重点中学盟校高三第一次联考数学(理科)试卷

江西省重点中学盟校2011届高三第一次联考
数学（理科）试卷
（满分：150分 时间：120分钟） 命题人：鹰潭一中 吴贵生 景德镇一中 曹永泉 宜春中学 钟文峰
一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1．设全集U R =，{ |(2)0 }A x x x ，{ |ln(1) }B x y
x ，则)(B C A U 是
（ ） A ．2, 1-（）
B ．[1, 2)
C ．(2, 1]-
D ．1, 2（）
2．已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则
5i
z
=（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i -- D ．2i -+
3．命题p ：若b a ⋅＜0，则b a 与的夹角为钝角；
命题q ：定义域为R 的函数）
，）及（，在（∞+∞-00)(x f 上都是增函数，则),()(+∞-∞在x f 上是增函数。

则下列说法正确的是
（ ） A ．“p 且q ”是假命题 B ．“p 或q ”是真命题 C ．p ⌝为假命题
D ．q ⌝为假
命题
4．若把函数()=y f x 的图象沿x 轴向左平移
4
π
个单位, 沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sin =y x 的图象,则()=y f x 的解析式为（ ） A. sin 214⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭y x π B. sin 212⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭y x π C. 1sin 124⎛⎫=+-
⎪⎝⎭y x π D. 1
sin 12
2⎛⎫=+- ⎪⎝⎭y x π
5．设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（ ）
①,m n α⊥若//α，则m n ⊥ ②,,//αγβγαβ⊥⊥若则 ③//,//,//m n m n αα若则 ④,αββγαγ⊥⊥若//,//,m 则m
A 、①和②
B 、②和③
C 、③和④
D 、①和④
6．函数|1|
()2ln x f x x a -=--恰有两个不同的零点，则a 的取值范围是（ ）
A 、(,1)-∞-
B 、(1,)-+∞
C 、(,1)-∞
D 、
(1,)+∞
7．已知双曲线122
22=-b
y a x )0,0(>>b a 的焦点为1F 、2F ，M 为双曲线上
一点，以1F 2F 为直径的圆与双曲线的一个交点为M ，且
2
1
tan 21=
∠F MF ，则双曲线的离心率为 （ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．2
8．如右图，如果执行右面的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于( )
A ．1m n C - B. 1m n A - C. m n C D. m
n A
9. 如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （ ）
.
A 37 .
B 4
7
.
C 13
14
.
D
1
14
11121321
222331
3233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭ 10.设a,b,m 为整数（m ﹥0），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对m 同余记为a=b(modm),
已知1232
2019
202020201222,a C C C C =++++
+(mod10),b a =则b 的值可以是（ ）
A 、2010
B 、2011
C 、2012
D 、2009
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

11． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年3月15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为______．
酒精含量
组距
0.02 0.015 0.01 0.005
20 30 40 50 60 70 80 90
100 (mg/100ml) 图1
12．如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积 ．
13 ．已知数列｛n a ｝满足：*
1log (2) ()n n a n n N +=+∈，定义使123......k a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数* ()k k N ∈叫做幸运数，则[]2011,1∈k 内所有的幸运数的和为 . 14.
已
知
集
合
{}
22()()()()(),,M f x f x f y f x y f x y x y R
=-=+⋅-∈,有下列命题 ①若11,0,
()1,0,x f x x ≥⎧=⎨
-<⎩
则1()f x M ∈；
②若2()2,f x x =则2()f x M ∈；
③若3(),f x M ∈则3()y f x =的图象关于原点对称； ④若4(),f x M ∈则对于任意不等的实数12,x x ，总有
414212
()()
0f x f x x x -<-成立.
其中所有正确命题的序号是 15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分） A.(坐标系与参数方程选做题) 已知圆3cos ρθ=，则圆截直线22,
14x t y t
=+⎧⎨=+⎩（t 是参数)
所得的
弦长为 ；
B.（不等式选做题) 若关于x 的不等式a x x ≤-+1有解，则实数a 的取值范围是 。

三、解答题;本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
已知向量2(3sin
,1),(cos ,cos ).444x x x m n == （I ）若1m n ⋅=,求2cos()3
x π
-的值; （II ）记()f x m n =⋅，在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围。

