江西省南昌市高二数学下学期期末考试试题 理

2016-2017学年度下学期期末考试
高二数学（理）试卷
一选择题
1.设集合M P x y x P x y y M 则},1|{},|{2
-=
===-（ ）
A ．（1，+∞）
B ．),1[+∞
C ．（0，+∞）
D ．),0[+∞
2.在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A ．众数
B ．平均数
C ．中位数
D ．标准差
3.已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2
)，且P (X ＜4)＝0.8，则P (0＜X ＜2)＝( )
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2 4. 已知命题P ：11
22
k -
>;命题q:函数22log (2)y x kx k =-+的值域为R ,则P 是q 的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
5、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，
x －1，x ≥0，
则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )
A.{x |－1≤x ≤2－1}
B.{x |x ≤1}
C.{x |x ≤2－1}
D.{x |－2－1≤x ≤2－1}
6．设f (x )是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线x ＝2对称，已知x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝－x 2
＋1，则x ∈[－6，－2]时，f (x )等于 ( )
A ．－(x ＋4)2
＋1 B ．－(x －4)2
＋1C ．－(x －4)2
－1 D ．－(x ＋4)2
－1
7.已知集合{}{},,,|19A a b c B x x x N ==≤≤∈且若映射:f A B →满足()()()f a f b f c ≤≤且
()()()12f a f b f c ++=，则这样的映射个数为（ ）
A ．12 B.11 C.10 D.9
8.若实数x ，y 满足不等式组330,
230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）
（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2
9.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －1x 5
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( ) A.－40 B.－20 C.20 D.40
10.如图，E 、F 分别为棱长为1的正方体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为面对角线AC 和棱1DD 上的动点（包括端点），则下列关于四面体E-FGH 的体积说法正确的是（ ）
A ）此四面体体积既存在最大值，也存在最小值；
B ）此四面体的体积为定值；
C ）此四面体体积只存在最小值；
D ）此四面体体积只存在最大值。

11已知函数)0()(2
3
≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为
00(,)M x y ，记函数)(x f 的导函数为)(x f '，)(x f '的导函数为)(x f ''，则有0)(0=''x f ．若函数233)(x x x f -=，则可求得
=+++)2013
4025
()20134024()20132()20131(
f f f f （ ） A. 4025 B ．4025- C. 8050 D ．8050-
12．设双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线
于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若
(,)O P O A O B R
λμλμ=+∈u ur
u ur u ur ，3
16
λμ⋅=，则双曲线的离心率为 ( ) A
．
3
B
．
5
C
．
2
D ．
98
二．填空题
13.若实数y x ,满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+≥+-000
1x y x y x ，则y
x z 23+=的最大值是 。

14.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x
)>0的解集为________
15. 如图,网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 .
16. 对于圆锥曲线，给出以下结论：
①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；
②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1()2
OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为圆；
③方程241250x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线2222
111693510
x y x y -=+=与椭圆有相同的焦点.
⑤椭圆C:2
212
x y +=上满足120MF MF ⋅=的点M 有4个（其中12F F ，为椭圆C 的焦点）.
其中正确结论的序号为 （写出所有正确结论的序号）． 三．解答题
17．已知命题p:()()
2lg 1f x x ax =++的定义域为R ，命题q ：关于x 的不等式2x x a +->1的解集为R ，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围.
18.如图，平面ABEF ABC ⊥平面,四边形ABEF 为矩形，
AC BC = ，O 为AB 的中点，OF EC ⊥．
（1）求证：OE FC ⊥；
（2）若2,AB AC ==F CE B --的余弦值
19.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为1
2，且各次
击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 20.（本小题满分13分）
已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为1
2，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
x -y +26=0相切．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设A (-4，0)，过点R (3，0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，连结AP 、AQ 分别交直线16
3
x =
于M 、N 两点，试问直线MR 、NR 的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由。

21.设f (x )＝x ln x －ax 2
＋(2a －1)x ，a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；
(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值.求实数a 的取值范围.
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.
已知圆锥曲线2cos :x C y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α
为参数）和定点A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右
焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线2AF 的直角坐标方程；
（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求11||||MF NF -的值．
23.设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围.
高二数学（理）答案
一选择题
1.设集合M P x y x P x y y M 则},1|{},|{2
-=
===-
（ B ）
A ．（1，+∞）
B ．),1[+∞
C ．（0，+∞）
D ．),0[+∞
2.在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A ．众数
B ．平均数
C ．中位数
D ．标准差
3.已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2
)，且P (X ＜4)＝0.8，则P (0＜X ＜2)＝( C )
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2 4、已知命题P ：11
22
k ->;命题q:函数22log (2)y x kx k =-+的值域为R ,则P 是q 的( C ) A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，
x －1，x ≥0， 则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( C )
A.{x |－1≤x ≤2－1}
B.{x |x ≤1}
C.{x |x ≤2－1}
D.{x |－2－1≤x ≤2－1}
6．设f (x )是定义域在R 上的偶函数，它的图象关于直线x ＝2对称，已知x ∈[－2,2]时，函数f (x )＝－x 2
＋1，则x ∈[－6，－2]时，f (x )等于
( )
A ．－(x ＋4)2
＋1 B ．－(x －4)2
＋1C ．－(x －4)2
－1 D ．－(x ＋4)2
－1
解析：∵f (x )是R 上的偶函数，它的图象关于直线x ＝2对称．∴f (－x )＝f (x )，f (x ＋4)＝f (－x )∴f (x )＝f (x ＋4)．当x ∈[－6，－2]时，x ＋4∈[－2,2]．则f (x )＝f (x ＋4)＝－(x ＋4)2
＋1， 7.已知集合{}{},,,|19A a b c B x x x N =≤≤∈且若映射:f A B →满足()()()f a f b f c ≤≤且
()()()12f a f b f c ++=，则这样的映射个数为 （ B ）
A ．12 B.11 C.10 D.9
8.若实数x ，y 满足不等式组330,
230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
且x y +的最大值为9，则实数m =（ C ）（A ）2-
（B ）1- （C ）1 （D ）2
9.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －1x 5
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( ) A.－40 B.－20 C.20 D.40
解：令x ＝1，可得a ＋1＝2，a ＝1，⎝
⎛⎭⎪⎫2x －1x 5
的展开式中1x 项的系数为C 3522(－1)3
，x 项的系数为
C 2523，∴⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
x ＋1x (2x －1
x )5的展开式中常数项为C 3522(－1)＋C 2523
＝40.故选D.
10..如图，E 、F 分别为棱长为1的正方体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为面对角线AC 和棱1DD 上的动点（包括端点） （ A ） A ）此四面体体积既存在最大值，也存在最小值； B ）此四面体的体积为定值；
C ）此四面体体积只存在最小值；
D ）此四面体体积只存在最大值。

