随机过程习题和答案

一、设二维随机变量 ( ,) 的结合概率密度函数为：
试求:在时,求。

解：
＝
当时，
＝
设失散型随机变量X 听从几何散布：
试求的特点函数，并以此求其希望与方差。

解：
因此：
袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每
一个确立的 t对应随机变量
t
假如对 t时获得红球
X (t )3
e t假如对 t时获得白球
试求这个随机过程的一维散布函数族 .
设随机过程，此中是常数，与是相互独立的随机变量，听从区间上的均匀散布，听从瑞利散布，其概率密度为
试证明为宽安稳过程。

解：（ 1）
与没关
（2）
，
因此
（3）
只与时间间隔有关，因此为宽安稳过程。

设随机过程X (t ) U cos2t，此中 U 是随机变量，且E(U ) 5， D (U ) 5.求：（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数 .
设有两个随机过程X (t ) Ut 2， Y(t ) Ut 3 ,此中 U 是随机变量，且 D (U ) 5.
试求它们的互协方差函数。

设 A, B是两个随机变量, 试求随机过程X (t) At 3B，t T ( ,)的均值
函数和自有关函数.若 A, B互相独立,且 A ~ N (1,4), B ~ U (0,2),则m X(t)及R X(t1, t2)为多少？
一队学生按序等候体检。

设每人体检所需的时间听从均值为 2 分钟的
指数散布而且与其余人所需时间互相独立， 则 1 小时内均匀有多
少学生接受过体检在这 1 小时内最多有
40 名学生接受过体检的
概率是多少（设学生特别多，医生不会安闲）
解：令 N (t) 表示 (0, t) 时间内的体检人数，则
N (t ) 为参数为 30 的
poisson 过程。

以小时为单位。

则 E(N(1)) 30。

40 (30) k e 30。

P(N (1) 40)
k!
k 0
在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐 1,2 路公共汽车的强
度分别为 1
，
2
，当 1 路公共汽车有
N
1
人乘坐后出发； 2 路公共汽车在有
N
2
人乘坐后出发。

设在 0 时辰两路公共汽车同时开始等候乘客
到来，求（1）1 路公共汽车比 2 路公共汽车早出发的概率表达式；（2）
当 N 1= N
2 ， 1 = 2 时，计算上述概率。

解：
法一：（1）乘坐 1、2 路汽车所到来的人数分别为参数为
1
、 2的
poisson 过程，令它们为 N 1 (t) 、 N 2 (t) 。

T N 1 表示 N 1( t) = N 1 的发生时辰， T N 2 表示 N 2 (t ) = N 2 的发生时辰。

N 1 f T (t 1)
1
N 1 1
exp(
1t 1 )
( N 1 1)! t 1
1
N 2
N 2 1 exp(
f T (t 2 )
2 t 2
2t 2 )
N 2
(N 2
1)!
N 1 N 1 1
exp(
N 2
N 2 1
exp(
f T ,T (t ,t 2 ) f T |T (t |t 2 ) f T (t 2 )
1
t
t ) 2
t 2 t 2
)
N
1
1
(N 1
1)! 1
1 1
( N 2 1)! 2
2
2
1
2
1
t2N1
N11 exp( 1t1 )
N2
N21 exp( 2t2 )dt1
P(T N T N )dt1t12t2
2
12
0 (N1 1)!(N2 1)!
（2）当N1 = N2、 1 = 2 时，P(T N1T N2 )P(T
N1T N
1
2
)
2
法二：（1）搭车到来的人数能够看作参数为 1 +2的泊松过程。

令 Z1、 Z2分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。

则 Z1、Z2分别听从参数为1、2的指数散布，此刻来求当一个乘客乘坐 1 路汽车后，下一位乘客仍是乘坐 1 路汽车的概
率。

z2
p P(Z1Z2 )
0dz2
0 1
exp(1z1) 2 exp( 2 z2)dz1
1。

12
故当一个乘客乘坐 1 路汽车后，下一位乘客乘坐 2 路汽车的概
率为1- p2
12
上边的概率能够理解为：在乘客到来的人数为强度1+ 2的泊松
过程时，乘客分别以1概率乘坐公共汽车1，以2的概
1212
率乘坐公共汽车2。

