2020年广东省湛江市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)

2020年广东省湛江市高考数学二模试卷（一）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若复数z满足2z=3+12i，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则复数|z|=（）
A. 3
B. 2
C. 4
D. 5
2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=2x-3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为（）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
3.现有甲班A，B，C三名学生，乙班D，E两名学生，从这5名学生中选2名学生参
加某项活动，则选取的2名学生来自于不同班级的概率是（）
A. B. C. D.
4.平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，||=2，||=3，=，则=（）
A. 3
B. -3
C. 2
D. -2
5.有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性．这是真的么？某社会调查机构与交
警合作随机统计了经常开车的100名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：
男女合计无403575
有151025
合计5545100
附：K2=
P（K2≥k0）0.500.400.250.150.10
k00.4550.708 1.323 2.072 2.706
据此表，可得（）
A. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足50%
B. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过50%
C. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足60%
D. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过60%
6.在△ABC中，内角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，且a cos B=（4c-b）cos A，
则cos2A=（）
A. B. C. D. -
7.设F1，F2分别为离心率e=的双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A
为双曲线C的右顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的渐近线l于M，N两点，则tan∠MAN=（）
A. -1
B. -
C. -
D. -2
8.已知实数m是给定的常数，函数f（x）=mx3-x2-2mx-1的图象不可能是（）
A. B. C. D.
9.在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，AC=2，PB⊥面ABC，M，N，Q分别为AC，PB，
AB的中点，MN=，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
10.把函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵
坐标都变为原来的2倍，得到函数g（x）的图象，并且g（x）的图象如图所示，则f（x）的表达式可以为（）
A. f（x）=2sin（x+）
B. f（x）=sin
（4x+）
C. f（x）=sin（4x-）
D. f（x）
=2sin（4x-）
11.设椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F，经过原点O的直线与椭圆C相交
于点A，B，若|AF|=2，|BF|=4，椭圆C的离心率为，则△AFB的面积是（）
A. B. 2 C. 2 D.
12.函数f（x）对于任意实数x，都有f（-x）＝f（x）与f（1＋x）＝f（1-x）成立，并
且当0≤x≤1时，f（x）＝x2，则方程的根的个数是
A. 2020
B. 2019
C. 1010
D. 1009
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数f（x）=e x cos x+x5，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是______．
14.若实数x，y满足不等式组，且z=x-2y的最小为0，则实m=______．
15.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙
子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2，2019]时，符合条件的a共有______个．16.圆锥Ω的底面半径为2，母线长为4．正四棱柱ABCD-A′B′C′D′的上底面的
顶点A′，B′，C′，D′均在圆锥Ω的侧面上，棱柱下底面在圆锥Ω的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17.S n为数列{a n}的前n项和，已知S n=．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，T n=b1+b2+…+b n，求T n．
18.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
PA=PB=PD．
（1）求证：PD⊥AB；
（2）若AB=6，PC=8，E是BD的中点，求点E到平面PCD
的距离．
19.6
家庭编号123456
月收入x（千
203035404855元）
月支出y（千
4568811元）
参考公式：回归直线的方程是：=x，其中，==，=．
（1）据题中数据，求月支出y（千元）关于月收入x（千元）的线性回归方程（保留一位小数）；
（2）从这6个家庭中随机抽取2个，求月支出都少于1万元的概率．
20.已知定点F（1，0），横坐标不小于0的动点在y轴上的射影为H，若|TF|=|TH|+1．
（1）求动点T的轨迹C的方程；
（2）若点P（4，4）不在直l：y=kx+m线上，并且直线l与曲线C相交于A，B两个不同点．问是否存在常数k使得当m的值变化时，直线PA，PB斜率之和是一个定值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
21.函数g（x）=（x-2）e x-ax+2，其中常数a∈R．
（1）求f（x）=g（x）+e x+ax-2的最小值；
（2）若a＜0，讨论g（x）的零点的个数．
22.在直角坐标系xOy中，点M（0，1），直线l：（t为参数），以原点O
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为7ρ2+ρ2cos2θ=24．（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于点A，B，求的值．
23.已知函数f（x）=|x-1|，g（x）=|2x+3|．
（1）解不等式f（x）-g（x）≥2；
（2）若2f（x）≤g（x）+m对于任意x∈R恒成立，求实数m的最小值，并求当m 取最小值时x的范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：解：复数z=a+bi，a、b∈R，
∵2z=3+12i，
∴2（a+bi）-（a-bi）=3+12i，
即，解得a=3，b=4，
∴z=3+4i，
∴|z|=．
故选：D．
根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．
本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．
2.答案：C
解析：【分析】
本题主要考查列举法、描述法的定义，交集的运算，以及子集的定义及子集个数的求法，属于基础题.
