12.通项公式

第十一讲:通项公式 41
第十一讲:通项公式
求递推数列的通项公式是数列研究的中心,也是高考命题的热点.本讲研究非常规递推数列通项公式的求法.
1.恒等式法
例1:(2011年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知数列{a n }满足a 1=0,a n+1=n n 2+a n +n
1
,求数列{a n }的通项公式. 解析:a n+1=n
n 2+a n +n 1(x=n n 2+x+n
1
⇒x=-
21)⇒a n+1+21=n n 2+(a n +21),令b n =a n +21⇒b 1=21,b n+1=n n 2+b n ⇒n
n b b
1+=
n n 2+⇒b n =b 1⋅12b b ⋅23b b ⋅3
4b b
⋅…⋅1-n n b b =21⋅13⋅
24⋅35⋅…⋅11-+n n =41n(n+1)⇒a n =41n(n+1)-21. [思想方法]:两个恒等式:①a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1);②a n =a 1⋅
12
a a ⋅2
3a a ⋅…⋅1-n n a a .在求解数列通项中有不
可替代的作用.
类题:
1.(2011年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知数列{a n }满足a 1=3,a n +a n-1=2+1
)
13(--+n n a a n n (n ≥2,a n >0),求数列{a n }的通
项公式.
2.(2010年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=41,且a n+1=n
n a n a n --)1((n=2,3,4,…). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;
(Ⅱ)求证:对一切n ∈N *
,有∑=n
k k a 1
2
<
6
7
.
2.变形换元
例2:(1993年全国高中数学联赛试题)设正数列a 0,a 1,a 2, ,a n , 满足
2-n n a a -21--n n a a =2a n-1(n ≥2),且a 0=a 1=1.求
{a n }的通项公式.
解析:
2-n n a a -21--n n a a =2a n-1(同除21--n n a a )⇒
1-n n
a a -1=221
--n n a a ;令b n =1
-n n
a a ,则
b 1=1,且b n =2b n-1+1⇒b n +1= 2(b n-1+1)⇒b n +1=2n
⇒
1
-n n a a +1=2n ⇒1-n n a a =(2n -1)2
⇒a n =a 112a a …1-n n a a = n
i i 12)12(=-(n ≥1).a 0=1不适合.
[思想方法]:换元法是求数列通项的重要方法,其中的关键是对递推关系式进行恒等变形,以便于换元.
类题:
1.(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知数列{a n }满足:a 1=0,a n+1=a n +1+2n a +1(n=1,2,…),则a n =___ .
2.(2009年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=a n +1+n a 41+(n ∈N *
),则数列的通项a n = .
3.不动点法
例3:(2013年全国高中数学联合竞赛四川预赛试题)已知函数f(x)=1
3323
++x x
x
,数列{x n }满足:x 1=2,x n+1=f(x n )(n ∈N +).
记b n =log 3(
1
1
+-n n x x )(n ∈N +).
42 第十一讲:通项公式
(Ⅰ)求证:数列{b n }成等比数列,并求数列{b n }的通项公式; (Ⅱ)记c n =-nb n (n ∈N +),求数列{c n }的前n 项和公式T n .
解析:(Ⅰ)由1111+-++n n x x =1)(1)(+-n n x f x f =1
1
331
1
332
3
2
3+++-++n n
n n n
n x x x x x x =(
11+-n n x x )3⇒log 31111+-++n n x x =3log 3(1
1
+-n n x x )⇒b n+1=3b n ,b 1=-1⇒数列{b n }成等比数列,b n =-3n-1
; (Ⅱ)c n =n ×3n-1
⇒T n =
4
1[(2n-1)×3n
+1]. [思想方法]:不动点法是求数列通项的另一重要方法,它不仅适用于一阶线性递推数列和一阶线性分成数列,它还
可解决其它分式递推数列.
类题:
1.(2011年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知数列{a n }、{b n }满足:a 1=2p,a n+1=21(a n +n
a p 2),
b n =p a p a n n -+(n ∈N *
,p>0).
(Ⅰ)求数列{b n }的通项公式; (Ⅱ)证明:
p
a p
a n n --+1=123-n +1;
(Ⅲ)设S n 是数列{a n }的前n 项和,当n ≥2时,S n 与(n+
18
23
)p 的大小关系是否确定？请说明理由. 2.(1982年全国高考试题改编)已知数列{a n }满足:a 1=a,a n+1=2
2223)3(b a b a a n n n ++,a ≠±b,求数列{a n }的通项公式.