17．（本题满分12分）
正(主)视图
侧(左)视图
俯视图
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下： 甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学
生参加合适?请说明理由；
（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩
中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ.
18．（本题满分12分）
如图，已知△AOB ，∠AOB ＝
2π，∠BAO ＝6
π
，AB ＝4，D 为线段AB 的中点．若△AOC 是△AOB 绕直线AO 旋转而成的．记二面角B －AO －C 的大小为θ．
（Ⅰ） 当平面COD ⊥平面AOB 时，求θ的值；
（Ⅱ） 当θ∈[2π,23
π
]时，求二面角C －OD －B 的余弦值的取值范围．
19．（本题满分12分） 设
数
列
.,3,2,1,012,}{2 ==+--n S a S S S n a n n n n n n 且项和为的前
（1）求;,21a a 3a ； （2）求n S 的表达式． 20．（本小题满分l3分）
设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，直线l ：2
a x =交x 轴
于点A ，且12
2AF AF =． （1）试求椭圆的方程；
（2）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别
交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形
DMEN 面积的最大值和最小值．
A
O
B
C
D
(第18题)
21．（本题满分14分）
已知函数()x f x e x =- （e 为自然对数的底数）． （1）求()f x 的最小值；
（2）不等式()f x ax >的解集为P ，若1|
22M x x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
且M P ≠∅求实数a 的取
值范围；
（3）已知n N *
∈，且0
()n
n S f x dx =
⎰
，是否存在等差数列{}n a 和首项为(1)f 公比大于0
的等比数列{}n b ，使得n n n S b b b a a a =++++++ 2121？若存在，请求出数列
{}{}n n a b 、的通项公式．若不存在，请说明理由．
江西省重点中学盟校2011届高三第一次联考
数学（理科）答案
一、选择题：
1--5 BAABD 6--10 DCDCB 二、填空题：
11. 4320 12. 2 13. 2026 14. ②③ 15.(A) 3 (B) [)+∞,1 三、解答题
16、解：（I ）m n ⋅=
2cos cos 444x x x +=11
sin cos 22222
x x ++=1sin()262x π++
∵1m n ⋅= ∴1
sin()262x π+
=…………………………………………3分
2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=12 21
cos()cos()332
x x ππ-=-+=-…………………………………………6分 （II ）∵(2)cos cos a c B b C -=， 由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=
∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=∴2sin cos sin()A B B C =+
∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠
∴1cos ,23B B π
=
=……………………………………………………8分 ∴203
A π
<<
∴1,sin()16262226
A A ππππ
<+<<+<………………………………10分 又∵()f x m n =⋅=1sin()262x π++，∴()f A =1
sin()262
A π++
故函数()f A 的取值范围是（1,3
2
）……………………………………………………12分
17．解：（1）茎叶图如下：
………………2分
学生乙成绩中位数为84，…………4分 （2）派甲参加比较合适，理由如下：
85)35124889290480270(81
=++++++++⨯+⨯+⨯=甲x
85)53535390480170(81
=+++++⨯+⨯+⨯=乙x ………………5分
222222
)8585()8583()8580()8579()8578(8
1-+-+-+---=甲S
])8595()8592()8590(222-+-+-+=35.5
222222
)8585()8583()8580()8580()8575[(8
1-+-+-+-+-=乙S
])8595()8592()8590(222-+-+-+=41……………………7分
2
2,乙
甲乙甲S S x x <= ∴甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适……………………8分 （3）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ， 则4
3
86)(==
A P ……………………9分 随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
且ξ服从B （43,3）,)4
31()43()(33
13k C k P --⋅==∴ξk=0，1，2，3
ξ的分布列为：
49
642736427264916410=⨯+⨯+⨯+⨯
=∴ξE
（或49433=⨯==np E ξ）
12分
18．解法一：
（Ⅰ） 如图，以O 为原点，在平面OBC 内垂直于
OB 的直线为x 轴，OB ，OA 所在的直线分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ， 则A （0，0，
，B （0，2，0），
D （0，1
，C （2sin θ，2cos θ，0）．
设1n ＝（x ，y ，z ）为平面COD 的一个法向量，
由110,0,n OD n OC ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩ 得
sin cos 0,
0,x y y z θθ+=+=⎧⎪⎨
⎪⎩
取z ＝sin θ，则1n
cos θ
θ，sin θ）．
因为平面AOB 的一个法向量为2n ＝（1，0，0）， 由平面COD ⊥平面AOB 得1n ⋅2n ＝0，
所以cos θ＝0，即θ＝2
π
． ………………………6分 （Ⅱ） 设二面角C －OD －B 的大小为α,
由（Ⅰ）得当θ＝2
π
时， cos α＝0；
当θ∈（
2π,23π]时，tan θ≤
cos α= 1212||||n n n n
⋅＝
，
5
α＜0．
(第18题)