求出集合B，然后求出A∩B，从而可确定它的子集个数．
【解答】
解：B={-1，1，3，5}；
∴A∩B={1，3}；
∴A∩B的子集个数为：．
故选C．
3.答案：D
解析：解：从这5名学生中选2名学生参加某项活动，
基本事件总数n==10，
抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m==4，
∴抽到2名学生来自于不同班级的概率是P=1-=1-．
故选：D．
基本事件总数n==10，抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数
m==4，由此能求出抽到2名学生来自于不同班级的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.答案：B
解析：解：平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，||=2，||=3，
∴=2×=-3，
∵=，
∴=，，
则=（•===-3．
故选：B．
先根据向量的数量积求出•，然后把，用，表示，代入结合已知即可求解
本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，考查计算能力与转化能力．5.答案：A
解析：解：由表中数据，计算k=≈0.3367＜0.455，
∴认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足50%；
故选：A．
由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．
本题考查独立性检验的应用，关键是理解独立性检验的思路．属中档题．
6.答案：C
解析：【分析】
本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．
根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得cos A，进而利用二倍角余弦公式得到结果．
【解答】
解：在△ABC中，
根据正弦定理，∵a cos B=（4c-b）cos A，
∴sin A cos B=4sin C cos A-sin B cos A
即4sin C cos A=sin B cos A+sin A cos B=sin(A+B)=sin C,
∴sin C=4cos A sin C
∵0＜C＜π，sin C≠0．
∴1=4cos A，即cos A=，
那么cos2A=2cos2A-1=-．
故选：C．
7.答案：A
解析：解：离心率e===，
可得b=2a，可设双曲线的渐近线l的方程为y=2x，
A（a，0）为双曲线C的右顶点，以F1F2为直径的圆方
程为x2+y2=c2，
解得M（，）即（a，2a），N（-a，-2a），
直线AN的斜率为=1，可得∠OAN=45°，
且MA⊥x轴，可得tan∠MAN=tan（90°+45°）=-1．
故选：A．
由离心率公式和a，b，c的关系，求得直线l的方程y=2x，求得圆的方程，联立解得M，N，再由直线的斜率公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程的运用，考查方程是想和运算能力，属于基础题．
8.答案：D
解析：【分析】
本题考查函数图象的识别与判断，导数的应用，考查推理能力，是基础题．
令m=0，排除D，对函数求导，确定其极值点的正负即可判断．
【解答】
解：当m=0时，C符合题意；
当m≠0时，f′（x）=3mx2-2x-2m，△=4+24m2＞0，
设3mx2-2x-2m=0的两根为x1，x2，
则＜0，则两个极值点x1，x2异号，则D不合题意．
故选D．
9.答案：B
解析：【分析】
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
推导出AB⊥BC，PB⊥面ABC，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与MN所成角的余弦值．
【解答】
解：∵在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，AC=2，
∴AB2+BC2=AC2，
∴AB⊥BC，又PB⊥面ABC，
∴以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设PB=t，
∵M，N，Q分别为AC，PB，AB的中点，MN=，
∴P（0，0，t），N（0，0，），A（2，0，0），C（0，2，0），M（1，1，0），
∴MN==，解得t=2，
∴P（0，0，2），Q（1，0，0），N（0，0，1），
=（1，0，-2），=（-1，-1，1），
设异面直线PQ与MN所成角为θ，
则cosθ===，
∴异面直线PQ与MN所成角的余弦值为．
故选B．
10.答案：B
解析：【分析】
本题主要考查三角函数图象的应用，利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键，属于中档题．
根据图像可得g(x)的最大值为2，故f(x)的最大值为1，故排除AD；若f（x）=sin（4x-），
则，不满足图像，进而可解.
