江苏省通州市高三第六次调研测试数学试卷(含附加题)

江苏省通州市高三第六次调研测试数学试卷
（考试时间：120分钟 满分160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．函数(1)(2)1y x x x =--+-的定义域为 . 2．已知复数与2(2)8z i --均为纯虚数，则等于 ． 3．已知向量)4,3(-=a ，向量满足∥，且1||=b ，则= 。

4．在等比数列{a n }中，已知a 4＋a 10=10，且
227
30
=a a ，则= ． 5．已知命题：“[1,2]x ∃∈，使x 2
+2x +a ≥0”为真命题，则a 的取值 范围是 ．
6．如图，程序执行后输出的结果为 ． 7．下列命题正确．．的序号是_____ ． （其中l ，m 表示直线，γβα,,表示平面）
(1)若βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,m l m l ；
(2)若βαβα⊥⊂⊂⊥则,,,m l m l ；
(3)若βαγβγα⊥⊥则,//,； (4)若βαβα⊥⊂⊥则,,,//m l m l 8． 用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示， 则它的体积的最大值与最小值之差为 ． 9．已知
)0,0(12
1>>=+n m n
m ，则当mn 取得最小值时，椭圆122
22
=+n
y m x 的离心率为 ． 10．对任意两个集合A 、B ，定义：{}
A B x x A x B -=∈∉且，()()A B A B B A ∆=-⋃-，设
{}
2,A y y x x R ==∈，{}3sin ,B y y x x R ==∈，则A B ∆=
11．若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥1,0,
0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平
面区域的面积等于 ．
12．已知两个不共线的向量，的夹角为，且3OA =.若点M 在直线OB 上，且OA OM +的最小值为，则的值为 ．
俯视图
主视图 （第8
A
A
B
C D
P
P
D
C P
12
2
22
60
主视图
左视图
俯视图
A
B
C
D
F
E
P 13．设函数x x x f +=3
)(，若02
π
θ<≤
时，(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数的取值范
围是 _ .
14．f （x ）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足0)()(>-'x f x f x ，对任意正数a 、
b ，若a ＜b ，则()()af a bf b ,的大小关系为 ．
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅
（1）判断△ABC 的形状； （2）若k c 求,2=的值.
16．（本题满分14分）一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E 为侧棱PD 的中点. （1）求证：PB//平面AEC ； （2）若F 为侧棱PA 上的一点，且PF
FA
λ=， 则为何值时，PA 平面BDF ？ 并求此时几何体F —BDC 的体积．
17．（本题满分15分）已知圆A ：22
(1)4x y -+=与轴负半轴交于B 点，过B 的弦BE 与轴正半轴
交于D 点，且2BD=DE ，曲线C 是以A ，B 为焦点且过D 点的椭圆． （1）求椭圆的方程；
（2）点P 在椭圆C 上运动，点Q 在圆A 上运动，求PQ +PD 的最大值．
B
B
18．（本题满分15分）
如图所示，一条直角走廊宽为2米。

现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF ，它的宽为1米。

直线EF 分别交直线AC 、BC 于M 、N ，过墙角D 作DP ⊥AC 于P ，DQ ⊥BC 于Q ； ⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠θ=CAB ，试求平板面的长 (用表示)； ⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?
19．（本题满分16分）已知数列的前n 项和为，点(,
)n S n n 在直线2
11
21+=x y 上．数列满足： 2120()n n n b b b n N *++-+=∈，且113=b ，前9项和为153．
（1）求数列，的通项公式； （2）设)12)(112(3--=
n n n b a c ，数列的前n 项和为，求使不等式57
k
T n >对一切()n N *∈都成
立的最大正整数的值；
（3）设N n ∈*
，，
为偶数，为奇数，⎩⎨⎧=n b n a n f n
n )(问是否存在m N *
∈，使得）m f m f (5)15(=+成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．（本题满分16分）函数(1)
()ln (0,)a x f x x x a R x
-=->∈． （1）试求f (x )的单调区间；
（2）当a >0时，求证：函数f (x )的图像存在唯一零点的充要条件是a =1； （3）求证：不等式
111ln 12
x x -<-对于(1,2)x ∈恒成立．
A B 2m
2m
M E
D
F Q l
数学附加题 考试时间：30分钟 满分40分
一、选答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题．如果多做，则按所做的前两题记 分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程． 1.(选修4一l ：几何证明选讲)
如图，圆O 的直径6AB =,C 为圆周上一点，3BC =,过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ,AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E 。

