山东省日照市2019-2020学年高二下学期期末2份数学调研试题

基础练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用数学归纳法证明42
2
1232n n n ++++⋅⋅⋅+=，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上（ ） A ．增加一项
B ．增加2k 项
C ．增加2k 项
D ．增加21k +项
2．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．以上三种情况都可能
3．函数()y f x =的图象过原点且它的导函数()y f x '=的图象是如图所示的一条直线, 则()y f x =的图象的顶点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．若正项等比数列{}n a 满足313S =，241a a =，3log n n b a =，则数列{}n b 的前20项和是( ) A ．25- B ．25 C ．150- D ．150
5．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下： 小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
6．为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ） A ．9 B ．647 C ．657 D ．667
8．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是( )
A ．甲可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道自己的成绩
C ．甲､丙可以知道对方的成绩
D ．乙､丁可以知道自己的成绩 9．已知复，则复数的共轭复数（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．不等式213
x x -+＞0的解集是 A ．（12
，+∞） B ．（4，+∞） C ．（-∞，－3）∪（4，+∞） D ．（-∞，－3）∪（12
，+∞） 11．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
A ．144个
B ．120个
C ．96个
D ．72个
12．如图是函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象,则下列说法正确的是( )
A ．x a =是函数()y f x =的极小值点
B ．当x a =-或x b =时,函数()f x 的值为0
C ．函数()y f x =关于点()0,c 对称
D ．函数()y f x =在(),b +∞上是增函数
二、填空题：本题共4小题
13．已知函数()f x 的导函数为(x)f '，若32()(1)2f x x f x '=+-，则(1)f '的值为___.
14．已知ABC ∆的外接圆半径为1，2AB =，点D 在线段AB 上，且CD AB ⊥，则ACD ∆面积的最大值为______.
15．某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B 校学生中抽取______人.
16．不等式46n n C C >的解为n =______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()2,.f x x a x a R =-++∈
（1）当1a =时，解不等式() 4.f x ≥；
（2）若[]0,1x ∈时，不等式()3f x x ≤+成立，求实数a 的取值范围。