将乘客乘坐公共汽车 1 代表试验成功，那么有：
P(1路汽车比 2路汽车先出发）=N1N21
C k N11 1 (1)N1(2) k N1 k N11212
（2）当N1=N2、1= 2时
P(1路汽车比 2路汽车先出发）
= 2 N 1C k N11 (1
) k12N 1C k N11(1) k 11
k N2 2 k N22
设 { N i (t ), t 0} ， (i 1,2, , n) 是 n 个相互独立的Poisson 过程，参数分别为
i (i 1,2, , n) 。

记 T 为所有 n 个过程中，第一个事件发生的时辰。

（1）求 T 的散布；
（2）证明 { N (t)
n
N i
(t ), t
0} 是 Poisson 过程，参数为
n
；
i 1 i 1 i
（3）求当 n 个过程中，只有一个事件发生时，它是属于
{ N 1(t), t
0} 的概率。

解：（1）记第 i 个过程中第一次事件发生的时辰为 t i1 ， i 1,2,...,n 。

则 T min{ t i1 ,i 1,2,..., n} 。

由 t i1 听从指数散布，有
P{ T t} 1 P{T
t} 1 P{min{ t i1, i 1,2,..., n} t}
n
1 P{ t i1 t, i 1,2,..., n} 1
P{t i 1 t}
i 1
n
i
t
n
1
{1 (1 e
)} 1 exp{
i t}
i 1
i 1
（2）方法一：由 {
i
( ), i 1,2,..., } 为互相独立的 poisson 过程，对
N t n
于 s,t
0 。

n
P{ N (t
s) N (t) n} P{
[ N i (t s)
N i (t )] n}
i 1
P{ N i (t s) N i (t) n i , n i
n, i 1,2..., n}
n i n
( s n n
n
n i
exp( (
i ) s)
i
)
n i n
i
1
i 1 n i !
n
i ) n
(s
i 1
n
exp( (
i )s)
n!
i 1
n )
n
n
n i 这里利用了公式 (
1
...
i
n!
n i n
i
1 n i !
因此 { N (t ) n
0} 是参数为
n
的 poisson 过程。

N i (t ),t i
i 1
i 1
方法二：
○
当
时， 1 h
n
P{ N (t h) N (t) 1} P{
[ N i (t s) N i (t )]
1}
i 1
n
n
{(
i h o(h))
(1
j
h
o(h))}
i
1
j 1
j i
n
n
[
i h
o(h)]
i h
o( h)
i
1
i 1
2 当 h 0 时，
○
n
P{ N (t h) N (t ) 2}
P{ [ N i (t s) N i (t )] 2}
i 1
n
1 P{
[ N i (t s) N i (t)]
2}
i 1
n
n
1
(1
j h
o( h))
i
h
o(h)
j
1
i 1
n
n
1 (1
i
h o( h))
i h
o( h)
i 1
i 1
o( h)
得证。

（ 3） P{ N 1 (t) 1| N (t ) 1} P{ N 1 (t) 1, N i (t) 0, i 2,..., n}/ P{ N (t )
1}
n
1te
1t
n
e i t
/ e
i 1
i
t
n
1
i t
i 2
i 1
1
...
n
证明 poisson
过程分解定理：关于参数为
的 poisson 过程
r
{ N (t), t 0}
0 p i 1
p i
1
i 1,2, , r
， ，
i 1
， ，可分解为 r 个相
互独立的 poisson
过程，参数分别为
p i ，
i 1,2, , r。

解：对过程 { N (t ), t 0} ，设每次事件发生时，有
r 个人对此以概率
p 1, p 2 ,..., p r 进行记录，且
r
，同时势件的发生与被记录之
p i
1
i 1
间互相独立， r 个人的行为也互相独立，以
N i (t) 表示为到 t
时辰第 i 个人所记录的数量。

此刻来证明 { N i (t ),t 0} 是参数为
p i 的 poisson 过程。

P{ N i (t) m}
P{ N i (t ) m | N (t) m n}P{ N (t ) m n}
n 0
m m
(1 p i ) n ( t )
m n
e t
C m n p i
n 0
(m n)!
p t ( p t)m
e
i
i
m!
独立性证明：考虑两种状况的情况，即只存在两个人记录，
一个以概率 p ，一个以概率 1
p 记录，则 { N 1 (t ),t
0} 是参数为
p 的 poisson 过程， { N 2 (t), t
0} 是参数为 (1
p) 的 poisson
过程。