求
DAC ∠的度数与线段AE 的长。

2.(选修4—2：矩阵与变换)
已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A ．
3.(选修4—4：坐标系与参数方程)
已知直线和参数方程为⎩⎨⎧-=-=2
24t y t x ）t 为参数(,是椭圆1422
=+y x 上任意一点，求点到直线的距离的最大值．
4.(选修4—5：不等式选讲)
已知f (x )＝21x +定义在区间[－1，1]上,设x 1，x 2∈[－1，1]且x 1≠x 2． (1)求证: | f (x 1)－f (x 2)|≤| x 1－x 2| (2)若a 2
＋b 2
＝1，求证：f (a )＋f (b ) ≤． 选做题一：
选做题二：
二、必答题：本大题共2小题。

每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程．
5. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．设复数
=+(i是虚数单位)。

z a bi
（1）求事件“为实数”的概率；
z-≤”的概率。

（2）求事件“23
6. 如图，直三棱柱A1B1C1—ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点. （1）求与平面A1C1CA所成角的正切值；
(2) 求二面角B—A1D—A的平面角的正切值；
（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？
江苏省通州市高三第六次调研测试
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．{}{}21x x ≥⋃ 2．2i 3．（54,53-）或（5
4
,53-） 4．16 5．a ≥-8 6．64 7．（1）(3)(4) 8．6 9． 10．[)()+∞⋃-,30,3 11．1 12．6
56π
π或 13．(－
∞，1)
14．)()(b bf a af <，提示：设()()f x F x x =，则''
2
()()()0xf x f x F x x -=>，故()()f x F x x
=为增函数，由a ＜b ，有()()
()()()()()()f a f b af b bf a bf b af b bf a af a a b
<⇒>⇒>>>，也可以考虑特例，如
f (x )=x 2
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（1）B ca BC BA A cb AC AB cos ,cos =⋅=⋅
B
ac A bc BC BA AC AB cos cos =∴⋅=⋅又
B A A B cos sin cos sin =∴ 5分 即0cos sin cos sin =-A B B A 0)sin(=-∴B A
B
A B A =∴<-<-π
π
ABC ∆∴为等腰三角形.
8分
（2）由（I ）知
2
2cos 2
222c bc a c b bc A bc AC AB =-+⋅==⋅∴ 12分
2=c
1=∴k 14分
16．（1）由图形可知该四棱锥和底面ABCD 是菱形，且有一角为，边长为2，
锥体高度为1。

设AC ，BD 和交点为O ，连OE ，OE 为△DPB 的中位线，
OE//PB ， 3分 EO 面EAC ，PB 面EAC 内， PB//面AEC 。

6分 （2）过O 作OFPA 垂足为F ,
在Rt△POA 中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△PO B 中，PO=1，BO=1，PB=， 8分
过B 作PA 的垂线BF ，垂足为F ，连DF ，由于△P AB ≌△P AD ，故DF ⊥PA ，DF ∩BF=F ，因此PA ⊥面BDF. 10分 在等腰三角形PAB 中解得AF=,进而得PF=
即当
1
3
PF FA =时，PA 面BDF ， 12分 此时F 到平面BDC 的距离FH=33
44
PO =
11133
23,323344
BCD BCD
S V S FH ∆∆∴=⨯∴=⋅=⨯= 14分 17．(1)()31,0,3),D 0,, 3B ⎛-
⎝⎭
4分 椭圆方程为
2
23314
x y += 7分 （2）(2)()2PQ PD PA PD PA PD +≤++=++ 10分
4343
33
PA PD PB PD DB +=
-+≤+＝2 14分 所以P 在DB 延长线与椭圆交点处，Q 在PA 延长线与圆的交点处，得到最大值为223+． 15分
18．（1）DM =，DN =
θcos 2
，MF =，EN =， 4分 =EF=DM+DN-MF-EN =+θ
cos 2
－－
=θθθθcos sin 1)cos (sin 2-+ （2
0πθ≤≤） 7分
（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角（2
0πθ≤
≤），平板车的长度不能超过，即
平板车的长度min l <；记,cos sin t =+θθ 21≤≤t ，有θθcos sin =2
12-t ，
=
θθθθcos sin 1)cos (sin 2-+=1
2
42--t t =， 10分
此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记m t =-24，则4
2
+=m t ）或直接求导，以确定函数在]2,1[上的单调性；当2=
t 时取得最小值224-。