18．某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：
（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由.
(参考公式：11222
11(),)ˆ()(n n
i i i i
i i n n i
i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---==--∑∑∑∑ˆˆa y bx =-.)
19．（6
分）已知函数()2x
f x ax e =-. （1）当2
e a <时，求证：()
f x 在()0,∞+上是单调递减函数； （2）若函数()f x 有两个正零点1x 、()212x x x <，求a 的取值范围，并证明：124x x +>.
20．（6分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(2x y θθθ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数．在以原点O 为极
点，为参数）．在以原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
113sin 4cos ραα
=+． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设()2,1A ，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求||||AM AN ⋅的值．
21．（6分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获得价值100元的奖品，有二等奖券3张，每张可获得价值50元的奖品，其余6张没有奖，某顾客从此10张奖券中任抽2张，求
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得奖品总价值为100元的概率.
22．（8分）已知函数l 2(1)().1nx f f x x x
'=-+． (Ⅰ)求函数()(1,(1))f x f 在点处的切线方程；
(Ⅱ)0,1x x >≠当且时，2l ()(2),1
nx f x a a a x >+---求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解析】
【分析】
明确从n k =变为1n k =+时，等式左端的变化，利用末尾数字作差即可得到增加的项数.
【详解】
当n k =时，等式左端为：2123k +++⋅⋅⋅+
当1n k =+时，等式左端为：()()()2
222123121k k k k +++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++ ()22121k k k +-=+ ∴需增加21k +项
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查数学归纳法的基础知识，关键是明确等式左端的数字变化规律.
2．B
【解析】
【分析】
【详解】
由于,αβ为三角形内角，故sin 0α>，所以cos 0β<，
即β为钝角，
三角形为钝角三角形，故选B .
3．A
【解析】
【分析】
设2()(0)f x ax bx a =+≠，则()'2f x ax b =+，由图可知0,0a b <>，从而可得顶点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
在第一象限.
【详解】
因为函数()y f x =的图象过原点，
所以可设2
()(0)f x ax bx a =+≠， ()'2f x ax b =+，
由图可知0,0a b <>,
22
40,0244b ac b b a a a
--->=>， 则函数2
()(0)f x ax bx a =+≠的顶点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第一象限，故选A. 【点睛】
本题主要考查导数公式的应用，考查了直线与二次函数的图象与性质，属于中档题.
4．C
【解析】
【分析】
设正项等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,由已知列式求得首项与公比,可得数列{}n a 的通项公式，代入3log n n b a =求得数列{}n b 的通项公式,可得数列{}n b 是以2为首项,以1-为公差的等差数列,再由等差数列的前n 项和公式求解．
【详解】
设正项等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,
由313S =,241a a =,得: ()
2111221131a a q a q a q ⎧++=⎪⎨=⎪⎩,解得11,93q a == 1133133193log log ,333n n n n n n n a a q b a n ----⎛⎫∴==⋅====- ⎪⎝⎭,
则数列{}n b 是以2为首项，以1-为公差的等差数列, 则202019(1)2021502
S ⨯⨯-=⨯+
=-. 故选:C.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式,考查等差数列的求和公式,难度较易.
5．D
【解析】
1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;
2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;
3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;
4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.
【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.
6．A
【解析】
【分析】
根据选项中的等高条形图看出共享与不共享时对企业经济活跃度差异大小，从而得出结论．
【详解】
根据四个等高条形图可知：
图形A 中共享与不共享时对企业经济活跃度的差异最大
它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查条形统计图的应用，考查学生理解分析能力和提取信息的能力，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
由题知，a 、b 、c 三个向量共面,则存在常数,p q ，使得c pa qb =+，由此能求出结果.
【详解】
因为()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，且a 、b 、c 三个向量共面,
所以存在,p q 使得c pa qb =+.
所以()()7,5,2,4,32p q p q p q λ=--+- ，
所以274532p q q p p q λ-=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩
， 解得331765,,32777
p q p q λ=
==-= . 故选:C.
【点睛】
本题主要考查空间向量共面定理求参数，还运用到向量的坐标运算.
8．B
【解析】
【分析】
根据题意可逐句进行分析，已知四人中有2位优秀，2位良好，而丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好，接下来，由上一步的结论，当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，同理，当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，从而选出答案.
【详解】
由丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好； 当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是甲不知道丙和丁的成绩；
当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是丁不知道甲和乙的成绩；
综上，只有B 选项符合.
故选：B.
【点睛】
本题是一道逻辑推理题，此类题目的推理方法是综合法和分析法，逐条分析题目条件语句即可，属于中等题.
9．C
【解析】
，选C
10．D
【解析】
分析：解分式不等式先移项将一侧化为0，通分整理，转化为乘法不等式。