P{ N 1(t) k 1 , N 2 (t ) k 2 } P{ N 1(t ) k 1 , N (t) k 1 k 2}
P{ N (t ) k 1 k 2 } P{ N 1 (t) k 1 | N (t ) k 1 k 2 }
( t) k 1 k
2
e t C k k 1
k
p k 1
(1p)k 2
(k 1 k 2 )!
1
2
( t)
k 1 k
2
e
t
(k
1
k 2 )!
p k 1
(1p)
k
2
(k 1 k 2 )! k 1 ! k 2 !
( t) k
1 k
2
e t p k 1
(1 p) k 2
k 1 ! k 2 !
( pt ) k 1
e
t
( (1p)t )k 2
e (1 p )t k 1 ! k 2 !
P{ N 1(t ) k 1} P{ N 2 (t) k 2}
得证。

设
{ N (t), t 0}
是参数为 3 的 poisson 过程，试求
（
1） P{ N(1) 3} ；
（2） P{ N (1) 1,N (3) 2} ；
（3） P{ N(1) 2| N(1) 1}
解：（1） P{ N (1) 3}
3
3 k
e 3
13e
3
k 0
k !
（2） P{ N(1) 1,N(3)
2} P{ N(1) 1,N(3) N (1) 1}
P{ N (1) 1} P{ N (3) N (1) 1} 3e 3 6e 618e 9
P{ N (1)2}14e （3）P{ N(1) 2|N(1) 1}
1}1e
P{ N (1)
3 3
关于 poisson 过程{ N (t ), t0}
，证明 s t 时，
P{ N ( s) k | N (t ) n}n
s)n k(s)k
(1
k t t
解：
P{ N ( s)k | N (t)
P{ N ( s)k , N (t) n} n}P{ N (t ) n}
P{ N (s)k, N (t)N (s)n k}
P{ N (t )n}
P{ N (t)N (s)n k} P{ N ( s)k}
P{ N (t)n}
e(t s)((t s)) n k e s (s) k
(n k )!k !
e t ( t )n
n!
(t s) n k s k n!
( n k)! k !t n
n(t s)n k s k
k t n k t k
n
s)n k( s)k
(1
k t t
设 { N1 (t ), t0} 和 { N 2 (t ),t0}分别是参数为 1 ， 2 的Poisson过程，另X (t ) N1 (t )N 2 (t ) ，问 { X (t)} 能否为Poisson过程，为何
解：不是
12
(t )，
X (t )
的一维特点函数为：
X (t ) N (t )N
f X (t ) (u)
E(e iuX (t ) ) E(e iu ( N 1
(t ) N 2
(t ))
)E(e iuN 1
(t )e iuN 2
(t ) )
iuk
( 1t)k
t
iuk ( 2t) k
t
e
e 1
e e 2
k 0
k !
k 0
k !
e 1t
(e iu 1t )k
e 2
t
(e iu 2 t) k
k 0
k !
k
k!
e 1t
e
e iu 1
t
e 2t
e
e iu
2
t
exp{ e iu 1t e iu 2t
( 1 2 )t}
参数为 的 Poisson 过程的特点函数的形式为 exp{ e iu t
1} ，因此
X (t ) 不是 poisson 过程。

计算 T 1 ， T 2 ， T 3 的结合散布
解：
f X 1 , X 2 ,X 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) f X 1 ( x 1 ) f X 2 ( x 2 ) f X 3 ( x 3 ) 3
e ( x 1 x 2 x 3 )
1 1 0 J (t 1, t
2 , t 3)
0 1 1
1
0 1
f T 1 ,T 2 , T 3
(t 1
,t 2
, t 3) f
X 1 , X 2 , X 3
(t 1
, t
2
t 1 ,t 3 t 2 ) J (t 1 ,t 2 , t 3 )
3e t
3
0 t 1 t 2 t 3
0 其余
对 s 0 ，计算 E[ N (t ) N (t s)] 。

解：
E[ N (t )N (t s)] E[ N (t )( N (t s) N (t))] E[ N 2 (t )]
E[ N (t )] E[( N (t s) N (t ))]
E[ N 2 (t )]
t s
t ( t )2
2t
2
2
st t
设某医院专家门诊， 从清晨 8:00 开始就已经有无数患者等候，
而每
个专家只好为一名患者服务， 服务的均匀时间为 20 分钟，且每
名患者的服务时间是互相独立的指数散布。

