高三数学一轮复习《用样本估计总体》理新人教B版

[第55讲用样本估计总体]
(时间：45分钟分值：100分)
基础热身
1．[2013·太原三模] 将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组的频数为10，第二、三组的频率分别为0.35和0.45.则m的值为( )
A．35 B．40 C．45 D．50
2．[2013·豫南九校联考] 一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图K55－1，测得平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
图K55－1
图K55－2
3．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们在这11场比赛的得分用茎叶图(如图K55－2)表示，设甲运动员得分的中位数为M1，乙运动员得分的中位数为M2，则在下列选项中，正确的是( )
A．M1＝18，M2＝12 B．M1＝81，M2＝21
C．M1＝8，M2＝2 D．M1＝3，M2＝1
4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图K55－3)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 000)(元)月收入段应抽出________人．
能力提升
5．[2013·北京东城区二模] 将容量为n的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n的值为( )
A ．70
B ．60
C ．50
D ．40
6．[2013·江西卷] 样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝αx ＋(1－α)y ，其中
0<α<1
2
，则n ，m 的大小关系为( )
A ．n <m
B ．n >m
C ．n ＝m
D ．不能确定
图K55－4
7．[2013·北京西城区二模] 如图K55－4是1，2两组各7名同学体重(单位：kg)数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为x 1和x 2，标准差依次为s 1和s 2，那么( )
A ．x 1>x 2，s 1>s 2
B ．x 1>x 2，s 1<s 2
C ．x 1<x 2，s 1<s 2
D ．x 1<x 2，s 1>s 2 8．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图K55－5所示，则( )
A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
9．为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图K55－6.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b 的值分别为( )
A ．0.27，78
B ．0.27，83
C ．2.7，78
D ．2.7，83 10．[2013·黄冈质检] 2013年春运期间铁道部门首次实行网上订购火车票，并且规定旅客可以提前10天预订，对60名在网上订票的旅客进行调查后得到下表：
网上提前预订车
票的时间(天) 0～2 2～4 4～6 6～8 8～10
旅客人数 3 6 18 18 15
11．[2013·乌鲁木齐三诊] 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳测试．如图K55－7所示的是对200名学生测试所得数据的频率分布直方图，若次数在110以上(含110次)为达标，则从图中可以看出高一学生的达标率是________．12．[2013·广东卷] 由正整数组成一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为
13．某班有50名学生，在一次百米测试中，成绩全部在13 s与18 s之间，将测试成绩分成五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]．图K55－8是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于15 s，且小于17 s认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是________．
14．(10分)[2013·保定八校联考] 某校高三年级共有450名学生参加英语口语测试，其中男生250名，女生200名．现按性别用分层抽样的方法从中抽取45名学生的成绩．
(1)求抽取的男生与女生的人数？
(2)从男生和女生中抽查的结果分别如下表1和表2.
表1
成绩分组[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]
人数3m 8 6
成绩分组[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]
人数25n 5
．
15．(13分)在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：
分组频数
[1.30，1.34) 4
[1.34，1.38)25
[1.38，1.42)30
[1.42，1.46)29
[1.46，1.50)10
[1.50，1.54] 2
合计100
(1)
(2)估计纤度落在[1.38，1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？
(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[1.30，1.34)的中点值是1.32)作为代表．据此，估计纤度的平均值．
难点突破
16．(12分)[2013·洛阳示范高中联考] 有A，B，C，D，E五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，用茎叶图表示这两组数据如图K55－9.
(1)现要从A，B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由；
(2)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．
课时作业(五十五)
【基础热身】
1．D [解析] 由各组频率的和为1，得第1组的频率为1－0.35－0.45＝0.20，则10
m
＝
0.20，解得m ＝50，故选D.
2．D [解析] 由茎叶图，得x ＝1
7
(180×2＋1＋170×5＋x ＋20)＝177，解得x ＝8，故
选D.
3．A [解析] 把茎叶图中的数据按从小到大排列，得甲运动员得分的中位数M 1＝18，乙运动员得分的中位数M 2＝12，故选A.
4．25 [解析] 由频率分布直方图，得[2 500，3 000)的频率为0.000 5×500＝0.25，则在[2 500，3 000)(元)月收入段应抽出0.25×100＝25人．
【能力提升】
5．B [解析] 由前三组数据的频数之和等于27，得2＋3＋4
2＋3＋4＋6＋4＋1
×n ＝27，解得n
＝60，故选B.
6．A [解析] 由z ＝1n ＋m (nx ＋my )＝n n ＋m x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n n ＋m y ，得n n ＋m ＝α，∵0<α<12
，∴0<n n ＋m <12
，得n <m ，故选A.
