椭圆、双曲线有关切准点的一个性质

椭圆、双曲线有关切准点的一个性质
冯南怀
【摘要】将椭圆中有关切准点的一个性质推广到双曲线上,并发现了椭圆与双曲线另外一个有关切准点的性质.
【期刊名称】《宁波教育学院学报》
【年(卷),期】2017(019)004
【总页数】3页(P135-136,140)
【关键词】椭圆;双曲线;切准点
【作者】冯南怀
【作者单位】宁波市奉化区江口中学,浙江宁波 315500
【正文语种】中文
【中图分类】O123.3
圆锥曲线上点的切线与准线的交点叫做切准点。

文[1]对椭圆的切准点进行了研究，并得到了一个性质。

经研究得到了另外一个性质，并发现都可以推广到双曲线上。

定理1[1]：如图1，椭圆（a＞b＞0）上点M（除长轴两顶点）处的切线l交右准线于P点，交左准线于Q点，即点P，Q为切准点。

有；（2）当时，，或；（3）定理1对于双曲线也是成立的。

有：
定理2：如图2，双曲线上点M处的切线l交右准线于P点，交左准线于Q点，
即点P，Q为切准点。

有（1）kQF1·kPF1=kQF2·kPF2；（2）当时或
kMF1·kPF2=
证明：（1）设 M（x0，y0）为双曲线上一点，则M处切线方程为不难得到P，F1（-c，0），F2（c，0），则从而同理故特别地，当l过或时，显然有综上所述有
（2）当时，有则类似可证kMF·1kPF2=
（3）有在双曲线上，即代入上式得同理可得tan∠PF2Q=从而有
经探究发现了下面结论在椭圆和双曲线中也成立。

定理3：在椭圆（a＞b＞0）（如图1）或双曲线（如图2）中，有（1）kPQ·kOM=e2-1；（2）
证明：不妨以椭圆来证。

（1）设M（x0，y0）为椭圆上一点，则M处切线方程为1，有从而
（2）有从而
（3）易得F1（-c，0），F2（c，0），则当x0≠-c时，则kQF·1kMF1=-1，即∠MF1Q=90°。

当x0=-c时，kMF1不存在，而此时kQF1=0，显然也有
∠MF1Q=90°。

综上有∠MF1Q=90°恒成立。

同理∠MF2Q=90°，即有
∠MF1Q=∠MF2Q=90°恒成立。

双曲线的证明类同于对椭圆的证明，证略。

【相关文献】
[1]丁益民.有关椭圆“切准点”对焦点的几个性质[J].中学数学，2007（2）：23.。