则 8:00 到 12:00 门
诊结束时接受过治疗的患者均匀在医院逗留了多长时间。

解：从门诊部出来的患者能够看作听从参数为 3 的泊松过程（以小时
为单位）。

则在 [0, t] 小时内接受治疗的患者均匀逗留时间为：
N ( t )
N (t )
T i T i
E[ i 1 ] E[ E[ i 1 ] | N (t) n]
N (t ) N (t) nt t t
E[ 2 ]
E[ ] 2
n 2
当ｔ＝４时，均匀等候逗留时间为２ｈ。

３.11
{ N (t ),t 0}
是强度函数为 (t) 的非齐次 Poisson 过程，X 1 , X 2 , 是
事件发生之间的间隔时间，问：
（1）诸 X i 能否独立
（2）诸 X i 能否同散布
解：
t
( s)ds
（1） P{ X 1 t} P{ N (t ) 0}
e m(t )
e 0。

P{ X 2 t | X 1 s}
P{ N (t s) N (s) 0 | X 1 s}
t s
P{ N (t s) N (s) 0}
e [ m(t s) m( s)]
e
( )d
s
从上边看出 X 1 、 X 2 不独立。

以此类推， X i 不独立。

t
( s)ds
；
（2） F X 1 (t ) 1 e 0
F X 2 (t ) 1 P( X 2 t ) 1
P{ X 2 t | X 1 s} dF X 1 ( s)
1
e [ m(t s)
m( s)]
e m( s)
(s)ds 1
e m( t s) (s)ds
散布不一样。

设每日过某路口的车辆数为：清晨 7:00 8:00,11:00 12:00 为平
均每分钟 2 辆，其余时间均匀每分钟
1 辆。

则清晨 7:30 11:20 均匀
有多少辆车经过此路口， 这段时间经过路口的车辆数超出 500 辆的概
率是多少
解：（1）记时辰 7:00 为时辰 0，以小时为单位。

经过路口的车辆数
为一个非齐次 poisson 过程，其强度函数以下：
120 0 s 1,4 s 5 (s)
1 s 4
60
则在 7：30~11：20 时间内，即 t [0.5,
13
] 时， N (
13
) N (0.5)
3
3
代表这段时间内经过的车辆数，它听从均值为以下的
poisson 散布。

13
13
1
4
m(t)
3
( s) ds
120ds
60ds
3
120ds 60 180 40 280
0.5
0.5 1
4
13
即： E[ N ( ) N (0.5)] 280 ，在给定的时间内均匀经过的车
辆数为 280。

（ 2） P[ N (
13
) N (0.5) 500]
(280) n e 280 。

3
n 501
n!
[0,t] 时间内某系统遇到冲击的次数
N (t) ，形成参数为 的 poisson
过程。

每次冲击造成的伤害 Y i ，i
1,2, , n 独立同指数散布， 均值为 。

设伤害会累积， 当伤害超出必定极限
A 时，系统将停止运转。

以 T 记系统运转的时
间（寿命），试求系统的均匀寿命
ET 。

N ( t )
解：在
[0,t ]
内某系统遇到的总伤害
X (t)
Y i
为一个复合 poisson
过
i 1
程，此中 Y i
~ e( 1 ) 。

ET
tdF T (t )
t
dF T (t )dx
(1 F T ( x))dx
P(T x)dx
dxdF T (t)
0 0
0 x
N (t )
P(T
t)
P{
Y i A}
i 0 N (t )
P{
Y i
A | N (t ) n} P{ N (t ) n}
n 0
i
t
n
e
P{
Y i A} P{ N (t ) n} n 1
i 1
A
( 1 )
n
x
( t ) n
e
t
{
x n 1e dx} e t
(n
1)!
n 1
0 n!
A
( 1 ) n
x
dx]e t
(
t) n
P(T
t) dt
{ e
t
[
x
n
1e
]dt
(n
1)! 0
0 n 1 0 n!
A ( 1 )
n x n
e t dt
[ x n 1e dx ( t ) e t dt ]
(n 1)!
n 1
0 n!
1
A
( 1 )
n
x
( t) n
1 ( t) n 1
[
x n 1e dx(
e
t
e t dt )] 0
(n 1)!
n 1
n!
(n 1)!
1
1
A ( 1
)
n
x
x n 1
e dx
0 (n
1)!
n 1
1
1 1
A
( 1 )
n 1
x
x
n
1
e
dx
1
(n
1)!
n
1 A
系统的均匀寿命为
1
A
某商场为检查顾客到来的客源状况，观察了男女顾客来商场的人数。