【解答】
解：根据图像可得g(x)的最大值为2，故f(x)的最大值为1，
故排除AD；
若f（x）=sin（4x-），
则，
当时，g(x)=2，不满足图像，
故选B．
11.答案：C
解析：解：设椭圆的左焦点为F′，由椭圆的对称性可知，|AF′|=|BF|=4，
∴|AF′|+|AF|=2+4=6=2a，∴a=3，又e=，
∴c=，
由余弦定理可得，cos∠FAF′==-，故sin∠FAF′=．
∴S△AFB=S△AFF′=|AF′||AF|sin∠FAF′==
故选：C．
由椭圆定义及离心率，可得a，c的值，利用余弦定理可得cos∠FAF′，进而利用面积公式得到结果．
本题考查了椭圆的定义与几何性质，考查了余弦定理及面积公式，属于中档题．
12.答案：A
解析：解：由函数f（x）对于任意实数x，都有f（-x）=f（x），
则函数f（x）为偶函数.
又f（1+x）=f（1-x）成立，
所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
所以f（x）=f（2+x）,
即函数f（x）为周期为2的周期函数.
则函数y=f（x）的图象与直线y=在[0，1]有两个交点，在（1，3]有两个交点，在（3，
5]有两个交点…在（2017，2019]有两个交点，在（2019，+∞）无交点，在（-∞，0）无交点，
即交点个数为2020，
故选：A．
由函数的奇偶性及周期性，方程的解及函数图象的交点个数的转化即可得解．
本题考查了函数的奇偶性及周期性，方程的解及函数图象的交点个数的转化，属中档题．13.答案：y=x+1
解析：【分析】
本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题．
求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可.
【解答】
解：函数f（x）=e x cos x+x5，f′（x）=e x（cos x-sin x）+5x4，
则f′（0）=1，又f（0）=1，
故切线方程为y=x+1，
故答案为：y=x+1．
14.答案：
解析：解：画出可行域如图阴影部分所示：
当z=x-2y过A时取得最小值，联立得
A，
则，解m=．
故答案为：．
画出可行域，由z的几何意义确定其最小值，列m的方
程求解即可
本题考查线性规划，z的几何意义，数形结合思想，确定取得最小值的最优解是关键，是中档题．
15.答案：135
解析：解：由题设a=3m+2=5n+3，m，n∈N*，则3m=5n+1
当m=5k，n不存在；
当m=5k+1，n不存在
当m=5k+2，n=3k+1，满足题意
当m=5k+3，n不存在；
当m=5k+4，n不存在；
故2≤a=15k+8≤2019，解-≤k≤，
则k=0，1，2…134，共135个
故答案为：135
由题设a=3m+2=5n+3，m，n∈N*，得3m=5n+1，对m讨论求解即可．
本题以传统文化为背景考查整数的运算性质，考查不等式性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
16.答案：
解析：解：设正四棱柱的底面边长为x，设棱柱的高h，
根据相似性可得：
，
解得：h=，（其中0＜x＜2）．
∴此正四棱柱体积为：V=x2h=x2•，
V′=
令V′=0，解得：x=，
易得：V=x2•，在（0，）上递增，在（，2）上递减，
所以此正四棱柱体积的最大值为．
故答案为：．
设正四棱柱的底面边长为x，设棱柱的高h，利用相似性表示h=，从而得到V的
表达式，利用导数知识求最值即可．
本题考查了空间几何体的结构特征及函数的最值问题，导数的应用，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．
17.答案：解：（1）当n≥2时，a n=S n-S n-1=+（n-1）2-（n-1）=11-n，
当n=1时，满足上式，可得a n=11-n；
（2）由a n=11-n，
可得b n===（-），
T n=（-+-+…+-）
=（-）=--．