答案：A
11已知函数)0()(2
3
≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为
00(,)M x y ，记函数)(x f 的导函数为)(x f '，)(x f '的导函数为)(x f ''，则有0)(0=''x f ．若函数233)(x x x f -=，则可求得
=+++)2013
4025
()20134024()20132()20131(
f f f f （ ） A. 4025 B ．4025- C. 8050 D
答案：D
12．
且与双曲线在第一象限的交点
曲线的离心率为 ( A )
A
D 四．填空题
13.大值是__9__。

14. 15已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x
)>0
的解集为
________{x |x <－lg2}
15..如图,网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为_____3______
A.2 2
B. 6
C.2 3
D.3 16. 对于圆锥曲线，给出以下结论：
①设A 、B 为两个定点，k 则动点P
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O P的轨迹
为圆；
.
⑤椭圆C:上满足的点有4个（其中
C的焦点）.
其中正确结论的序号为▲ （写出所有正确结论的序号）．
答案：②③④
五．解答题
17．已知命题定义域为R，命题q：关的不等式
的解集为R，若“p或q”为真，“p且q
围.
解：p
P
又“p或q为真”，“p且q”为假，q中一真一假
18.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音
乐获得100分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐
的概率为12
，且各次击鼓出现音乐相互独立． (1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
17．解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200.
根据题意，有
P (X ＝10)＝C 1
3×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122
＝38，
P (X ＝20)＝C 2
3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121
＝38，
P (X ＝100)＝C 3
3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－120
＝18，
P (X ＝－200)＝C 0
3×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123
＝18.
所以X 的分布列为：
(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则
(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝1
8.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1
83
＝1－1512＝511
512.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511
512.
(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×3
8＋20×3
8＋100×18－200×18＝－5
4.
这表明，获得分数X 的均值为负．
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
19.
，为的中点，
（1
（2
19（本小题满分12分）
（I
又因为平面平面，面面
因为面，于是
……………………2分
又，，所以平面，所以
……………………4分
又因为，，故平面
……………………5分
所以
(6)
分
（Ⅱ）由（I）
轴，建立空间直角坐标系。

因为所以于是有
(9)
分
(11)
分
由于二面角为钝二面角，所以所求余弦值为
…………………………12分
20.（本小题满分13分）
已知椭圆C：x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
1
2
，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
x-y+26=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A(-4，0)，过点R(3，0)作与x轴不重合的直线l交椭圆于P、Q两点，联结AP、AQ分
M、N两点，试问直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由。

【解】（12′
a2=16………3′
故椭圆C4′
（2）设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，
若PQ⊥y轴，则M、N中有一点与A重合，与题意不符
故可设直线PQ：x=my+3.………5′
将其与椭圆方程联立，消去x得：(3m2+4)y2+18my-21=0………6′
7′
由A、P、M8′
9′
10′
11′
故直线MR 、NR ………13′
21.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R.
(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；
(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值.求实数a 的取值范围.
9.解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a .
可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)，
则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x .
当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；
当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1
2a 时，g ′(x )＞0时，函数g (x )单调递增，
x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减.
所以当a ≤0时，g (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a ＞0时，g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1
2a ，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2a ，＋∞.
(2)由(1)知，f ′(1)＝0.
①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，
所以当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，
当x ∈(1，＋∞)时，f )＞0，f (x )单调递增，
所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.
②当0＜a ＜12时，12a ＞1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12a 内单调递增. 可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12a 时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.
③当a ＝12时，12a
＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减.
所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.
④当a ＞12时，0＜12a ＜1，当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减.
所以f (x )在x ＝1处取极大值，合题意 .
综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞. （23）（本小题满分10分）
22.
右焦点，正半轴为极轴建立极坐标系．
（1
23）解：2分
………………………3分
经过和的直线方程为,即
………………5分
所
以的参数方程
为
（为参
数），……………7分
……………8分
因
为在
点的两侧
，所
以
…………10分
23.设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围.
4.解(1)f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧x－3，x≥12，
－3x－1，－2≤x＜
1
2
，
3－x，x＜－2，
所以原不等式转化为
⎩⎪
⎨
⎪⎧x≥1
2
，
x－3≥3，
或
⎩⎪
⎨
⎪⎧－2≤x＜1
2
，
－3x－1≥3，
或
21 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－2，3－x ≥3，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪
＋∞).
(2)只要f (x )max ＜t 2－3t ，由(1)知f (x )max ＝－1＜t 2－3t 解得t ＞3＋52或t ＜3－52
.即t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
－∞，3－52∪⎝ ⎛⎭⎪
⎫3＋52，＋∞，。