详解：21102130x 332
x x x x ∞∞->⇔-+>⇒∈--⋃++（，）（，），故选D 。

点睛：解分式不等式的解法要，先移项将一侧化为0（本身一侧为0不需要移项），通分整理，转化为乘法不等式，但分母不能为0.
11．B
【解析】
试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．
解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A 43=24种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A 43=24种情况，此时有2×24=48个，
共有72+48=120个．
故选B
考点：排列、组合及简单计数问题．
12．D
【解析】
【分析】
由导函数的图象得到原函数的增减区间及极值点，然后逐一分析四个命题即可得到答案．
【详解】
由函数f(x)的导函数图象可知，
当x ∈(−∞,−a),(−a ，b)时,f ′(x)<0，原函数为减函数；
当x ∈(b,+∞)时,f ′(x)＞0，原函数为增函数.
故x a =不是函数()y f x =的极值点，故A 错误；
当x a =-或x b =时,导函数()f x '的值为0，函数()f x 的值未知，故B 错误；
由图可知，导函数()f x '关于点()0,c 对称，但函数()y f x =在(−∞,b)递减,在(b,+∞)递增,显然不关于点()0,c 对称，故C 错误；
函数()y f x =在(),b +∞上是增函数，故D 正确；
故答案为：D.
【点睛】
本题考查函数的单调性与导数的关系，属于导函数的应用，考查数形结合思想和分析能力，属于中等题.
二、填空题：本题共4小题
13．3-
【解析】
【分析】
求函数的导函数，令1x =即可求出()1f '的值.
【详解】
因为 2()32(1)f x x f x ''=+
令1x =
则(1)32(1)f f ''=+
所以(1)3f '=-
【点睛】
本题主要考查了函数的导数，及导函数求值，属于中档题.
14【解析】
【分析】
由22AB R ==所以可知AB 为直径，设A θ∠=，()312cos sin 2S AD CD θθθ=
⨯⨯= 求导得到面积的最大值.
【详解】
由22AB R ==所以可知AB 为直径，所以2C π
∠=，设A θ∠=，
则2cos AC θ=，在ACD ∆中，有22cos AD θ=，2cos sin CD θθ=，
所以ACD ∆的面积()312cos sin 2S AD CD θθθ=
⨯⨯=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. 方法一：（导数法） ()()
222cos 3sin '2cos S θθθθ-=()()
22cos cos cos θθθθθ=+， 所以当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0S θ>，当,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0S θ<，
所以()S θ在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以当6π
θ=时，ACD ∆
的面积的最大值为6S π⎛⎫= ⎪⎝⎭
方法二：（均值不等式）
()222262
2cos cos cos 4cos sin 427sin 333S θθθθθθθ==⨯⨯⨯⨯， 因为4
22222222cos cos cos sin cos cos cos 333sin 3334θθθθθθθθ⎛⎫+++ ⎪⨯⨯≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭414=. 当且仅当22cos sin 3
θθ=，即6πθ=时等号成立，即(
)8S θ≤=. 【点睛】
本题考查了面积的最大值问题，引入参数A θ∠=是解题的关键.
15．1
【解析】
【分析】
设应从B 校抽取n 人，利用分层抽样的性质列出方程组，能求出结果．
【详解】
设应从B 校抽取n 人，
某市有A 、B 、C 三所学校，各校有高三文科学生分别为650人，500人，350人，
在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本， 120n 650500350500
∴=++，解得n 40=． 故答案为：1．
【点睛】
本题考查应从B 校学生中抽取人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．6或7或8或9
【解析】
【分析】
利用组合数公式得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围，即可得出正整数n 的取值.
【详解】
46n n C C >，由组合数公式得()()!4!4!6!6!n n n n >--！，得()()
4!6!6!4!n n -<-， 整理得()()4530n n --<，即29100n n --<，解得110n -<<，
由题意可知6n ≥且n *∈N ，因此，不等式46n n C C >的解为6n =或7或8或9.
故答案为：6或7或8或9.
【点睛】
本题考查组合不等式的求解，解题的关键就是利用组合数公式列出不等式，考查运算求解能力，属于中等题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (1) 53,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
;(2) a 的取值范围为[]0,1. 【解析】
分析：（1）进行分类讨论，分别解出3种情况下不等式的解集，最后取并集可得不等式的解集；（2）()3x x ≤+在[]0,1x ∈上恒成立，等价于11a x a -+≤≤+在[]0,1上恒成立，可得1011
a a -≤⎧⎨
+≥⎩，从而可得结果.
详解：（1）当1a =时，()12f x x x =-++， 即()21,23,2121,1x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩
∴不等式() 4.f x ≥的解集为
53,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
（2）由已知()3f x x ≤+在[]0,1x ∈上恒成立，
由20,30x x +>+>，
∴不等式等价于1x a -≤在[]0,1上恒成立， 由1x a -≤，得11x a -≤-≤
即：11a x a -+≤≤+在[]
0,1上恒成立， 1011
a a -≤⎧∴⎨+≥⎩ 01a ∴≤≤
a 的取值范围为[]
0,1
点睛：绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 18．（Ⅰ）0.3301ˆ.8y
t =+; （Ⅱ）见解析. 【解析】
【分析】 （Ⅰ）先算出,t y ，再由公式分别算ˆb
，ˆa 和线性回归方程。