4.递推变换
例4:(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)若数列{a n }满足:a 1=3
2
,a n+1-a n =)(3
2
1n n a a ++,则a 2007= . 解析:由a n+1-a n =
)(3
21n n a a ++两边平方得3(a n+1-a n )2=2(a n+1+a n )⇒3(a n -a n-1)2
=2(a n +a n-1),两式相减,得3(a n+1-a n-1)(a n+1- 2a n +a n-1)=2(a n+1-a n-1).又a 2=2,a n+1>a n ⇒3(a n+1-2a n +a n-1)=2⇒(a n+1-a n )-(a n -a n-1)=32⇒数列{a n+1-a n }是以a 2-a 1=3
4
为首项,
32为公差的等差数列⇒a n+1-a n =32⇒a n =3
1
n(n+1). [思想方法]:递推变换的目的是:把复杂的递推关系式变换转化为较简单的,即基本的递推关系式,以利用求数列通
项.
类题:
1.(2012年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设递增数列{a n }满足:a 1=1,4a n+1=5a n +1692+n a (n ≥1,n ∈N +).
(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)证明:
11a +21a +31a +…+n
a 1
<2. 2.(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知数列{a n }(n ≥0)满足a 0=0,对于所有非负整数n,有a n+1=2)1(30+n n a a +11a n +5.求a n 的通项公式.
第十一讲:通项公式 43 5.猜测证明
例5:(2007年江西高考试题)设正整数数列{a n }满足:a 2=4,且对于任何n ∈N *,有2+
1
1+n a <1
11111+-
++n n a a n n <2+n a 1,求数列{a n }的通项a n .
解析:当n=1时,a 1=1,a 3=9,猜测a n =n 2.由2+
1
1+n a <1
11111+-
++n n a a n n <2+n a 1⇒2+11+n a <n(n+1)(21n +11+n a )<2+21n ⇒1)1(23+-+n n n n <a n+1<
1)1(2--+n n n n ⇒1
)1(23+-+n n n n -(n+1)2<a n+1-(n+1)2<1)1(2--+n n n n -(n+1)2⇒112+-+n n n <a n+1-(n+1)2<11-n ⇒a n+1=(n+1)2
.
[思想方法]:求数列的通项a n ,首先由已知条件求出最初的几项,并归纳猜测a n ,然后用数学归纳法证明.
类题:
1.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知数列{a n }中,a 1=1,a n+3≤a n +3,a n+2≥a n +2,求a 2007.
2.(2011年全国高中数学联赛试题A)已知数列{a n }满足:a 1=2t-3(t ∈R,且t ≠±1),a n+1=1
21
)1(2)32(1-+--+-+n n n n n t a t t a t (n ∈
N *
).
(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若t>0,试比较a n+1与a n 的大小.
6.三角换元
例6:(《中等数学》.2007年第12期.数学奥林匹克高中训练题(104))已知数列{a n }满足:
a 1=1,a n+1=a n +12
+n a .求证:a 1+a 2+…+a n >
2
)1(π
-n . 解析:由a 1=1,a n+1=a n +
12+n a ⇒a n+1>a n ⇒a n ≥1.令a n =tan θn ,θn ∈[
4π,2π);由a 1=1⇒θ1=4
π
;由tan θn+1
=a n+1=a n +
12
+n a =tan θn +1tan 2+n θ=
n
n θθcos 1
sin +=tan(2n θ+4π),θn ∈[4π,2π)⇒2n θ+4π∈[4π,2π)⇒θ
n+1
=
2
n θ+4π
⇒θn = 2π-4π(21)n-1;又因tan θn >θn ⇒a 1+a 2+…+a n =tan θ1+tan θ2+…+tan θn >θ1+θ2+…+θn =2)1(π-n +4π(21)n-1>2
)1(π
-n . [思想方法]:把递推关系式的结构特点与三角公式进行联想是进行三角换元的关键.三角换元时要特别注意限定角
的范围.
类题:
1.(1994年第5届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{a n }中,a 1=a(0<a<1),a n+1=2
112
n
a --(n ∈N*),则{a n }的一个
通项公式是a n = .
2.已知正项数列{a n }满足:a 2n-1,a 2n+1,a 2n 成等差数列,且a 2n 与a 2n+1的等比中项为a 2n+2.若a 1=1,a 2=2,求数列{a n }的通项a n .。