15分
19． (1)点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上，∴S n n ＝12n ＋112，即S n ＝12n 2＋11
2
n ，
a n ＝n ＋5． 3分
∵b n +2－2b n +1＋b n ＝0(n ∈N *
)，∴b n +2－b n +1＝ b n +1－b n ＝…＝ b 2－b 1．
∴数列{b n }是等差数列，∵b 3＝11，它的前9项和为153，设公差为d ，
则b 1＋2d ＝11，9b 1＋9×8
2
×d ＝153，解得b 1＝5，d ＝3．∴b n ＝3n ＋2． 6分
(2)由(1)得，c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)＝ 1(2n ―1)(2n ＋1)＝12(12n ―1－1
2n ＋1
)，
∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n ―1－1
2n ＋1
)
＝12(1－12n ＋1
)． 9分
∵T n ＝12(1－12n ＋1)在n ∈N *
上是单调递增的，∴T n 的最小值为T 1＝13
．
∵不等式T n ＞k 57对一切n ∈N *
都成立，∴k 57＜13．∴k ＜19．∴最大正整数k 的值为18．11分
(3) n ∈N *
，f (n )＝⎩⎨
⎧a n ，n 为奇数，
b n ，n 为偶数＝⎩⎨⎧n ＋5，n 为奇数，
3n ＋2，n 为偶数．
当m 为奇数时，m ＋15为偶数；当m 为偶数时，m ＋15为奇数．
若f (m ＋15)＝5f (m )成立，则有3（m ＋15）＋2＝5(m ＋5)(m 为奇数)
或m ＋15＋5＝5（3m ＋2）(m 为偶数)． 13分 解得m ＝11．所以当m ＝11时，f (m ＋15)＝5f (m )． 16分 20．（1）/
221()(0)a x a
f x x x x x
-=
-=>． 2分 当时，/
()0f x >，在(0,)+∞上单调递增； 3分 当时，(0,)x a ∈时，/
()0f x <，在上单调递减；
(,)x a ∈+∞时，/()0f x >，在(,)a +∞上单调递增． 5分
综上所述，当时，的单调递增区间为(0,)+∞；当时，的单调递增区间为(,)a +∞，单调递减区间为． 6分
（2）充分性：a =1时，由（1）知，在x =1处有极小值也是最小值， 即min ()(1)0f x f ==。

而在上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，
在(0,)+∞上由唯一的一个零点x =1． 9分
必要性： =0在(0,)+∞上有唯一解，且a >0, 由（1）知，在x=a 处有极小值也是最小值
f (a )， f (a )=0,即ln 10a a -+=．
令()ln 1g a a a =-+， /
11()1a
g a a a
-=
-=
． 当01a <<时，/
()0g a >，在上单调递增；当a >1时，/
()0g a <， 在(1,)+∞上单调递减。

max ()(1)0g a g ==， =0只有唯一解a =1． =0在(0,)+∞上有唯一解时必有a =1． 12分 综上：在a >0时， =0在(0,)+∞上有唯一解的充要条件是a =1． （3）证明：∵1<x <2,∴
111(1)ln 2(1)0ln 12
x x x x x -<⇔+-->-. 令()(1)ln 2(1)F x x x x =+--，∴/
1()ln 2x F x x x +=+-1ln 1x x
=+-，14分 由（1）知，当a=1时，min ()(1)0f x f ==，∴()(1)0f x f ≥=，∴1
ln 10x x
+-≥．
∴/
()0F x ≥，∴F（x ）在（1，2）上单调递增，∴()(1)0F x F >=， ∴(1)ln 2(1)0x x x +-->。

∴111(12)ln 12
x x x -<<<-． 16分
附加题答案
1．解：如图，连结OC ，因3BC OB OC ===,因此0
60CBO ∠=,由于DCA CBO ∠=∠, 所以0
60DCA ∠=，又AD DC ⊥得0
30DAC ∠=; 5分 又因为0
90ACB ∠=,得0
30CAB ∠=,那么0
90EAB ∠=, 从而0
30ABE ∠=，于是1
32
AE AB =
=。