假定
14
男女顾客来商场的人数分别独立地听从每分钟
2 人与每分钟
3 人的泊松过程。

（ 1） 试求到某时辰 时抵达商场的总人数的散布；
（ 2） 在已知 时辰以有 50 人抵达的条件下，试求此中恰有 30 位妇女的概率，均
匀有多少个女性顾客
解：设
分别为（ 0, t ）时段内抵达商场的男顾客数、女顾客数及
总人数。

（ 1） 由已知，
为强度 的泊松过程， 为强度 的泊松过程；
故， 为强度 的泊松过程；于是，
（5 分）
（ 2）
（5 分）
一般地，
故均匀有女性顾客
人 （4分）
（1）对 （2）错 当 N (t ) n 时， T n 有可能小于 t （3）错， T n t
时， N (t ) 可能等于 n 。

更新过程的到达间隔听从参数为
(n, ) 的
散布。

（1）试求 N(t)
的散布；
N (t )
（2）试证 t
lim
n 。

t
解：（1） P{ N (t) k} P{ N (t ) k}
P{ N (t )
k 1}
P{ T k t}
P{ T k 1 t}
k
k 1
P{
X i t}
P{
X i t}
i 1
i 1
t
e
s
( s)kn 1
t e s ( s)( k 1) n 1
(kn
1)! ds
((k
ds
1)n 1)!
（2）由强盛数定律：
k
T k
X i
EX i
n
，以概率1建立。

i 1
k k
t, T
N ( t )t T N ( t ) 1，T
N ( t )t
T
N (t ) 1
，N (t)N (t)N (t)
lim T
N (t )n，
T
N ( t ) 1
T
N ( t ) 1N (t) 1n。

N (t)N (t)N (t ) 1N (t)
, t
t
则： lim t n ，故lim N (t )。

t N (t)t t n
关于 Poisson 过程证明定理 .
解：
M (t)E(N (t))t ；
F n (t )
t e x x n 1n
t
e x x n1n 1t 。

n 10
n 1( n1)!
n 1( n1)!
设P{ X i 1}1，P{ X i2}
2，计算
P{ N (1) k} ，P{ N (2)k}P{ N (3)k}。

，
33解：（1）
P{ N (1)0}P{ N (1)0}P{ N (1)1}P{T01}P{T11}
12 1
3
3
P{ N (1)1}P{ N (1)1}P{ N (1)2}P{T11}P{ X1X 21}1 3
X1 X2234
P
144
999（2）
P{ N (2)2}P{ N (2)2}P{ N (2)3}P{ X1X2 2}P{ X1X2 X3
1 2}
9
P{ N (2)1}P{ N (2)1}P{ N (2)2}P{T1 1}P{ X1X2 1}
18 1
9 9
X 1 X 2+X 3 3 4 5 6
P
1 6 12
8
27
27
27 27
（ 3）
P{ N (3) 2}
P{ N (3)
2} P{ N (3)
3} P{ X 1
X 2 3} P{ T 3
5 1 14
3} 27 27
9
P{ N (3) 1}
P{ N (3)
1} P{ N (3)
2} P{ T 1
3} P{ X 1 X 2
3} 1
5 4
9 9 P{ N (3) 3}
P{ N (3)
3} P{ N (3)
4} P{ T 3 3} P{ T 4 3}
1 1
27
27
一个过程有 n 个状态 1,2,
,n ，最先在状态 1，逗留时间为 X 1 ，走开 1 抵达 2 逗留
时间为 X 2 ，再达到 3，
，最后从 n 回到 1，循环往复，而且过程对每一个
状态逗留时间的长度是互相独立的。

试求
lim P{ 时辰 t 系统处于状态 i}
t
设
E( X 1
X 2
+ +X n
)
且
X 1
X 2
+ +X
n
为非格点散布。

解：记过程处于状态 i 记为开，从状态 i+1 到 n ，经过 n 再回到
1，再到 i-1 这一过程记为关。

n
则有 Z k = X i ， Y k =
X j 。

j i j 1
设初始状态从 1 第一次到 i 需要时间 t 0 。

则 lim P{时辰 t 系统处于状态 i}
lim P{时辰 t 系统是开着的 }
t
t
lim P{ 时辰 t-t 0系统是开着的 }
EZ k EX i。

