《大学物理AI》作业No.08导体 介质中的静电场

U=
2W = 2 Fd / C C Q = CU = 2 FdC
三、计算题 1．半径分别为 R1 和 R2 (R2 > R1 )的两个同心导体薄球壳， 分别带有电荷 Q1 和 Q2， 今将内球壳用细导线与远处半径为 r 的导体球相联，如图所示, 导体球原来不带电，试求相联 后导体球所带电荷 q。 解：设相联后导体球带电 q，取无穷远处为电势零点，则
导体球电势：
U0 =
2．一圆柱形电容器，外柱的直径为 4 cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同 性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为 E0= 200 KV/cm。试求该电容器可能承 受的最高电压。 (自然对数的底 e = 2.7183) 解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为λ，则由高斯定理有电容器两极板之间的场强 分布为 E = λ /(2πε r ) 设电容器内外两极板半径分别为 r0，R，则极板间电压为
R2
O
R1 r
q 4πε 0 r Q −q Q2 内球壳电势： U1 = 1 + 4πε 0 R1 4πε 0 R2 Q −q Q2 q 导体球和内球壳等电势，即 = 1 + 4πε 0 r 4πε 0 R1 4πε 0 R2 r ( R2 Q1 + R1Q2 ) 解得 q= R2 ( R1 + r )
A 球电势 U A =
4．一平行板电容器，充电后与电源保持联接，然后使两极板间充满相对介电常量为εr 的 各向同性均匀电介质， 这时两极板上的电荷是原来的_____倍； 电场强度是原来的 ______ 倍；电场能量是原来的_________倍。 解：充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质后，
C ′ = ε 0ε r S / d = ε r C 电荷为 Q ′ = C ′V = ε 0 ε r S / dV = ε r Q 电场强度 E ′ = σ ′ / ε 0 ε r = Q ′ / S / ε 0 ε r = ε r Q / S / ε 0 ε r = E 1 1 2 2 电场能量 W ′ = C ′V = ε r CV = ε rW 2 2 即分别为 ε r ，1， ε r 倍
S q
电 介 质
(D) 即使电介质对称分布，高斯定理也不成立 解：根据高斯定理成立条件和能求解电场强度条件知B正确 5．三个电容器连接如图，已知电容 C1 = C 2 = C 3 ，而 C1 , C 2 , C3 的耐压值分别为100 V, 200 V, 300 V。则此电容器组的耐压值为： [ ] (A) 500 V (B) 400 V (C) (E) 300 V 600 V (D) 150 V
W = 1 q 2 / C → W ′ = 1 q 2 / C ′ = 1 (nq 2 ) / C 2 2 2 2 1 1 2 ∆W = W ′ − W = ( nq ) / C − q / C > 0 2 2
能量增加来源于拉开极板间距离时外力所作之功
1 A = 1 (nq 2 ) / C − 1 q 2 / C = (q 2 / C )(n − 1) 2 2 2 = 1 CU 2 (n − 1) 2
d U /d r0 = E 0 ln( R / r0 ) − E0 = 0 r0 = R / e d2 U d r0
2
< 0， 故当
r0 = R / e
时电容器可承受最高的电压
U max = RE0 / e = 147 kV
3．一电容为 C 的空气平行板电容器，接端电压为 U 的电源充电后随即断开。试求 把两个极板间距离增大至 n 倍时外力所作的功。 解：断开电源后电容器极板上所带电荷 q = CU 将保持不变 而电容值由 C = ε 0 S / d → C ′ = ε 0 S /(nd ) = C / n 电容器储存的静电能(电场能量)由
6．一平行板电容器充电后仍与电源连接，若用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大，则 极板上的电荷 Q、电场强度的大小 E 和电场能量 W 将发生如下变化 [ ] (A) Q 增大，E 增大，W 增大 (B) Q 减小，E 减小，W 减小 (C) Q 增大，E 减小，W 增大 (D) Q 增大，E 增大，W 减小 解：不断开电源使电容器两极板间距离拉大 极板上电势差 U 将保持不变 由 C = ε 0 S / d 得电容值减小 由 Q = CU 得极板上的电荷 Q 减小 由 E = U / d 得电场强度 E 减小大
C2 C1
选B
C3
解： C1 , C 2 并联，等效电容为 C12 = C1 + C 2 ，最高耐压值为 C1 的耐压值 100 V ，即
V12 = 100 V ，并联等效电容电荷总量为 Q = C12V = 100C12 ， C12 与 C 3 串联， C 3 上电 Q 100C12 荷也为 Q = 100C12 ，此时 C 3 上电压降为 V3 = = = 200 V ，故此电容器组 C3 C3 的耐压值为 V = V12 + V3 = 100 + 200 = 300 V 选C
