初升高数学衔接教程第19讲预习篇：函数全章复习(适合优生)

二是求出函数的定义域．
求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数
f g( x) 的表达式
时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法
求出 f (x) ．
函数的单调性
（1）如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量 x1，x2，当 x 1＜ x 2 时，都有 f ( x1) f ( x2 ) ，那么 就说函数 f ( x) 在区间 D上是增函数．
【变式 2】 定义在 R上的偶函数 f (x) ，对任意 x1，x 2∈ [0 ，+∞）（ x1≠ x2），有 f ( x2 ) f ( x1) 0 ，则（
）
x2 x1
A． f (3) f ( 2) f (1) B ． f (1) f ( 2) f (3)
C． f ( 2) f (1) f (3) D ． f (3) f (1) f ( 2)
举一反三： 【变式 1】 直线 y=1 与曲线 y=x2－ |x|+a 有四个交点，则 a 的取值范围是 ________．
类型三：函数的零点问题
例 1． 若函数 y f ( x) 在区间（－ 2， 2）上的图象是连续的，且方程 f ( x) 0 在（－ 2， 2）上仅有一个实
根 0，则 f ( 1) f (1)的值（
b , 4ac b2 ；对称轴为 x 2a 4a
b ； f (x) 在 2a
, b 上是单调递增的， 在 b ,
2a
2a
上是单调递减的； 当 x
b
时，函数取得最大值
4ac
b2 ．
2a
4a
函数的应用举例（实际问题的解法） （1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系； （2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论； （4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．
域，则 a 的值为（
）
A．－ 2 B ．－ 4 C ．－ 8 D ．不能确定
举一反三：
【变式 1】若函数 y
f ( x) 的定义域是 [0 ， 2] ，则函数 g ( x)
f (2x)
的定义域是（
）
x1
A． [0 ， 1] B ． [0 ， 1） C ． [0 ，1）∪（ 1， 4] D ．（ 0， 1）
A． f (| x1 |) f (| x2 |)
B
C． f ( x1) f ( x2 )
D
． f ( x2 ) f ( x1) ． f ( x1) f ( x2 )
举一反三：
【变式 1】下列函数中 , 既是奇函数又是增函数的为（
）
A． y x 1
B． y x2
1 C． y
x
D． y x | x |
m
例 4． 已知函数 y 1 x x 3 的最大值为 M，最小值为 m，则 的值为（
）
M
A． 1 B ． 1 C ． 2 D ． 3
4
2
2
2
举一反三：
【变式 1】函数 y
x2 x2
1
（ x∈ R）的值域是
________．
例 5． 设函数 f ( x) | 2x 4 | 1． （1）画出函数 y f ( x) 的图象； （2）若不等式 f ( x) ax 的解集非空，求 a 的取值范围．
4ac
b2
．
2a
4a
当 a 0 时， f (x) 的图象开口向上；顶点坐标为
b 4ac b2
,
；对称轴为 x
2a 4a
b ； f (x) 在
2a
, b 上是单调递减的， 在
b,
2a
2a
上是单调递增的； 当 x
b
时，函数取得最小值
4ac
b2 ．
2a
4a
当 a 0 时， f (x) 的图象开口向下；顶点坐标为
）
A．大于 0 B ．小于 0 C ．等于 0 D ．无法确定
举一反三：
【变式 1】二次函数 y ax2 bx c 中，若 ac＜ 0，则函数的零点个数是
个．
【变式 2】若函数 f ( x)
ax
b
0 有一个零点是 2，那么函数 g( x)
2
bx
ax 的零点是
．
类型四：函数性质的综合应用
4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义； 5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根
的关系； 6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质 . 【知识网络】
【要点梳理】 关于函数的概念 1．两个函数相等的条件 用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素—— 定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个 函数相等． 2．函数的常用表示方法 函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方 法表示函数．
例 2． 设偶函数 f ( x) 满足 f (x) x3 8( x 0) ，则 { x | f ( x 2) 0} （ ）
A． {x|x ＜－ 2 或 x＞4} B ． {x|x ＜0 或 x＞ 4} C． {x|x ＜0 或 x＞ 6} D ． {x|x ＜－ 2 或 x＞2}
例 3．设函数 f (x) ax2 bx c (a 0) 的定义域为 D ，若所有点 ( s, f (t )) (s,t D ) 构成一个正方形区
y kx b(k 0) ，其中 k y ． x
2．二次函数
二次函数 y ax 2 bx c(a 0) ，通过配方可以得到 y a( x h) 2 k, a 决定了二次函数图象的开口大小
及方向．顶点坐标为 h, k ，对称轴方程为 x h ．
对于二次函数 f ( x) ax 2 bx c a( x
b )2
（2）如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量 x1，x2，当 x 1＜ x 2 时，都有 f ( x1) f ( x2 ) ，那么 就说函数 f ( x) 在区间 D上是减函数．
（3）若函数 f ( x) 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若
函数 f (x) 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．
（2）若奇函数 y f ( x) 的定义域内有零，则由奇函数定义知 f ( 0) f (0) ，即 f (0) f (0) ，所以
f (0) 0 ．
（3）奇、偶性图象的特点
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函
数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：
