(优选)2019年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式达标检测新人教A版选修4-5

第三讲 柯西不等式与排序不等式
达标检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a ，b ，c 都是正数，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式中正确的是( ) A ．(a ＋b ＋c )2
≥3 B ．a 2＋b 2＋c 2
≥2 C.1a ＋1b ＋1
c
≤2 3
D ．a ＋b ＋c ≤1
3abc
解析：用3(ab ＋bc ＋ca )≤(a ＋b ＋c )2
≤3(a 2
＋b 2
＋c 2
)易得． 答案：A
2．已知2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2
＋y 2
＋z 2
取到最小值时的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B ．2029，3029，4029 C ．1，12，13
D ．1，14，19
解析：x 2
＋y 2
＋z 2
＝x 2＋y 2＋z 2
2
＋32＋4
2
29
≥
x ＋3y ＋4z
2
29
＝10029
. 当且仅当⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2k y ＝3k
z ＝4k
时，等号成立，
则4k ＋9k ＋16k ＝29k ＝10，解得k ＝10
29
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2029
，
y ＝3029，
z ＝4029.
选B.
答案：B
3．已知3x 2
＋2y 2
≤1，则3x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，5]
B ．[－5，0]
C ．[－5，5]
D ．[－5,5]
解析：|3x ＋2y |≤3x 2
＋2y 2
·3
2
＋2
2
≤5，所以－5≤3x ＋2y ≤ 5.
答案：C
4．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z
3的最小值是( )
A ．5
B ．6
C ．8
D ．9
解析：x ＋y 2＋z 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋3z ＝3＋2x y ＋y 2x ＋3x z ＋z 3x ＋3y 2z ＋2z
3y
≥3＋2＋2＋2＝9，选D.
答案：D
5．已知x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)，设A ＝a 2＋b 2，B ＝(x ＋y )2
，则A 、B 间的大小关系为( )
A ．A <
B B ．A >B
C ．A ≤B
D ．A ≥B
解析：A ＝a 2
＋b 2
＝1·(a 2
＋b 2
)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2
a 2＋y 2
b 2(a 2＋b 2)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x a
·a ＋y b ·b 2＝(x ＋y )2
＝B .即A ≥B .
答案：D
6．已知a ，b 是给定的正数，则a 2sin 2α＋b 2
cos 2α的最小值为( )
A ．a 2
＋b 2
B ．2ab
C ．(a ＋b )2
D ．4ab
解析：a 2sin 2α＋b 2
cos 2α＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2sin 2α＋b 2
cos 2α(sin 2α＋cos 2α)≥(a ＋b )2
，故应选C.
答案：C
7．设a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( ) A. 5 B ． 3 C ．2 3
D ．
3
2
解析：1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2
＋(b )2
＋(2c )2
＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋2c )2
·13
， ∴(a ＋b ＋2c )2
≤3，a ＋b ＋2c ≤3，当且仅当a ＝13，b ＝13，c ＝112
时取等号．
答案：B
8．函数y ＝3x －5＋46－x 的最大值为( ) A. 5 B ．5 C ．7
D ．11
解析：函数的定义域为[5,6]，且y >0.
y ＝3×x －5＋4×6－x ≤32＋42×
x －
2
＋6－x
2
＝5.
当且仅当
x －5
3
＝
6－x
4
. 即x ＝134
25时取等号．所以y max ＝5.
答案：B
9．若x ，y ，z 是非负实数，且9x 2
＋12y 2
＋5z 2
＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值为( ) A ．9 B ．10 C ．14
D ．15
解析：u 2
＝(3x ＋6y ＋5z )2
≤[(3x )2
＋(23y )2
＋(5z )2
]·[12
＋(3)2
＋(5)2
]＝9×9＝81，当且仅当x ＝13，y ＝1
2，z ＝1时等号成立．故所求的最大值为9.
答案：A
10．若5x 1＋6x 2－7x 3＋4 x 4＝1，则3x 2
1＋2x 2
2＋5x 2
3＋x 2
4的最小值是( ) A.782
15 B ．15782 C ．3 D ．253
解析：因为⎝
⎛⎭
⎪⎫253＋18＋495＋16(3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24
)≥
⎝ ⎛⎭
⎪⎫53×3x 1＋32×2x 2＋－75×5x 3＋4×x 42＝(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2
＝1，
所以3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 2
4≥15782.
答案：B
11．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n
的最小值是( )
A.1n
B ．n
C ．1
D ．不能确定
解析：不妨设0<a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n ，1c 1，1c 2
，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1
a n
的一个排列，
又反序和≤乱序和，所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≥a 1a 1＋a 2a 2
＋…＋a n a n
＝n . 答案：B
12．已知a ，b ，c ∈R ＋，设P ＝2(a 3
＋b 3
＋c 3
)，Q ＝a 2
(b ＋c )＋b 2
(c ＋a )＋c 2
(a ＋b )，则( ) A ．P ≤Q B ．P <Q C ．P ≥Q
D ．P >Q
解析：设a ≥b ≥c ，a 2
≥b 2
≥c 2
，
顺序和a 3
＋b 3
＋c 3
，乱序和a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a 与a 2
c ＋b 2
a ＋c 2
b ， ∴a 3
＋b 3
＋c 3
≥a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a ，
a 3＋
b 3＋
c 3≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b ，
2(a 3
＋b 3
＋c 3
)≥a 2
(b ＋c )＋b 2
(c ＋a )＋c 2
(a ＋b )， ∴P ≥Q ，选C. 答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝6，则1x ＋1
y
的最小值为________．
解析：1x ＋1y ＝16(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝16[(2x )2＋(y )2
]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·1x ＋y ·1y 2
＝16(2＋1)2
＝3＋226， 当且仅当2x ·
1
y
＝y ·
1
x
，即x ＝6－32，y ＝62－6时取等号．
答案：1
6
(3＋22)
14．如图所示，矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．
解析：由图可知，阴影面积＝a 1b 1＋a 2b 2，而空白面积＝a 1b 2＋a 2b 1，根据顺序和≥反序和知，应填“≥”． 答案：≥
15．设实数a 1，a 2，a 3满足条件a 1＋a 2＋a 3＝2，则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 1的最大值为________． 解析：由柯西不等式，得(a 2
1＋a 2
2＋a 2
3)·(12
＋12
＋12
)≥(a 1＋a 2＋a 3)2
＝4， 于是a 21＋a 22＋a 2
3≥43
.