（Ⅱ）分别算出五年与十年的每台设备的平均费用，费用越小越好。

【详解】 (1)23 1.89 5.4t y t ty ====，，，， 55
21130.355i
i i i i t y t ====∑∑，， ()()()511522
211530.327 3.30.3355451ˆ0
5n i i i i
i i n i i i i t t
y y t y t y b t t t t ====----=====---∑∑∑∑， 1.8ˆˆ0.3330.81a
y bt =-=-⨯=， 所以回归方程为0.3301ˆ.8y
t =+. （Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：
155 1.8 2.85
y +⨯==（万元）， 若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：
()250.331210100.81
3.12510y +++⋅⋅⋅++⨯==（万元）
， 因为12y y <，所以甲更有道理．
【点睛】
求线性回归直线方程的步骤
（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；
（2）求系数ˆb ：公式有两种形式，即()()()1122211ˆn n
i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx
====---==--∑∑∑∑。

当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求ˆb
； （3）求ˆa ：ˆˆa y bx =-.；
（4）写出回归直线方程ˆˆy
bx a =+． 19．（1）见证明；（2）实数a 的取值范围是2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，证明见解析. 【解析】
【分析】
（1）由题意得出()0f x '≤在区间()0,∞+上恒成立，由2e a <
得出()2x f x ax e '=-<x ex e -，构造函数()x g x ex e =-，证明()0g x ≤在区间()0,∞+上恒成立即可；
（2）由()0f x =利用参变量分离法得出2x
e a x =，将题意转化为当直线y a =与函数()2x e h x x
=在()0,∞+上有两个交点时求a 的取值范围，利用数形结合思想求解即可，然后由题意得出122122x x e a x e a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，取自然对数得
1122ln 2ln ln 2ln a x x a x x =-⎧⎨=-⎩，等式作差得12122ln ln x x x x -=-，利用分析得出所证不等式等价于()()21ln 011t t t t -<<<+，然后构造函数()()21ln 1
x g x x x -=-+证明即可. 【详解】
（1）()2x f x ax e =-，()2x f x ax e '∴=-.
由题意知，不等式()0f x '≤在区间()0,∞+上恒成立， 由于2
e a <，当0x >时，()2x x
f x ax e ex e '=-<-， 构造函数()x
g x ex e =-，其中0x >，则()x g x e e '=-，令()0g x '=，得1x =.
当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<.
所以，函数()y g x =在1x =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 10g x g ==，
()()10g x g ∴≤=，所以，()()20x x f x ax e ex e g x '=-<-=≤.
所以，不等式()0f x '<在区间()0,∞+上恒成立， 因此，当2
e a <时，函数()y
f x =在()0,∞+上是单调递减函数； （2）令()20x f x ax e =-=，可得()20x
e a x x
=>
令()()20x
e h x x x =>，则()()()320x e x h x x x
-'=>. 当()0h x '>时，2x >，当()0h x '<时，02x <<.
当02x <<时，函数()y f x =单调递减，当2x >时，函数()y f x =单调递增.
()()2min 24
e h x h ∴==， 当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时.()h x →+∞.
()2a h ∴>时，函数()y f x =有两个正零点，因此，实数a 的取值范围是2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. 由上知2
4
e a >时，1202x x <<<， 由题意得122122
x x e a x e a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，上述等式两边取自然对数得1122ln 2ln ln 2ln a x x a x x =-⎧⎨=-⎩， 两式作差得()12122ln ln x x x x -=-，12122ln ln x x x x -∴
=-， 要证124x x +>，即证()121212
2ln ln x x x x x x -+>-. 由于1202x x <<<，则12ln ln 0x x -<，即证()1212122ln ln x x x x x x --<
+， 即证12
1122
21ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，令()120,1x t x =∈，即证()21ln 1t t t -<+，其中01t <<. 构造函数()()21ln 1
x g x x x -=-+，其中01x <<，即证()0g x <在()0,1上恒成立. ()()()()222
114011x g x x x x x -'=-=>++，所以，函数()y g x =在区间()0,1上恒成立， 所以，()()10g x g <=，因此，124x x +>.
【点睛】
本题考查利用导数证明函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点问题，同时也考查了利用导数证明函数不等式，难点在于构造新函数，借助新函数的单调性来证明，考查化归与转化数学思想的应用，属于难
题.
20．（Ⅰ）22(2)(2)8x y -+-=，43110x y +-=；（Ⅱ）7.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）直接把曲线C 的参数方程平方相加，可以消除参数，得到普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）先写出直线l 的标准式参数方程，代入曲线方程，化为关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及t 的几何意义，即可求出。