函数与方程
（1）对于函数 y f ( x)( x D ) ，我们把使 f (x) 0 得实数 x 叫做函数 y f (x)( x D ) 的零点．
（2）确定函数 y f ( x) 的零点，就是求方程 f ( x) 0 的实数根．
（ 3）一般地，如果函数 y f (x) 在区间 a, b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且
与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图 象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断 某些超越方程根的个数等． 函数的奇偶性 （1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称， 那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以
y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是
对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．
图象的作法与平移
（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线；
（2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；
（3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象．
y 轴为
一次函数和二次函数 1．一次函数
（1）求 B中元素（ 3，－ 4）在 A 中的原象； （2）试探索 B 中有哪些元素在 A 中存在原象； （3）求 B中元素（ a， b）在 A 中有且只有一个原象时， a， b 所满足的关系式．
举一反三：
【变式 1】 已知 a，b 为两个不相等的实数， 集合 M { a2 4a, 1} ， N {b2 4b 1, 2} ， f : x x 表
示把 M中的元素 x 映射到集合 N中仍为 x，则 a+b 等于（
）
A． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
类型二：函数的概念及性质
例 1． 设定义在 R 上的函数 y= f （ x ）是偶函数 , 且 f （ x ）在（－∞， 0）为增函数．若对于 x1 0 x2 ，且 x1 x2 0 ，则有 ( )
这些方程 f ( x) 0 与函数 y f ( x) 联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．
对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是
否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于
0．
（5）在实数范围内，二次函数 y ax2 bx c( a 0) 的零点与二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的根之间
【学习目标】
函数全章复习
1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用
.
2．能正确认识和使用函数的三种表示法： 解析法， 列表法和图象法． 了解每种方法的优点． 在实际情境中，
会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；
5．函数的值域
由函数的定义知，自变量 x 在对应法则 f 下取值的集合叫做函数的值域．
函数值域的求法： （1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域） ；
（2）形如 y ax b cx d 的函数，可用换元法．即设 t cx d ，转化成二次函数再求值域（注意0) 的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域
为 y|y a ； c
（4）形如 y
ax 2 mx2
bx nx
c （ a,m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域． p
6．函数的解析式 函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，
函数的定义域是自变量 x 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型
主要有以下几种类型：
（1）已知 f (x) 得函数表达式，求定义域；
（2）已知 f (x) 的定义域，求 f (x) 的定义域，其实质是由 (x) 的取值范围，求出 x 的取值范围；
（3）已知 f ( x) 的定义域，求 f ( x) 的定义域，其实质是由 x 的取值范围，求 ( x) 的取值范围．
f ( a) f (b) 0 ，
那么函数 y f ( x) 在区间 a,b 内有零点，即存在 x0 a,b ，使得 f (x0 ) 0 ，这个 x0 也就是方程 f ( x) 0 的根．
（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法
f (x) 0 来说，我们可以将它与函数 y f (x) 联系起来，并
利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解． 判断函数在某区间有零点的依据： 对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把
有密切关系．
①
0 ，方程 ax 2 bx c 0(a 0) 有两个实根，其对应二次函数有两个零点；
②
0 ，方程 ax 2 bx c 0(a 0) 有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点；
③ 0 ，方程 ax 2 bx c 0(a 0) 无根，其对应二次函数无零点．
类型一：映射
【典型例题】
例 1． 设集合 A B {( x, y) | x R, y R} ， f 是 A 到 B 的映射，并满足 f : ( x, y) ( xy, x y) ．
3．映射
设 A、 B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系
f ，使对于集合 A 中的任意一个元素 x（原象），在
集合 B 中都有唯一确定的元素 f ( x) （象）与之对应，那么就称对应 f ：A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个映
射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射． 4．函数的定义域