晶体光学 lesson5张量

第二章晶体性质的数学描述
研究内容
张量的概念
二阶张量－重点介绍－推导变换关系 二阶张量示性曲面及主轴化
高阶张量及其变换
三阶张量
四阶张量
晶体宏观对称性与晶体张量的关系
张量的概念
标量
物理中常见的一些量，如密度、温度等等很多。

特点：
无方向
可用一个数值完全表示
矢量
区别于标量的另一类物理量，既有数值又有方向，如机械力就是矢量。

矢量用黑体字母表示，如F 。

在直角坐标系中用矢量在该坐标系上的分量表示矢量。

例如电场强度矢量E 记为：
123[,,]T E E E =E 123E E E ++E=i j k
二阶张量
张量的概念
以电场强度和极化强度矢量为例：
123P P P =++P i j k 123E E E ++E=i j k
对于各向同性晶体中，同方向则,P E
0εχ=P E
123[,,]T E E E =E 123[,,]
T P P P =P
¾如果在各向异性晶体中情况就复杂了，电场强度和它引起的极化强度的方向一般不相同
¾这时电场强度的每个分量对极化强度每个方向的分量均有影响，且影响的程度不同，这时我们就不能简单的利用前面的公式
()
11112130111122133()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++()
22122230211222233()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++()
33132330311322333()()()P P E P E P E E E E εχχχ=++=++张量的概念
我们把上述公式表示为矩阵的形式
1112131120212223233313233P E P E P E χχχεχχχχχχ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
⎝⎠ 1、P 的每一个分量与电场强度的三个分量存在线性关系
2、坐标系确定后为常数
3、各向异性介质的电极化特性需用9各数值才能完整描述----我们接下来会详细介绍
ij χ张量的概念－二阶张量
111213212223313233χχχχχχχχχ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠
我们称这个3×3的矩阵为二阶张量
张量的概念－二阶张量
推广－如果某个物理性质T ，可以表征另外两个物理量p,q 之间的关联，并具有如下关系
111213112212223233313233T T T P q P T T T q P q T T T ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
⎝⎠ 我们称构成二阶张量
ij T 张量的概念－二阶张量
张量的习惯写法：
引入爱因斯坦求和法则－略去求和符号
3
1(1,2,3)
i ij j j p T q i ===∑i ij j p T q =i 为自由下标，j 为求和下标，注意顺序
1、下标符号任意选定，但要有区别
2、自由下标前后呼应，求和下标成对出现张量的概念－二阶张量
张量的概念－二阶张量
或者表示为矩阵的形式：
P Tq
=对于我们晶体光学范畴研究的二阶张量均有：
ij ji T T =对称张量T T ′=
张量的概念－二阶张量
我们可以将二阶张量的下标作如下简化：
11－1 22－2 33－3
23 32－4 13 31－5 12 21－6
121112131653212223624431323354356T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⇒⇒⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠
张量的概念
9标量（零阶张量）
9矢量（一阶张量）
9二阶张量
9三阶张量
9四阶张量。