【详解】
(I ) 曲线C 的普通方程:()()22
228x y --＋＝， 直线l 的直角坐标方程：4311
0x y -＋＝； （II ）设直线l 的参数方程为325415x t y t ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩
＝＝＋（t 为参数） 代入()()22
:228C x y --＋＝， 得329418255t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭
＋＝，故28705t t --＝； 设,M N 对应的对数分别为12t t ⋅， 则12128,75t t t t -＋＝＝， 故127AM AN t t ⋅＝＝.
【点睛】
本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化。

易错点是在应用直线参数方程中参数t 的几何意义时，参数方程必须是标准式，否则容易导致错误。

21． (1)
23;(2)15
. 【解析】
分析：（1）由题意求出该顾客没有中奖的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出该顾客中奖的概率；
（2）利用古典概型概率公式即可求得该顾客获得奖品总价值为100元的概率. 详解：（1）由题意得该顾客没有中奖的概率为26210C C =13
， ∴该顾客中奖的概率为：P=1﹣26210C C =23
，
∴该顾客中奖的概率为23． （Ⅱ）根据题意可得：
P （X=100）==.
点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.
22． (Ⅰ)230x y +-=;(Ⅱ)12a -≤≤.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)对函数求导，再令x=1,可求得1(1)2'=-f ，回代可知()ln 11x f x x x =++ ，由导数可求得切线方程。

(Ⅱ)由()22ln 112ln 11x x f x x x x x ⎛⎫--=+ ⎪--⎝⎭, 令()212ln x g x x x
-=+由导数可知()2101g x x ⋅>-，在0,1x x >≠且时恒成立。

下证()()2ln 2ln 1011x x h x f x x x x
=-
=+>--，所以220a a --≤。

【详解】
(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞ 因为()()
()221ln 211x x f x f x x x +-=+'+'， 所以()()11212f f '=+'，即()112
f '=-， 所以()ln 11x f x x x =++，()()
221ln 11x x x f x x x +-+'-=， 令1x =，得()11f =， 所以函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为 ()1112
y x -=--,即230x y +-=. (Ⅱ) 因为()22ln 112ln 11x x f x x x x x ⎛⎫--=+ ⎪--⎝⎭
, 令()212ln x g x x x -=+，则()()2
222121x x x g x x x --+-==-'， 因为1x ≠，所以()0g x '<，所以()g x 在()0,1，()1,+∞上为减函数,
又因为()10g =，所以，
当1x >时，()()10g x g <=，此时，
()2
101g x x ⋅>-； 当01x <<时，()()10g x g >=，此时，()2
101g x x ⋅>-， 假设()()2ln 2ln 111x x h x f x x x x
=-=+--有最小值b (0)b >，则()0h x b -≥， 即22ln 101x b x x +-≥-. 若1b >，当1,1x b ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x b -<； 若01b <≤，当1,x b ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0h x b -<，所以，不存在正数b ，使()h x b ≥. 所以，当0x >，且1x ≠时，()ln 01
x f x x -
>-，所以，220a a --≤， 解得：12a -≤≤ .
【点睛】 本题综合考查求函数表达式与求曲线在某点处的切线方程，及用分离参数法求参数范围。

