1．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2
k ＋3＝1表示双曲线的导学号 64150380 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 [答案] A
[解析] 若k >3，则方程x 2
k －3－y 2
k ＋3＝1，表示双曲线；若方程x 2
k －3－y 2
k ＋3＝1表示双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧
k －3>0
k ＋3>0或
⎩⎪⎨
⎪⎧
k －3<0
k ＋3<0
解得k >3或k <－3.故选A. 2．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的确定值为26，则动点P 的轨迹方程为导学号 64150381 ( )
A ．y ＝0
B ．y ＝0(|x |≥13)
C ．x ＝0(|y |≥13)
D ．以上都不对
[答案] C
[解析] ||PF 1|－|PF 2||＝|F 1F 2|，∴x ＝0.
3．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值为 导学号 64150382 ( ) A.1
2 B.3
2 C.72 D ．5
[答案] C
[解析] 点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P 与双曲线右支顶点M 重合时，|P A |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝7
2
.故选C.
4．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2
b ＝1(a >0.b >0)有相同的焦点，P 是两曲线上的一个交点，则
|PF 1|·|PF 2|的值为导学号 64150383 ( )
A ．m －a
B ．m －b
C ．m 2－a 2 D.m －b
[答案] A
[解析] 由题意|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝2a 整理得|PF 1|·|PF 2|＝m －a ，选A.
5．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝1的导学号 64150384 ( )
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等
[答案] A
[解析] 本题考查双曲线的性质． ∵0<k <9，∴0<9－k,25－k >0， ∴曲线表示双曲线， 又∵25＋9－k ＝c 2， ∴焦距相等．选A. 6．设P 为双曲线
x 2－
y 2
12
＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点．若|PF 1|︰|PF 2|＝3︰2，则△PF 1F 2的面积为导学号 64150385 ( )
A ．6 3
B ．12
C ．12 3
D ．24
[答案] B
[解析] 设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＝2，x y ＝32，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝6y ＝4又|F 1F 2|＝213
由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝16＋36－4×13
2×4×6
＝0.
∴S △PF 1F 2＝12x ·y ·sin ∠F 1PF 2＝4×6×1
2×1＝12.
二、填空题
7．方程x 24－k ＋y 2
k －1
＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：导学号 64150386
①曲线C 不行能为圆；②若1<k <4，则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <5
2
，其中正确的命题是________．
[答案] ③④
[解析] 若曲线C 为圆，则4－k ＝k －1，解得k ＝5
2.故①错．
若曲线C 为椭圆，则1<k <4且k ≠5
2，②错．
曲线C 为双曲线，则k <1或k >4.③④对．
8．已知F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为
________．导学号 64150387
[答案] 9
[解析] 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|＝4＋|PF 1|，所以当满足|PF 1|＋|P A |最小时就满足|PF |＋|P A |取最小值．由双曲线的图形可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小．而|AF 1|即为|PF 1|＋|P A |的最小值，|AF 1|＝5，故所求最小值为9.
三、解答题
9．如图所示，已知定圆
F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆
F 2
：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆
M 与定圆F 1，F 2
都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．导学号 64150388
[解析] 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.
设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，
∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.
∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝3
2，c ＝5.
∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1(x ≤－3
2
).
一、选择题
1．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且ab <0，则它表示的曲线是导学号 64150389( ) A ．焦点在x 轴上的双曲线 B ．圆
C ．焦点在y 轴上的双曲线
D ．椭圆 [答案] C
[解析] 原方程可变形为x 2b a －y 2b a ＝1，即y 2－b a －x 2
－
b
a
＝1.可知它表示焦点在y 轴上的双曲线．
2．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝导学号 64150390 ( )
A.1
4 B.3
5 C.34 D.45
[答案] C
[解析] 本题考查双曲线定义．由|PF 1|＝2|PF 2|及|PF 1|－|PF 2|＝22知|PF 2|＝2 2 ∴|PF 1|＝42，而|F 1F 2|＝4，∴由余弦定理知cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－42
2×42×22
＝3
4
.当点在圆锥曲线上时，很简洁考虑到定义解决问题．
3．已知平面内有肯定线段AB ，其长度为4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|PO |的最小值为导学号 64150391( )
A ．1 B.32 C ．2 D ．4
[答案] B
[解析] 由已知，P 点轨迹为以A ，B 为焦点，2a ＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最小，∴|PO |的最小
值为3
2
，故选B.
4．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→
＝0，则|PF 1|·|PF 2|的值等于导
学号 64150392( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．8
[答案] A
[解析] ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→
. 又||PF 1|－|PF 2||＝4，|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，
∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20－2|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2.
二、填空题
5．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 2
27＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2
的平分线，则|AF 2|＝________.导学号 64150393
[答案] 6
[解析] 本小题考查的内容是双曲线的定义与角平分线定理的应用． 如图，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，
由角平分线定理知， |AF 1||AF 2|＝|F 1M |
|MF 2|
＝2 又|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝6，∴|AF 2|＝6.
6．设圆过双曲线x 29－y 2
16＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是
________．导学号 64150394
[答案]
163
[解析] 如图所示，设圆心P (x 0，y 0)，则|x 0|＝c ＋a 2＝4，代入x 29－y 2
16
＝1，
得y 20＝16×7
9， ∴|OP |＝
x 20＋y 20
＝163
. 7．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．导学号 641503950
[答案] 2 3
[解析] 本题考查了双曲线的概念．
设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，依据双曲线的定义及已知条件可得|m －n |＝2a ＝2，m 2＋n 2＝4c 2＝8 ∴2mn ＝4
∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(m ＋n )2＝(m －n )2＋4mn ＝12 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2 3
充分利用PF 1⊥PF 2, 将||PF 1|－|PF 2||＝2a ，转化到|PF 1|＋|PF 2|是解决本题的关键． 三、解答题
8．争辩方程x 2k －3－y 2
2－k
＝1表示何种曲线．导学号 64150396
[解析] 当⎩⎪⎨⎪⎧ k －3<0，2－k >0时，即k <2时，x 2k －3－y 2
2－k ＝1不表示任何曲线；当⎩⎪⎨⎪⎧
k －3>0，2－k <0时，即k >3时，
x 2k －3－y 22－k ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；当⎩⎪⎨⎪⎧
k －3<0，2－k <0
时，即2<k <3时，x 2k －3－y 2
2－k ＝1表示焦点在y 轴上的双曲线．
9.如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A 、B 、C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．导学号 64150397
[解析] 如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系， 则A (－22，0)、B (22，0)．
由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c
2R .
∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c
2，
从而有|CA |－|CB |＝1
2
|AB |＝22<AB .
由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支，扣除(2，0)点的部分． ∵a ′＝2，c ′＝22， ∴b ′2＝c ′2－a ′2＝6.
所以顶点C 的轨迹方程为x 22－y 2
6
＝1(x >2)．。