高阶张量的概念
高阶张量
晶体的许多光学特性，如电光效应重的普克尔和克尔效应；以及二次和高次非线性效应等需采用三阶、四阶等高阶张量描述
定义：如果表示某个物理量的矢量与表示另一个物理量的二阶张量之间存在如下关系：
(,,1,2,3)
i ijk jk A B C i j k ==i A jk C 则称为三阶张量
ijk B 另一类三阶张量，即作用为矢量，感生为二阶张量
(,,1,2,3)
ij ijk k C B A i j k ==高阶张量的概念
高阶张量的概念
三阶张量的矩阵形式：
111112113121122123131132133122112122132212222232312322333311312313321322323331332333C B B B B B B B B B A A B B B B B B B B B A B B B B B B B B B ⎡⎤⎛⎞⎜⎟⎢⎥= ⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎢⎥ ⎝⎠⎣⎦111213212223313233C C C C C C C C ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠
高阶张量的概念
111112113111211221231213113213313211212213212222122222323231232233313113123133232132233B B B C B B B C B B B C B B B C C B B B C B B B C B B B C B B C ⎛⎞⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟= ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎝⎠123323331332333A A A B B B B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎛⎞
⎢⎥⎜⎟
⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦
下标的简化表示
高阶张量的概念
121112131415161322122232425264331323334353656C C B B B B B B A C A B B B B B B C A B B B B B B C C ⎛⎞⎜⎟⎜⎟ ⎡⎤⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎢⎥= ⎜⎟
⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎢⎥ ⎝⎠⎣⎦⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠11－1 22－2 33－3
23 32－4 13 31－5 12 21－6
ijk ikj B B =
定义：如果表示某个物理量的二阶张量与表示另一个物理量的二阶张量之间存在如下关系：
(,,,1,2,3)
ij ijkl kl A C B i j k l ==ij A kl C 则称为四阶张量
ijkl C 另一类四阶张量，即作用为三阶张量，感生为矢量
(,,,1,2,3)
i ijkl jkl A C B i j k l ==高阶张量的概念
四阶张量下标的简化表示
11－1 22－2 33－3
23 32－4 13 31－5 12 21－6
高阶张量的概念
(,1,2,3,4,5,6)
m mn n A C B m n ==因为为二阶对称张量
ij kl A B 和(,,,1,2,3)
ij ijkl kl A C B i j k l ==66mn C ×为矩阵
张量的坐标变换
张量与矢量一样会随着坐标系的变化，分量的大小和数目发生改变
但是利用张量描述的物理现象是客观存在的，因此两组张量之间必然存在关系
这种关系必然由坐标系之间关系确定。

我们将以二阶张量为例子研究张量的坐标变换
二阶张量的坐标变换
11121321222331
3233()ij A αααααααααα ⎛⎞⎜⎟
== ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠αij 其中表示两个轴夹角的余弦
i j 表示新坐标系某个轴，表示原坐标系某个轴坐标系的变换
二阶张量的坐标变换
'1111122133'
2211222233'
3311322333p p p p p p p p p p p p ααααααααα⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩
P TP
′=或记做
逆变换
1
T
P T P T P
−==？？？？
i ij j
P a P ′=,1,2,3
i j =
11121321222331
3233A ααααααααα ⎛⎞⎜⎟= ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠11213112223213
2333T
A ααααααααα ⎛⎞
⎜⎟= ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠33
×T
AA I ⎛
⎞⎜⎟==⎜
⎟⎜⎟⎝
⎠
二阶张量的坐标变换
'
''1111
212
313
'''2121222323'''3131232333p p p p p p p p p p p p ααααααααα⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩
i ji j P a P ′
=,1,2,3
i j =注意正逆变换符号的位置！！！这里的ijkl 只是坐标轴的表示符号
二阶张量的坐标变换
同样我们可以获得点的坐标变换矩阵，由于向量与点之间的联系，我们可以很容易推得点的坐标变换矩阵与向量的形式完全一致。