综上,二面角C －OD －B 的余弦值的取值范围为[
－
5
，0]． …………12分
解法二：
（Ⅰ） 解：在平面AOB 内过B 作OD 的垂线，垂足为E ，
因为平面AOB ⊥平面COD ，
平面AOB ∩平面COD ＝OD ， 所以BE ⊥平面COD ， 故BE ⊥CO ． 又因为OC ⊥AO ，
所以OC ⊥平面AOB ，
故OC ⊥O B ．
又因为OB ⊥OA ，OC ⊥OA ，
所以二面角B －AO －C 的平面角为∠COB ，
即θ＝2π
． ………………………………………6分
（Ⅱ） 解：当θ＝2
π
时，二面角C －OD －B 的余弦值为0； 当θ∈（
2π,23
π]时， 过C 作OB 的垂线，垂足为F ，过F 作OD 的垂线，垂足为G ，连结CG ， 则∠CGF 的补角为二面角C －OD －B 的平面角． 在Rt △OCF 中，CF ＝2 sin θ，OF ＝－2cos θ， 在Rt △CGF 中，GF ＝OF sin
3
π
θ，CG
所以cos ∠CGF ＝
FG CG
．
因为θ∈（
2π,23
π]，tan θ≤
故0＜cos ∠C GF
5
所以二面角C －OD －B 的余弦值的取值范围为 [
－
5
，0]． ……………12分
19．解：（1）当1=n 时，由已知得.2
1
,01212
1121=
=+--a a a a 解得
同理，可解得.612=
a 12
1
3=a 5分 （2）解法一：由题设0122
=-+-n n n n S a S S 当1*
,)(2--=∈≥n n n S S a N n n 时
代入上式，得.0121=+--n n n S S S （*） 6分
F C A O B
D (第18题) G E
由（1）可得.3
2
6121,2121211=+=+===a a S a S 由（*）式可得.433=S
由此猜想：)(1
*N n n n
S n ∈+=
8分 证明：①当1=n 时，结论成立．②假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，
即,1+=
k k S k 那么，由（*）得,21
1k
k S S -=+.211
211++=+-
=
∴+k k k k S k
所以当1+=k n 时结论也成立，根据①和②可
知，
1
+=
n n
S n 对所有正整数n 都成立．因1
+=
n n
S n 12分
解法二：由题设.0122
=-+-n n n n S a S S 当
1*,)(2--=∈≥n n n S S a N n n 时
代入上式，得.0121=+--n n n S S S
1
11121121
1,21-----+-=
--=-∴-=
∴n n n n n n S S S S S S
,1
111211111-+-=--=-∴
---n n n n S S S S
公差为是首项为,21
1
}11{1-=--∴S S n -1的等差数列，
.1)1()1(21
1
--=-⋅-+-=-∴
n n S n 1111+=++-
=∴n n n S n 12分 20．（本题12分） 解：（1）由题意，212||22,(,0),F F c A a ==∴
212AF AF = 2F ∴为1AF 的中点
2,322==∴b a
即：椭圆方程为.12
32
2=+y x ………………(５分)
（2）当直线DE 与x 轴垂直时，3
42||2
==a b DE ，此时322||==a MN ，四边形
DMEN
的面积||||42
DE MN S ⋅==．同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面
积||||42
DE MN S ⋅==． 当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE :)1(+=x k y ，代入
消去y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(22
212
2212211k k x x k k x x y x E y x D 则
所以，2
31344)(||2
22122121++⋅=-+=-k k x x x x x x ，所以，2
2212
32)
1(34||1||k
k x x k DE ++=-+=，
同理
2222
11
)1]3(1)||.
1323()2k k MN k k -++==+-+ ……………9分
所以四边形的面积
2
2
2
2
3
2)11(
3432)
1(34212||||k k k k MN DE S ++⋅
++⋅=⋅=
13)1(6)21(24222
2
++++=
k k k k
令u u
u S k
k u 61344613)2(24,12
2+-
=++=+=得
因为,21
22
≥+
=k k u 当25
96,2,1==±=S u k 时， 且S 是以u 为自变量的增函数，所以425
96<≤S ．
综上可知，96425
S ≤≤．故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为25
96．…（13分）
21．解：（1）1)(-=x e x f 1分 由.0,0)(==x x f 得当0)(,0>>x f x 时；当.0)(,0<<x f x 时
上减在上增在)0,(,),0()(-∞+∞∴x f 1)0()(min ==∴f x f …4分
（2）φ≠⋂P M ，]2,2
1
[)(在区间ax x f >∴有解
由ax x e ax x f x
>->得,)(即]2,2
1
[1在-<x e a x 上有解 …6分
令]2,21[,1)(∈-=x x e x g x 2)1()(x e x x g x
-= ，
]1,21[)(在x g ∴上减，在[1，2]上增
又12)2(,12)21(2-=
-=e g e g ，且)21()2(g g >12
)2()(2
max -==∴e g x g
12
2
-<∴e a … 8分
（3）设存在公差为d 的等差数列}{n a 和公比0>q 首项为)1(f 的等比数列}{n b ，使
①
② n n n S b b b a a a =++++++ 2121 12
1)21()()(20200--=-=-==⎰⎰n e x e dx x e dx x f S n n x n n x n …10分
1)1(1-==e f b 2311111-=-+=+∴e e a S b a 即 211-=∴a 又2≥n 时，2
1)1(11+--=-=+--n e e s s b a n n n n n 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-++---=-++-=25
)1()1(22
123)1()1(213,222e e q e d e e q e d n 时有
②-①×2得，e e q q 2222-=-解得e q e q -==2或（舍） 故1,-==d e q …12分 此时n n a n -=--+-=2
1)1)(1(21
11121)1()1(----=-+-=+-=n n n n n n n S S n e e b a e e b 且 ∴存在满足条件的数列{}{}n n a b 、 满足题意 (14)。