解析：（1）运用数列的递推式，当n≥2时，a n=S n-S n-1，检验n=1成立即可得到所求通项公式；
（2）由b n===（-），裂项相消求和即可．
本题考查数列通项公式，裂项相消求和，考查计算能力，熟记求和的基本方法，准确计算是关键，是基础题．
18.答案：（1）证明：由于四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以△ABD是正三角形．设AB的中点为K，连接PK，DK，
如图所示，则AB⊥DK，
又PA=PB，所以AB⊥PK，又PK DK=K，
平面PKD，所以AB⊥平面PKD．
又PD⊂平面PKD，所以AB⊥PD．
（2）解：由（1）可知，AB⊥平面PKD．
又AB∥CD，所以CD⊥平面PKD．
又CD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面PKD，
设点E到平面PCD的距离为h，则由于BD=2ED，得点B到平面PCD的距离为2h．
由于KB∥平面PCD，所以K，B两点到平面PCD的距离均为2h．
所以点K到直线PD的距离就是2h．设△ABD的中心为H，则PH⊥平面ABD．
HC=4HE=4，在Rt△PHC中，PH==4，
在Rt△PHD中，PH=4，DH=2，所以PD==2．
由DH=2HK，得点H到直线PD的距离为，即==，得h=．
所以点E到平面PCD的距离为．
解析：本题考查线线垂直的判定，点到平面的距离，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．
（1）设K为AB的中点，要证AB⊥PD，转证AB⊥平面PKD，即证AB⊥PK，AB⊥DK；（2）设H为△ABD的中心，点E到平面PCD的距离为h，则点K到平面PCD的距离为2h，由（1）可知，AB⊥平面PKD,得平面PDC⊥平面PKD，最终可以得到H到直线
PD的距离为，在Rt△AHD中计算H到PD的距离即可得出答案.
19.答案：解：（1）=38，=7；
其中==≈0.2，
==7-0.2×38=-0.6，
故月支出y关于x月收入的线性回归方程是：=0.2x-0.6，
（2）若从6个家庭中抽取2个，则基本事件为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，
月支出都少于1万元的基本事件为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10
种，
则月支出都少于1万元的概率为P==．
解析：（1）由题意得到、，，，从而得到月支出y（千元）关于月收入x（千元）
的线性回归方程；
（2）从6个家庭中抽取2个，共包含15种情况，其中月支出都少于1万元的基本事件共10种，从而得到结果．
本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查古典概型概率公式，考查计算能力，是中档题．
20.答案：解：（1）设点T在直线x=-1上的射影是R，则由于T的横坐标不小于0，∴|TR|=|TH|+1，又|TF|=|TH|+1，
∴|TF|=|TR|，
即点T到F（1，0）的距离与T到直线x=-1的距离相等，
∴T的轨迹是以F为焦点，以x=-1为准线的抛物线．
即C的方程是y2=4x．
（2）由于A，B在曲线C上，可设A（，a），B（，b），则
PA的斜率k1==，同理PB的斜率k2=．
∴k1+k2=+=．
又曲线C与直线l相交于A，B两点，∴k≠0，于是联立方程，得
⇒ky2-4y+4m=0，
∴a+b=，ab=．
∴∴k1+k2==1-，
此式随着m的变化，值也在变化，所以不存在k值满足题意．
解析：（1）利用抛物线定义，即可得到动点T的轨迹C的方程；
（2）设A（，a），B（，b），利用斜率计算公式可得k1+k2，利用韦达定理即可得
到结果．
本题考查了定义法求轨迹方程、综合考查了直线与圆锥曲线方程联立解决复杂的存在探究问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.答案：解：（1）f（x）=（x-1）e x在定义域R上的导数为f′（x）=xe x．