注意本题分离出的函数最小值取不到所以最后220a a --≤要取等号。

提高练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U R =，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()U A B ⋂=（ ） A ．{|20}x x -≤<
B ．1{|2}2x x -≤<
C ．1
{|0}2x x ≤< D ．{|03}x x ≤< 2．设数列{}n a 是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，则1a =（）
A.1
B.4
C.7
D.1或7
3．将函数()sin 2y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移
6π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为
A ．3π
B ．6π
C ．0
D ．4
π 4．双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X 表示取得次品的件数，则()1P X ≤=（ ） A ．34 B ．57 C ．45 D ．78
6．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( )
A ．50种
B ．60种
C ．120种
D ．210种
7． “1＜x ＜2”是“｜x ｜＞1”成立的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．计算52752C 3A +的值是（ ） A ．72 B ．102 C ．5070 D ．5100
9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A ．23
B ．13
C ．1
D ．2 10．若复数()211z a a i =-+-（i 为虚数单位）是纯虚数，则复数
13z i =+（ ） A ．3155i + B ．3155i - C ．3155i -+ D ．3155
i -- 11．下列说法中正确的是 （ ）
①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱；
②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心(),x y ；
③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度；
④相关指数2R 用来刻画回归的效果， 2R 越小，说明模型的拟合效果越好.
A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③
12．下列命题中正确的是（ ）
A ．1y x x =+
的最小值是2 B ．222y x =+的最小值是2
C ．()4230y x x x
=--
>的最大值是243- D ．()4230y x x x =-->的最小值是243- 二、填空题：本题共4小题
13．设随机变量X 服从正态分布()0,1N ，如果()10.8413P X ≤=，则()10P X -<<= ________. 14．已知向量,,a b c 满足||1a =，||||a b b -=，()()0a c b c -⋅-=，若对每一确定的b ，||c 最大值和最小值分别为,m n ，则对任意b ，m n -的最小值是_____.
15．复数2i i
-的虚部是 ． 16．已知直线l ：4360x y -+=，抛物线C ：24y x =图像上的一动点到直线l 与到y 轴距离之和的最小值为________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市10万名男生的身高服从正态分布2(,)N μσ.现从某学校高中男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和190cm 之间，将身高的测量结果按如下方式分成5组：第1组[160,166)，第2组[166，172)，...，第5组[184，190]下表是按上述分组方法得到的频率分布表：
这50个数据的平均数和方差分别比10万个数据的平均数和方差多1和6.68，且这50个数据的方差为
231.68=s .(同组中的身高数据用该组区间的中点值作代表)：
(1)求μ，σ；
(2)给出正态分布的数据：()0.6826P X μσμσ-≤+=＜，(22)0.9544P X μσμσ-≤+=＜. (i)若从这10万名学生中随机抽取1名，求该学生身高在(169,179)的概率；
(ii)若从这10万名学生中随机抽取1万名，记X 为这1万名学生中身高在(169，184)的人数，求X 的数学期望.
18．已知函数32111()2322
f x x x x =
---. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当[2,4]x ∈-时，求函数()f x 的最大值.
19．（6分）面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A 、B 、C 三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为．求:
（1）他们能研制出疫苗的概率； （2）至多有一个机构研制出疫苗的概率．
20．（6分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>1．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（1）若圆O ：22
1x y +=的切线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，求||OM 的最
大值．
21．（6分）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，12AB AA ==，1AC =，M ，
N 分别是11A B ，BC 的中点.
（Ⅰ）证明：//MN 平面11ACC A ； （Ⅱ）求二面角M AN B --的余弦值.
22．（8分）统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数为
313
812800080
y x x =
-+(0120)x <<．
（1）当64x =千米/小时时,行驶100千米耗油量多少升？ （2）若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶多少千米？
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：
111
{|2,0},{|}{|}22
x U B y y x B y y B x x -==≥∴=≥∴=<，
所以()U A B ⋂= 1
{|2}2
x x -≤<．
考点：集合的交集、补集运算． 2．C 【解析】
试题分析：123212331228a a a a a a a ++==⎧⎨⋅⋅=⎩，所以1313
87a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，因为递减数列，所以0d <，解得137
1a a =⎧⎨=⎩。