故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 1＝12[(a 1＋a 2＋a 3)2－(a 21＋a 22＋a 23)]＝12×22
－12(a 21＋a 22＋a 23)≤2－12×43＝43.
当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝2
3时取等号．
答案：43
16. 已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值．
则F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n
x 1
的最小值为________．
解析：不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x 1≥1x 2
≥…≥1
x n
>0.
且0<x 2
1≤x 22≤…≤x 2
n .
∵1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列{1
x n
}的一个排列．
根据排序不等式，得
F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1≥x 21·1x 1＋x 22·1x 2＋…＋x 2n ·1x n
＝x 1＋x 2＋…＋x n ＝P (定值)，
即式子F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1
的最小值为P .
答案：P
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1.求证：2a ＋1＋2b ＋1≤2 2. 证明：由柯西不等式得：
(2a ＋1·1＋2b ＋1·1)2
≤(2a ＋1＋2b ＋1)(1＋1)＝8. 所以2a ＋1＋2b ＋1≤2 2.
18．(12分)若正数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，求13a ＋2＋13b ＋2＋1
3c ＋2的最小值．
解析：因为正数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1， 所以⎝
⎛⎭
⎪
⎫13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋
(3c ＋2)] ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫
13a ＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ 13b ＋22＋⎝
⎛⎭⎪⎫ 13c ＋22· [
]3a ＋2
2
＋3b ＋22
＋3c ＋2
2
≥⎝
⎛
1
3a ＋2·3a ＋2＋ 1
3b ＋2
·3b ＋2＋ 13c ＋2
·
⎭
⎫3c ＋2 2
＝9.
又3a ＋2＋3b ＋2＋3c ＋2＝3(a ＋b ＋c )＋6＝9，
故
13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1，当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13
时上式取等号． 19．(12分)设a 、b 、c ∈R ＋，利用排序不等式证明： (1)a a b b >a b b a
(a ≠b )； (2)a 2a b 2b c 2c
≥a
b ＋
c b c ＋a c a ＋b
.
证明：(1)不妨设a >b >0，则lg a >lg B ．
从而a lg a ＋b lg b >a lg b ＋b lg a ， ∴lg a a
＋lg b b
>lg b a
＋lg a b
， 即lg a a b b
>lg b a a b
，故a a b b
>a b b a
.
(2)不妨设a ≥b ≥c >0，则lg a ≥lg b ≥lg c . ∴a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ，
a lg a ＋
b lg b ＋
c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c .
∴2a lg a ＋2b lg b ＋2c lg c
≥(b ＋c )lg a ＋(a ＋c )lg b ＋(a ＋b )lg c . ∴lg(a 2a
·b 2b
·c 2c
)≥lg(a
b ＋c
·b
a ＋c
·c
a ＋b
)．
故a 2a b 2b c 2c ≥a
b ＋
c b c ＋a c a ＋b
.
20．(12分)已知正数x 、y 、z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x
≤λ恒成立，求λ的取值范围． 解析：
1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12xy ＋12yz ＋12zx
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1× z
x ＋y ＋z
＋1×
x
x ＋y ＋z
＋1×
y x ＋y ＋z
≤12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2
＋12
＋1
2
⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z 12 ＝
32，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
32，＋∞. 21．(13分)设a 1，a 2，…，a n 是1,2，…，n 的一个排列，求证：12＋23＋…＋n －1n ≤a 1a 2＋a 2a 3
＋…＋
a n －1
a n
. 证明：设b 1，b 2，…，b n －1是a 1，a 2，…，a n －1的一个排列，且b 1<b 2<…<b n －1；c 1，c 2，…，c n －1是a 2，a 3，…，a n 的一个排列，且c 1<c 2<…<c n －1，
则1c 1>1c 2>…>1c n －1
且b 1≥1，b 2≥2，…，b n －1≥n －1，c 1≤2，c 2≤3，…，c n －1≤n ，
利用排序不等式有：
a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ≥
b 1
c 1＋b 2c 2＋…＋b n －1c n －1≥12＋23＋…＋n －1n
. 22．(13分)某自来水厂要制作容积为500 m 3
的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)： ①19×19；②30×10；③25×12.
请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)． 解析：设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a m 、b m 、c m ， 由题意，可得abc ＝500，
长方体水箱的表面积为：S ＝2bc ＋2ac ＋ab .
由均值不等式，知S ＝2bc ＋2ac ＋ab ≥332bc ·2ac ·ab ＝334×5002
＝300. 当且仅当2bc ＝2ca ＝ab ，即a ＝b ＝10，c ＝5时，
S ＝2bc ＋2ca ＋ab ＝300为最小，
这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．
如何选择材料并设计制作方案，就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．
逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图，如图(1)，进一步剪拼成图(2)的长30 m，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．
可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．。