EZ k EY k
E( X 1 ... X n ) t
用交织更新过程原理计算 t 时辰的寿命与节余年纪的极限散布。

解： Y (t ) T N ( t ) 1 t 为 t 时辰节余寿命， A(t ) t T N (t ) 为 t 时辰年纪。

若假定更新过程是将一个零件投入使用而一旦无效即改换所
产生的，则 A(t ) 表示
在时辰 t 零件所使用的年纪，而Y(t) 表示它的节余寿命。

令 X (t) Y (t ) A(t) ，即 X (t) 表示两次相邻更新的时间间隔，我们要计算 P{ A(t) x} ，为此我们将一个开-关的循环对应于一
个更新区间，且若在 t 时辰的年纪小于或等于 x，就说系统在时辰 t “开着”。

换言之，在两次相邻的时间为X (t)的时间
内，前 x 时间内系统“开着” ，而其余时间“关着”。

那么若 X (t) 的散布非格点的，由定理获得
lim P{ A(t)x} lim P{在时辰开着}E[min( X , x)] / E[ X ]
t t
法一： E[min( X , x)]P{min( X , x)y} dy
x
x)P{min(X , x)y | X x}P( X x)P{min( X , x)y | X x}] dy [P(X
[P(X x)P{min(X , x)y | X x}P( X x) P{min( X , x)y | X x}] dy x
x
x)P{ x y | X x}P( X x)P{ X y | X x}] dy
[P(X
[P(X x)P{ x y | X x}P( X x) P{ X y | X x}] dy
x
x
x)P( y X x)] dy P( y X x)dy
[P(X
0x
x
x)P( y X x)] dy
[P(X
x
x y)P( y X x)] dy
[P(X
x
y)dy
P( X
则： P{min( X , x)y} dy / E[ X ]x 1x
P{ X y} dy / E[ X ] F ( y)dy 000
法二：
E[min( X , x)] / E[ X ]min( X , x) dF min( X ,x ) ( y) / E[ X ]
0 x
xP{ X x}1
[ xF (x)x x xF (x)]
ydF ( y) F ( y) dy 00
1x x
F ( y) dy]1x
F ( y)dy
[dy
00
同理 : lim P{Y(t)1x
x} lim P{ 在时辰t关着} E[min(x, X)]/ E[X ]F( y)dy t t0
对 t 时辰最后一次更新取条件从头给出定理的证明。

解： T N (t ) 表示时辰 t 前的最后一次更新。

令 P(t ) P{ t 时辰是系统开着的 }
对最后一次更新取条件概率有：
时辰是系统开着的 | T N (t ) x}
P{ t
P{ Z 1 t | Z 1 Y 1 t} x 0
；
P{ Z t x | Z Y t x}
0< x t
0 x 0
P{ Z 1 t | Z 1 Y 1 t}
H (t ) ；
F (t )
P{ Z t x | Z Y t x}
H (t x) ；
F (t x)
P(t)
H (t )
0}
t
H (t x)
dF T ( x)
P{T
N( t ) 0
F (t )
F (t
x) N (t )
H (t)
t x) dM ( x)
H (t
H (t ) 为非负不增函数，且
H (t )dt EZ n
定理获得： lim P(t )
1
EZ n
0 H (t )dt
t
EZ n EY n
F
，则由重点更新。

对延缓更新过程证明更新方程
M (t)
t
G(t )M (t s)dF (s)
解： M (t )
F n * (t ) ， F n * (t ) F n 1 (t )*
G (t ) ， F 0 (t) 1。

n 1
令 M * (t )
F n (t) ，从上边能够推出：
n 1
M (t )F n* (t )G(t)F n 1(t)* G(t ) n 1n 2
G(t )G(t )*F n 1 (t )
n2
G(t )G(t )*F n (t)
n1
G(t )G(t )* M * (t)
G(t )G(t )*( F (t ) F (t )* M * (t))
G(t )G(t )* F (t )G(t )* F (t )* M * (t ) G(t )G(t )* F (t ) F (t )*(M (t ) G(t)) G(t ) F (t ) * M (t )
G(t )t s)dF ( s)
M (t。