考点：等差数列 3．B 【解析】
将函数2y sin x ϕ=+（）的图象沿x 轴向右平移
6
π
个单位后， 得到函数的图象对应的函数解析式为[2
]26
3
y sin x sin x π
π
ϕϕ=++=+
+（）（），
再根据所得函数为偶函数，可得3
2
k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，．
故ϕ的一个可能取值为： 6
π
，
故选B ． 4．A 【解析】
试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为，所以距离为.
考点：双曲线与渐近线． 5．B 【解析】 【分析】
由题意，知X 取0，1，2，3，利用超几何分布求出概率，即可求解()1P X ≤． 【详解】
根据题意，()()()101P X P X P X ≤==+=
321
553338810305.56567
C C C C C =+=+= 故选：B. 【点睛】
本题考查利用超几何分布求概率，属基础题. 6．C 【解析】 【分析】
可用分步计数原理去做,分成两步，第一步安排甲学校共有种方法,第二步安排另两所学校有
种方法，
然后两步方法数相乘即可. 【详解】
先安排甲学校的参观时间,因为甲学校连续参观两天，
可以是周一周二,可以是周二周三，可以是周三周四，可以是周四周五， 可以是周五周六，可以是周六周日,所以共有
种方法，
然后在剩下的5天中任选两天有序地安排其余两校参观, 安排方法有
种,
按照分步计数乘法原理可知共有种不同的安排方法，故选C.
【点睛】
本题主要考查分步计数原理在排列组合中的应用，注意分步与分类的区别，对于有限制条件的元素要先安排，再安排其他的元素，本题是一个易错题. 7．A 【解析】 【分析】
解不等式1x >，进而根据充要条件的定义，可得答案． 【详解】
由题意，不等式1x >，解得1x <-或1x >，
故“12x <<”是“1x >”成立的充分不必要条件，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了不等式的求解，以及充分、必要条件的判定，其中解答熟记充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．B 【解析】 【分析】
根据组合数和排列数计算公式，计算出表达式的值. 【详解】
依题意，原式2
2
7576
232354426010221
C A ⨯=+=⨯+⨯⨯=+=⨯，故选B. 【点睛】
本小题主要考查组合数和排列数的计算，属于基础题. 9．A 【解析】 【分析】
由正视图和侧视图得三棱锥的高2h =，由俯视图得三棱锥底面积1
1212
S =⨯⨯=，再利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】
由三棱锥的正视图和侧视图得三棱锥的高2h =， 由俯视图得三棱锥底面积1
1212
S =
⨯⨯=，
所以该三棱锥的体积11212333
V Sh ==⨯⨯=. 故选：A 【点睛】
本题主要考查三视图和棱锥的体积公式，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】
通过复数z 是纯虚数得到1a =-，得到z ，化简得到答案. 【详解】
复数()2
11z a a i =-+-（i 为虚数单位）是纯虚数
210,1012a a a z i -=-≠⇒=-⇒=-
26231
13131055
z i i i i i ---===--++ 故答案选D 【点睛】
本题考查了复数的计算，属于基础题型. 11．D 【解析】 【分析】
运用相关系数、回归直线方程等知识对各个选项逐一进行分析即可 【详解】
①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越接近于1，相关性越强，故错误 ②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心()x y ，，故正确
③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度，故正确 ④相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好，故错误 综上，说法正确的是②③ 故选D 【点睛】
本题主要考查的是命题真假的判断，运用相关知识来进行判断，属于基础题 12．C 【解析】。