7．C [解析] 由茎叶图可知，1组的平均数为
x 1＝1
7
(3＋6＋7＋8＋1＋0＋2＋50×4＋60×1＋70×2)＝61，
方差为s 21＝17[82＋52＋42＋32＋02＋(－9)2＋(－11)2
]＝3167
；
2组的平均数为
x 2＝1
7
(4＋6＋8＋0＋1＋2＋3＋50×3＋60×2＋70×2)＝62，
方差为s 22＝17[82＋62＋42＋22＋12＋(－10)2＋(－11)2
]＝3427
，
则平均数x 1<x 2，标准差s 1<s 2，故选C.
8．C [解析] 由条形图易知甲的平均数为x 甲＝4＋5＋6＋7＋8
5
＝6，中位数为6，
所以方差为s 2
甲＝（－2）2＋（－1）2＋02＋12＋22
5
＝2，极差为8－4＝4；
乙的平均数为x 乙＝3×5＋6＋9
5
＝6，中位数为5，
所以方差为s 2
乙＝3×（－1）2＋02＋32
5＝125
＞2，极差为9－5＝4，
比较得x 甲＝x 乙，甲的极差等于乙的极差，甲乙中位数不相等且s 2甲<s 2
乙，故选C.
9．A [解析] 前4组成等比数列，由图知：第一组的频率是0.01，故第一组有1人；第二组的频率为0.03，故第二组有3人；所以第三组9人；第四组27人，所以a ＝0.27.
后6组共87人，设最后一组人数为x ，则27＋x 2×6＝87，解得x ＝2，故公差d ＝2－27
5
＝－
5，所以倒数第二组有7人，则b ＝87－2－7＝78.选A.
10．6.2 [解析] 使用组中值进行估计，s －＝1
60
(1×3＋3×6＋5×18＋7×18＋9×15)
＝6.2.
11．80% [解析] 由频率分布直方图可知，次数在110以上(含110次)的频率为(0.04
＋0.03＋0.01)×10＝0.8，则从图中可以看出高一学生的达标率是80%.
12．1，1，3，3 [解析] 不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，x 1，x 2，x 3，x 4∈N *
，依题意得x 1＋x 2
＋x 3＋x 4＝8，
s ＝14[（x 1－2）2＋（x 2－2）2＋（x 3－2）2＋（x 4－2）2
]＝1，
即(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2
＝4，所以x 4≤3， 则只能x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3，则这组数据为1，1，3，3.
13．35 [解析] 由频率分布直方图可知，成绩大于或等于15 s ，且小于17 s 的频率为(0.38＋0.32)×1＝0.7，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是50×0.7＝35.
14．解：(1)由抽样方法知，被抽取的男生人数为250×45
450
＝25，
被抽取的女生人数为200×45
450
＝20.
(2)由(1)知，m ＝25－(3＋8＋6)＝8，n ＝20－(2＋5＋5)＝8， 据此估计
男生平均分约为65×3＋75×8＋85×8＋95×6
25
＝81.80，
女生平均分约为65×2＋75×5＋85×8＋95×5
20
＝83.00；
则这450名学生的平均分数为81.80×25＋83.00×20
45
≈82.33.
15．解：(1)
分组 频数 频率 [1.30，1.34) 4 0.04 [1.34，1.38) 25 0.25 [1.38，1.42) 30 0.30 [1.42，1.46) 29 0.29 [1.46，1.50) 10 0.10 [1.50，1.54] 2 0.02
合计 100 1.00
(2)纤度落在[1.38，0.69，纤度小于1.40的
概率约为0.04＋0.25＋1
2
×0.30＝0.44.
(3)总体数据的平均值约为 1.32×0.04＋1.36×0.25＋1.40×0.30＋1.44×0.29＋1.48×0.10＋1.52×0.02＝1.408 8.
【难点突破】
16．解：(1)派B 参加比较合适．理由如下：
x B ＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，
x A ＝1
8(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85，
s 2B ＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2
＋(93－
85)2＋(95－85)2
]＝35.5，
s 2A ＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2
＋(92－
85)2＋(95－85)2
]＝41，
∵x A ＝x B ，s 2B <s 2
A ，∴
B 的成绩较稳定，派B 参加比较合适．
(2)任派两个(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10种情况；
A ，
B 两人都不参加(
C ，
D )，(C ，
E )，(D ，E )有3种． 因为A ，B 至少有一个参加的对立事件是两个都不参加，
所以P ＝1－310＝7
10
.。