10分 2．解：设A=a
b c d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，由题知a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦=，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
=3 即31
3333
a b c d a b c d -=-⎧⎪
-=⎪⎨
+=⎪⎪+=⎩， 5分 ∴ ∴A=2130⎡⎤
⎢
⎥
⎣⎦
10分 3．解： 直线的参数方程为⎩
⎨⎧-=-=224t y t
x 为参数）故直线的普通方程为02=+y x 3分
因为为椭圆14
22
=+y x 上任意点，故可设)sin ,cos 2(θθP 其中R ∈θ. 因此点到直线的距离是5
|
)4
sin(|222
1|
sin 2cos 2|2
2
π
θθθ+=
++=
d 7分
所以当4
π
πθ+
=k ，时，取得最大值. 10分
4. 证（1）12121222
1
2
|||||()()|11x x x x f x f x x x -+-=
+++
∵1212||||||x x x x +≤+，2
2
121211||||x x x x +++>+， ∴| f (x 1)－f (x 2)|＜| x 1－x 2| 5分
（2）22()()11f a f b a b +=+++，∴f (a )＋f (b ) ≤
∵222222222[(1)(1)](11)(11)a b a b ++++≥+++ 221a b +=，
∴22116a b +++≤ 10分
5.解：（1）为实数，即3(3)a bi i a b i +-=+-为实数， ∴b ＝3 2分 又依题意，b 可取1，2，3，4，5，6
故出现b ＝3的概率为
即事件“为实数”的概率为 5分
（2）由已知，22
2|2|(2)3z a bi a b -=-+=-+≤ 6分 可知，b 的值只能取1、2、3
当b ＝1时， 2(2)8a -≤，即a 可取1，2，3
当b ＝2时， 2(2)5a -≤，即a 可取1，2，3
当b ＝3时， 2(2)0a -≤，即a 可取2
由上可知，共有7种情况下可使事件“23z -≤”成立 9分 又a ，b 的取值情况共有36种
故事件“23z -≤”的概率为 10分
6.解：（1）∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱 ∴CC 1⊥底面ABC ∴CC 1⊥BC
∵AC ⊥CB ∴BC ⊥平面A 1C 1CA ∴A 1B 与平面A 1C 1CA 所成角的正切值11
2tan 2BC BAC AC ∠== 3分 （2）分别延长AC ，A 1D 交于G . 过C 作CM ⊥A 1G 于M ，连
结BM
∵BC ⊥平面ACC 1A 1 ∴CM 为BM 在平面A 1C 1CA 的内射影
∴BM ⊥A 1G ∴∠CMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角
平面A 1C 1CA 中，C 1C=CA =2，D 为C 1C 的中点
∴CG =2，DC =1 在直角三角形CDG 中，
5
52=∴CM 5CMB tan =∠∴, 即二面角B —A 1D —A 的平面角的正切值为 6分
（3）在线段AC 上存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD .
其位置为AC 中点，证明如下：
∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱柱 ， ∴B 1C 1//BC
∵由（1）BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA
∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ，F 为AC 中点 ∴C 1F ⊥A 1D ∴EF ⊥A 1D
同理可证EF ⊥BD , ∴EF ⊥平面A 1BD
∵E 为定点，平面A 1BD 为定平面,点F 唯一 10分
解法二：（1）同解法一 3分
（2）∵A 1B 1C 1—ABC 为直三棱住 C 1C=CB=CA =2 , AC ⊥CB D 、E 分别为C 1C 、B 1C 1的中点, 建立如图所示的坐标系得
C （0，0，0） B （2，0，0） A （0，2，0）
C 1（0，0，2） B 1（2，0，2） A 1（0，2，2）
D （0，0，1）
E （1，0，2）
)2,2,2()1,0,2(1-=-=∴BA BD 设平面A 1BD 的法向量为n (1,,) ⎩⎨⎧=μ-=λ⎩
⎨⎧=μ+λ+-=μ+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴210222020BA n 0BD n 1得即 n (1,1,2) 平面ACC 1A 1的法向量为=（1，0，0） 16cos n,m
66 即二面角B —A 1D —A 的平面角的正切值为 6分
（3）在线段AC 上存在一点F ，设F （0，y ，0）使得EF ⊥平面A 1BD 欲使EF ⊥平面A 1BD 由（2）知，当且仅当//
)2,y ,1(FE -= 1=∴y
∴存在唯一一点F （0，1，0）满足条件. 即点F 为AC 中点 10分。