5．一空气平行板电容器，电容为 C，两极板间距离为 d。充电后，两极板间相互作用力 为 F。则两极板间的电势差为______________，极板上的电荷为______________。 解：设两极板间的电势差为 U ，则平行板电容器贮能为 W =
电容为
1 CU 2 ，此能来源于两极 2
板间相互作用力 F 对电荷作的总功 A = Fd ，即 W = A = Fd ，由功能原理知 两极板间的电势差为 极板上的电荷为
解：由于静电感应，金属球 A 表面带净电荷 q1 = +2.0×10 8 C，金属球 B 内表面带净电荷 q 内 = -2.0×10-8 C ，外表面带净电荷 q 外 = q1 + q2= +6.0×10-8 C，则由金属球面内、外区 域电势分布规律和电势叠加原理得
-
q内 q外 q外 q1 + + = = 5400 V 4πε 0 r1 4πε 0 r1 4πε 0 r1 4πε 0 r1 q内 q外 q外 q1 B 球电势 U B = + + = = 3600 V 4πε 0 r3 4πε 0 r3 4πε 0 r3 4πε 0 r3
b a e
c
d
2． 在一个不带电的导体球壳内， 先放进一电荷为+q 的点电荷， 点电荷不与球壳内壁接触。 然后使该球壳与地接触一下，再将点电荷+q 取走。此时，球壳的电荷为__________，电 场分布的范围是__________________________________。 解：由于静电感应，导体球壳内表面带等量异号电荷，外表面带等量同号电荷，在球壳 与地接触一下后，球壳外表面电荷消失，再将点电荷+q 取走，则球壳的电荷为球壳内表 面的电荷-q，由高斯定理知电场分布的范围是球壳外的整个空间。 3．一半径 r1 = 5 cm 的金属球 A，带电荷 q1 = +2.0×10 8 C，另一内 半径为 r2 = 10 cm、 外半径为 r3 = 15 cm 的金属球壳 B， 带电荷
v v R U = ∫ E ⋅d r = ∫
R r r
λ R λ dr = ln 2πε r 2πε r0
电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到 E0 时电容器击穿，这时应有
λ = 2πε r0 E 0 R U = r0 E0 ln r0
适当选择 r0 的值，可使 U 有极大值，即令 得 显然有
q2 。由于静电感应，带绝缘柄的丙球先与甲球接触， 4πε 0 r 2
选C
甲、丙各带电 q/2，再将丙球与乙球接触，乙、丙球各带电 (q+q/2)/2故最后甲、乙两球间 的静电力为 F ′ =
(q / 2)(3q / 4) 3 q 2 3 = = F 2 2 8 4πε 0 r 8 4πε 0 r
4．在一点电荷的静电场中，一块电介质如图所示，以点电荷所在处为球 心，作一球形闭合面，则对此球形闭合面： [ ] (A) 高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强 (B) 高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强 (C) 由于电介质不对称分布，高斯定理不成立
B +Q A
(C) U A < U B (D) 因空腔形状不是球形，两者无法比较 解：由静电感应现象，空腔导体 A 内表面带等量负电荷，A、B 间电场线如图所示，而电 场线总是指向电势降低的方向（ E = −∇U ） ，因此 UB>UA
v
选C
2．两个同心薄金属球壳，半径分别为 R1 和 R（ 2 R1 < R2 ) ，若分别带上电量为 q1 和 q 2 的 电荷，则两者的电势分别为 U 1 和 U 2（设无穷远处为电势零点） 。现用导线将两者相连接， 则它们的电势为： [ ] (A) U 1 (B) U 2 (C) U 1＋U 2 (D) （U 1＋U 2）
2 由 W = 1 CU 得电场能量 W 减小
2
选B
二、填空题 1．将下列各命题的标号(a、b、c、 … 之间的正确逻辑关系。
等)适当地填入下面的方框中，使之表达出它们
a．在静电平衡条件下，净电荷只能分布在均匀导体外表面上 b．导体内部含有大量自由电子，在电场力作用下， 它们会作宏观定向运动 c．处于静电平衡状态的导体是一个等势体 d．处于静电平衡状态的均匀导体内部场强处处为零 e．导体内部没有电荷的宏观定向运动的状态，称作静电平衡状态 解：由导体静电感应规律知正确逻辑关系如下图
1 2
解：用导线将两者相连接，则由静电感应知两者成为一等势体，感应电荷只分布在 R（ 2 R1 < R2 ) 的外表面，且为 q 2 ＋ q1 ，由金属球壳内、外区域电势分布规律有两者相连 接后电势为 U 2 。 选B 3．三个半径相同的金属小球，其中甲、乙两球带有等量同号电荷，丙球不带电。已知甲、 乙两球间距离远大于本身直径，它们之间的静电力为F。现用带绝缘柄的丙球先与甲球接 触，再与乙球接触，然后移去，则此后甲、乙两球间的静电力为： [ ] (A) 3F / 4 (B) F / 2 (C) 3F / 8 (D) F / 4 解：甲、乙两球间距离远大于本身直径，则可视为点电荷，设所带电量为q，甲、乙两球 心间距离为r，则静电力为 F =