二阶张量的坐标变换
'1111122133'
2211222233'
3311322333x x x x x x x x x x x x ααααααααα⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩
二阶张量的坐标变换
ij ik jl kl
T T αα′=11111111121213131111111211211311311112121212221312321113131213231313 + +k l kl l l l l l l T T T T T T T T T T T T T αααααααααααααααααααααααααα′==++=++++++33
T
ij ik jl kl
T T αα′=逆变换
kl ik jl ij T T αα′
=正变换
T
T A T A
′=T T ATA
′=二阶张量的坐标变换
但是这种矩阵变换的方式只适用于
二阶张量，可不可以进行推广？？？
二阶张量的坐标变换
1112132122233132
3311213112223213
23331112131212223313233T
A A T T T T T T T T T T ααααααααααααααααααα ⎛⎞⎜⎟= ⎜⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎛⎞⎜⎟= ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎛⎞′′′⎜⎟⎜⎟′′′′==⎜⎟⎜⎟′′′⎝⎠
11213111213112131212223212223122232313233313233132333T T T T T T T T T ααααααααααααααααα ⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠
111213
11121311121311212122232122232122233132
33313233313233T T T T T T T T T T T T T T T T T T αααααααααααα⎛⎞
′′′ ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟′′′= ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟′′′⎝⎠⎝⎠⎝⎠
()3112
22321323331121311112223213233311121311111221133111121222133211131223133311
()K T K K K T T T T T T T T T T αααααααααααααααααααααααα⎛⎞⎜⎟
⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠ ⎛⎞
⎛⎞⎜⎟⎜⎟′= ⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠
=++++++′=1111121312111111121121131131131112121212221312321113131213()K K K T T T T T T T ααααααααααααααααααα⎛⎞
⎜⎟=++⎜⎟⎜⎟⎝⎠
+++ + +23131333
T T αα+二阶张量的坐标变换
既然二阶张量为对称矩阵，只有6个独立的变量，如果我们将张量表示成一个列向量，变换矩阵是什么样子的？？？
二阶张量的坐标变换
1111223344556666()T T B T T T T T T T T T T σ′⎛⎞
⎛⎞→⎜⎟′⎜⎟⎜⎟
↓⎜⎟⎜⎟
′⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟′⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟′⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠
⎜⎟′⎝⎠
×
11111111121121131131111212121222131232111313121323131333111111211613115i i T B T T T T T T T T T T T T T σαααααααααααααααααααααααα′==++++++=++ + + 111261212213124111351213413133
11111121221313312134111351112622
2
111
12
13
12132222T T T T T T T T T T T T B σααααααααααααααααααααααααα
αααα++++=+++++⇓= + + ()
1113
111222αααα
二阶张量的坐标变换
这种方法，有它的优点：计算简单只要知道变换矩阵，然后计算出矩阵后，就可以计算出变换后的二
阶张量。

这个方法可以推广到三阶四阶张量缺点：十分复杂，不好记忆，如果将来大家工作中，利用matlab 或其它工程软件计算可以采用。

二阶张量的坐标变换
A B σB σ
三阶张量的坐标变换(,,1,2,3)
i ijk jk A B C i j k ==三阶张量
(,,1,2,3)
i ijk jk P d i j k σ==压电模量
推导过程与二阶基本相似，注意两个问题：•下标符号•二阶张量
三阶张量的坐标变换
1
1
1 P AP P d P Ad B P AdB d d AdB σσσ
σσσσσσ−−−′==⇓
′′==⇓
′′′′==⇓′=1
s d B dA
−′=应力张量
应变张量
三阶张量的坐标变换
但是我们会发现如果没有计算辅助，上述计算特别复杂！
但是由于我们研究的是晶体光学，而晶体具有很好的对称性，所以坐标变换矩阵会比较简单，张量本身由于对称性，独立变量的数目也会减少；
接下来我们会重点研究晶体对称性对张量的影响。

四阶张量的坐标变换
同学们请自己推导，表2－4四阶张量正变换公式－－－作业1
推导四阶张量（只推导应力张量）的矩阵变换公式－－－作业2
晶体的宏观对称性对晶体张量的影响
主要研究2，3，4阶张量
从晶体的旋转轴、对称面等对称要素出发
张量的约化
导出不同晶族张量的一般表达式。

证明四方晶系各点群的介电张量（二阶张量）只有晶体的宏观对称性对晶体张量的影响
13,εε两个独立分量
1、首先思考四方晶系的点群对称特点：沿z 方向的四次轴或四次反轴，A 矩阵为：
010100001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠
－
晶体的宏观对称性对晶体张量的影响
求正交晶系独立介电张量（二阶张量）的个数。

165624543165162424435
4310010
01
0100010010000 - - εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟
′=−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝
⎠⎝⎠
⎝⎠⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−⇒⎜⎟⎜⎜⎟−⎝⎝⎠T
＝A A 0
⎞⎟
⎟
⎜⎟
⎠大家观察一下是哪两个分量为零
类似可推出按照y 轴旋转后的张量为
1656245431651624235
4310010
01001
0001001000000 - - - εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟′=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠
⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜=−⇒⎜⎟⎜⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎠T
＝A A 0⎟
⎟
⎟
所以正交晶系的二阶张量有三个独立变量
晶体的宏观对称性对晶体张量的影响。