∴当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间是（-∞，0），单调增区间是（0，+∞）．
∴f（x）的最小值是F（0）=-1．
（2）g（x）在其定义域R上的导数是g′（x）=（x-1）e x-a．
①当a≤-1时，由（1）可得g′（x）≥0，g（x）在R上是增函数，此时由g（0）=0，可得函数g（x）有唯一的零点．
②当-1＜a＜0时，g′（0）=-1-a＜0，并且对于负数2ln（-a）-5，有
g′[2ln（-a）-5]=[2ln（-a）-5-1]e[2ln（-a）-5]-a=[2ln（-a）-6]e[2ln（-a）-5]-a
=．
又∵2a ln（-a）-6a＜6＜e5，∴2a ln（-a）-6a-e5＜0，即g′[2ln（-a）-5]＞0．
∴在区间（2ln（-a）-5，0）上存在负数t，使得g′（t）=0，则在（-∞，t）上g′（x）＞0，g（x）是增函数；
在区间（t，0）上g′（x）＜0，g（x）是减函数．则g（t）＞g（0）=0，g（）=（）＜0．
∴在（-∞，0）上，g（x）有且仅有1个零点；
在区间（0，+∞）上，g′（0）=-1-a＜0，g′（1）=-a＞0并且g′（x）是增函数．
∴存在正数n，使得在（0，n）上，g′（x）＜0，g（x）是减函数；在（n，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）是增函数．
于是有g（n）＜g（0）=0，g（2）=2-2a＞0．
∴在（0，+∞）上，g（x）恰有唯一的零点．
∴当-1＜a＜0时，g（x）在R上恰有三个不同的零点．
综上所述，当a≤-1时，g（x）有唯一的零点；当-1＜a＜0时，g（x）有三个不同的零点．
解析：（1）导数为f′（x）=xe x，研究单调性即可得到f（x）=g（x）+e x+ax-2的最小值；
（2）g（x）在其定义域R上的导数是g′（x）=（x-1）e x-a，对a分类讨论，数形结合即可明确g（x）的零点的个数．
本题考查了函数的最值与函数零点的个数判断，考查转化思想与函数方程思想，考查转化能力与计算能力，属于难题．
22.答案：解（1）∵7ρ2+ρ2cos2θ=24，∴7ρ2+ρ2（2cos2θ-1）=24，
又∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为：+=1.
（2）将直线l的参数方程化为标准形式为：（t为参数），
代入曲线C方程，得19t2+6t-45=0
＞0恒成立,∴t1+t2=-，t1t2=-
∴+=+===.
解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程t的几何意义，考查计算能力，属中档题．
（1）利用极坐标与直角坐标的互化求解即可；
（2）将直线l的参数方程化为标准形式为：（t为参数），与椭圆联立，利
用t的几何意义求解+即可.
23.答案：解：（1）f（x）-g（x）=|x-1|-|2x+3|，
当x≤-时，不等式化为x+4≥2，解得x≥-2，可得-2≤x≤；
当＜x＜1时，不等式化为-3x-2≥2，解得x≤-，可得＜x≤-；
当x≥1时，不等式化为-x-4≥2，解得x≤-6，可得x∈∅．
综上可得，原不等式的解集为{x|-2≤x}．
（2）若2f（x）≤g（x）+m恒成立，则|2x-2|-|2x+3|≤m恒成立，
∴m≥（|2x-2|-|2x+3|）max，
又∵|2x-2|-|2x+3|≤|2x-2-（2x+3）|=5，
∴m最小值为5．
此时∴，
解得x≤．
解析：（1）零点分段去绝对值化简f（x）-g（x）解不等式即可；
（2）2f（x）≤g（x）+m恒成立，即|2x-2|-|2x+3|≤m恒成立，即m≥（|2x-2|-|2x+3|）max，由绝对值三角不等式求m≥（|2x-2|-|2x+3|）max，即可求解．
本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值，熟记定理，准确计算是关键，绝对值三角不等式成立条件是易错点，是中档题．。